Cây gãy và góc 20 độ: tỉ số lượng giác từ tam giác vuông đến phép đo ngoài đời

Dùng sin, cos, tan, cot để giải tam giác vuông, đo chiều cao bằng góc nâng và giải trọn bài cây gãy (ngọn chạm đất cách gốc 5 m, góc 20 độ) bằng hai cách…

Cập nhật: 2026-09-25

Môn: Toán · Tài liệu THCS

Toán 9 · Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Cây gãy và góc 20 độ: từ tam giác vuông đến phép đo ngoài đời

Một cái cây bị gió bẻ gãy, ngọn chạm đất cách gốc 5 mét. Không cần trèo, không cần thước dây dài, em vẫn tính được cây cao bao nhiêu trước khi gãy. Bài này dạy em cách làm điều đó bằng sin, cos, tan, cot.

Khoảng 100 phút Mức: khá - giỏi Có hình vẽ và bài đo thực tế

Bạn sẽ học: gọi đúng tên cạnh đối, kề, huyền; bốn tỉ số lượng giác; giá trị của các góc đặc biệt; hệ thức giữa các tỉ số; giải tam giác vuông; đo chiều cao bằng góc nâng.

1 Bài toán mở đầu: cây gãy và phép đoán

Ta bắt đầu bằng câu chuyện, vì mọi công thức lượng giác đều sinh ra từ nhu cầu đo những thứ không với tới được.

Đây là bài toán em sẽ giải trọn vẹn ở mục 6. Hãy đọc kĩ, vì mỗi chữ trong đề đều mang một dữ kiện.

Bài toán cây gãy

Một cây thẳng đứng bị gió bẻ gãy tại một điểm cách mặt đất một đoạn nào đó. Phần ngọn gãy gập xuống và chạm đất tại điểm cách gốc cây 5 mét. Phần ngọn tạo với mặt đất một góc 20^{\circ}. Hỏi trước khi gãy, cây cao bao nhiêu mét?

Cô Lukato

Em thử nhắm mắt vẽ hình trong đầu: một cây đứng, một điểm gãy, một ngọn cây nằm nghiêng chạm đất. Ba điểm gốc, điểm gãy và ngọn chạm đất nối với nhau thành một tam giác vuông , vì cây đứng vuông góc với mặt đất. Cả bài học hôm nay là để em có công cụ giải tam giác ấy.

Trước khi học công cụ, ta thử đoán. Đoán trước rồi mới tính là thói quen của người làm toán giỏi: nó giúp em phát hiện ngay khi kết quả tính ra vô lí.

Theo trực giác, chiều cao của cây trước khi gãy gần nhất với giá trị nào?

Sai. Phần ngọn gãy đã là cạnh huyền của tam giác vuông có cạnh góc vuông 5 m, mà cạnh huyền luôn dài hơn cạnh góc vuông, nên riêng phần ngọn đã dài hơn 5 m. Cây ban đầu còn cao hơn nữa vì phải cộng thêm phần thân còn đứng.

Đúng. Góc chỉ 20^{\circ} nên phần ngọn gần như nằm ngang: dài hơn 5 m một chút (khoảng 5,3 m), còn điểm gãy thấp (khoảng 1,8 m). Tổng khoảng 7,1 m. Ở mục 6 ta sẽ tính chính xác.

Sai. Với ngọn chạm đất cách gốc 5 m, cây cao 10 m ứng với phần ngọn gãy tạo góc khoảng 36{,}9^{\circ} với mặt đất, lớn hơn nhiều so với 20^{\circ} của đề bài.

Sai. Cây cao 14 m ứng với góc khoảng 50{,}7^{\circ} giữa phần ngọn và mặt đất: ngọn gần như dựng đứng, khác hẳn hình ảnh 20^{\circ} của đề bài.

Để giải bài này một cách chắc chắn, ta cần bốn thứ, và bài học được xây theo đúng thứ tự đó.

Mục · Em học được · Dùng vào bài cây gãy để

2 · Gọi tên cạnh đối, kề, huyền theo một góc; bốn tỉ số sin, cos, tan, cot · biết cạnh nào của tam giác là cạnh nào

3 · Giá trị chính xác của 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}; ý nghĩa hình học của các tỉ số · hiểu vì sao tỉ số chỉ phụ thuộc góc

4 · Các hệ thức giữa sin, cos, tan, cot; góc phụ nhau · đổi qua lại và kiểm tra kết quả

5 · Cách chọn tỉ số để giải tam giác vuông và dùng máy tính · tính hai đoạn AC và BC

6 · Giải trọn bài cây gãy, hai cách · tìm chiều cao 7,1 m

7 · Góc nâng, góc hạ, độ dốc và các mô hình đo đạc · dùng cùng một ý tưởng cho thang, cột cờ, dốc

8 - 9 · Luyện tập phân bậc và bài thách thức · tự đánh giá

Ba câu ngắn dưới đây cho em biết mình đang đứng ở đâu. Sai cũng không sao, mỗi câu đều có giải thích kèm theo.

Tam giác ABC vuông tại A. Cạnh huyền là cạnh nào?

Sai. AB là cạnh góc vuông vì nó nằm sát góc vuông A.

Sai. AC cũng là cạnh góc vuông, nó nằm sát góc vuông A.

Đúng. Cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông; góc vuông ở A nên cạnh đối diện là BC.

Sai. Cạnh huyền được xác định bằng góc vuông, không phải bằng việc nó trông dài nhất. Hình vẽ tay hay bị lệch, còn góc vuông thì không đổi.

Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài 5 và 12. Cạnh huyền dài bao nhiêu?

Sai. Em đã cộng hai cạnh góc vuông. Định lí Pythagore cộng các bình phương, rồi mới lấy căn.

Đúng. 5^{2}+12^{2}=25+144=169=13^{2}.

Sai. Đây là hiệu của hai cạnh, không liên quan tới cạnh huyền.

Sai. Em đã lấy hiệu hai bình phương 144-25=119. Cạnh huyền là căn của tổng bình phương.

Hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau. Kết luận nào chắc chắn đúng?

Sai. Bằng nhau cần thêm điều kiện về độ dài, ví dụ một cặp cạnh bằng nhau.

Đúng. Hai tam giác vuông đã có một cặp góc vuông bằng nhau; thêm một cặp góc nhọn bằng nhau thì đồng dạng theo trường hợp góc - góc. Đây chính là lí do các tỉ số lượng giác chỉ phụ thuộc vào góc.

Sai. Một tam giác có thể to gấp đôi tam giác kia mà vẫn có các góc y hệt.

Sai. Diện tích phụ thuộc kích thước, mà kích thước thì chưa được nói tới.

2 Ba cạnh, một góc: gọi tên đúng rồi mới tính

Mọi sai lầm trong lượng giác lớp 9 đều bắt đầu từ một lỗi rất nhỏ: gọi nhầm cạnh. Vì vậy ta dành hẳn một mục cho việc gọi tên.

Đứng trước một tam giác vuông, câu hỏi đầu tiên không phải là "dùng công thức nào" mà là "em đang nhìn từ góc nào?" . Cùng một cạnh có thể là cạnh đối với góc này và là cạnh kề với góc kia.

Hình 1. Cùng một tam giác, hai góc nhọn: mỗi cạnh góc vuông đổi vai đối với kề khi ta đổi góc tham chiếu; cạnh huyền không bao giờ đổi.

Trong Hình 1, tam giác ABC vuông tại A, ta có AB=4, AC=3, BC=5. Hãy nhìn từ góc B.

Cạnh huyền là BC: cạnh đối diện góc vuông. Cạnh này không bao giờ đổi vai.
Cạnh đối của góc B là AC: cạnh nằm đối diện với góc B, không chạm vào đỉnh B.
Cạnh kề của góc B là AB: cạnh góc vuông còn lại, chạm vào đỉnh B.

Nếu đổi sang nhìn từ góc C thì AB trở thành cạnh đối và AC trở thành cạnh kề. Đó là lí do đề bài nào cũng phải nói rõ "góc nào".

Ghi nhớ

Quy trình 3 giây. (1) Khoanh góc tham chiếu. (2) Gạch chân cạnh huyền: cạnh đối diện góc vuông. (3) Hai cạnh còn lại: cạnh chạm vào đỉnh góc tham chiếu là kề , cạnh còn lại là đối .

Bây giờ ta có thể định nghĩa bốn tỉ số. Với góc nhọn \alpha của một tam giác vuông:

\begin{aligned}\sin\alpha&=\dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}, & \cos\alpha&=\dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}},\\ \tan\alpha&=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}, & \cot\alpha&=\dfrac{\text{kề}}{\text{đối}}.\end{aligned}

Cô Lukato

Có một câu vần để nhớ, nhiều thế hệ học sinh Việt Nam đã dùng: "Sin đi học, cos không hư, tan đoàn kết, cot kết đoàn" . Sin bằng đối trên huyền, cos bằng kề trên huyền, tan bằng đối trên kề, cot bằng kề trên đối. Nhưng đừng chỉ thuộc vần: hãy hiểu vì sao các tỉ số ấy có nghĩa.

Vì sao tỉ số chỉ phụ thuộc vào góc? Vẽ hai tam giác vuông khác cỡ nhưng cùng góc nhọn \alpha. Hai tam giác đồng dạng (góc - góc), nên các cạnh tương ứng tỉ lệ. Chia hai cạnh của tam giác này cho nhau được đúng bằng thương của hai cạnh tương ứng của tam giác kia. Vì vậy \sin20^{\circ} là một con số cố định, dù cây to hay nhỏ, thang dài hay ngắn. Đây chính là điều làm cho lượng giác trở thành công cụ đo đạc: em đo góc, tra ra tỉ số, rồi suy ra độ dài.

Ví dụ 1 · Tám tỉ số của tam giác 5 - 12 - 13

Tam giác DEF vuông tại D, DE=5, DF=12. Tính cạnh huyền: EF^{2}=5^{2}+12^{2}=169, nên EF=13.

Cạnh huyền phải tìm trước, vì mẫu số của sin và cos luôn là cạnh huyền.

Nhìn từ góc E: cạnh đối là DF=12, cạnh kề là DE=5, huyền EF=13. Vậy \sin E=\dfrac{12}{13}, \cos E=\dfrac{5}{13}, \tan E=\dfrac{12}{5}, \cot E=\dfrac{5}{12}.

Đối của góc E là cạnh không chạm đỉnh E, tức DF.

Nhìn từ góc F: cạnh đối là DE=5, cạnh kề là DF=12. Vậy \sin F=\dfrac{5}{13}, \cos F=\dfrac{12}{13}, \tan F=\dfrac{5}{12}, \cot F=\dfrac{12}{5}.

Đổi góc tham chiếu thì đối và kề đổi chỗ cho nhau.

Nhận xét: \sin E=\cos F và \tan E=\cot F. Hai góc E và F cộng lại bằng 90^{\circ}.

Đây là hiện tượng góc phụ nhau, ta sẽ chứng minh tổng quát ở mục 4.

Bẫy thường gặp

Bẫy 1: chọn sai mẫu số. Em Nam viết \sin E=\dfrac{12}{5} vì "thấy cạnh đối là 12". Nhưng \dfrac{12}{5} lớn hơn 1, mà sin của góc nhọn luôn bé hơn 1. Mẹo tự kiểm tra: sin và cos luôn có mẫu là cạnh huyền, nên luôn nhỏ hơn 1; chỉ tan và cot mới có thể lớn hơn 1.

Bẫy thường gặp

Bẫy 2: nhìn tên cạnh mà quên góc. Trong Hình 1, cạnh AC là "đối" nếu nhìn từ B nhưng là "kề" nếu nhìn từ C. Vì thế \tan B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4} còn \tan C=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{3}. Hai giá trị này nghịch đảo nhau, không được lẫn.

Bài 1 Mức 1 · Nhận biết

Tam giác ABC vuông tại A, AB=6, AC=8. Tính \sin B (viết dạng số thập phân).

Gợi ý 1. Tính BC trước bằng định lí Pythagore.

Gợi ý 2. Nhìn từ góc B: cạnh đối của B là AC.

Chính xác! BC=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10 và \sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=0{,}8.

Em vừa tính \cos B=\dfrac{AB}{BC}=0{,}6. Sin lấy cạnh đối trên huyền; cạnh đối của B là AC, không phải AB.

Em đã lấy đối trên kề, tức \tan B. Sin phải chia cho cạnh huyền.

Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.

Lời giải

Tính BC=\sqrt{36+64}=10. Vì AC là cạnh đối của góc B nên \sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=0{,}8.

Bài 2 Mức 1 · Nhận biết

Vẫn tam giác trên. Tính \tan C (viết phân số hoặc số thập phân).

Gợi ý 1. Nhìn từ góc C: cạnh đối của C là AB, cạnh kề là AC.

Gợi ý 2. Tan bằng đối chia kề.

Chính xác! \tan C=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}.

Đây là \tan B=\dfrac{8}{6}. Em quên đổi vai đối - kề khi chuyển từ góc B sang góc C.

Đây là \cos B hoặc \sin C, không phải \tan C.

Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.

Lời giải

Nhìn từ C: đối là AB=6, kề là AC=8. Do đó \tan C=\dfrac{6}{8}=0{,}75.

Trong tam giác vuông MNP vuông tại M có MN=9, NP=15: cạnh MP= ; \sin P=\dfrac{MN}{NP}= ; \cos P= ; \tan P= .

Tam giác ABC vuông tại A. Biểu thức nào bằng \cos C?

Sai. \dfrac{AB}{BC} là đối chia huyền của góc C, tức \sin C.

Đúng. Nhìn từ C, cạnh kề là AC, huyền là BC, nên \cos C=\dfrac{AC}{BC}.

Sai. \dfrac{AB}{AC} là đối chia kề của góc C, tức \tan C.

Sai. \dfrac{AC}{AB} là kề chia đối của góc C, tức \cot C.

3 Góc đặc biệt và đường tròn bán kính 1

Ba góc 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ} có giá trị chính xác, và một hình vẽ giúp em nhìn thấy sin, cos, tan như những đoạn thẳng thực sự.

Có ba loại góc mà em sẽ gặp thường xuyên đến mức nên nhớ luôn giá trị chính xác: 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}. Điều hay là em không cần học thuộc lòng, chỉ cần vẽ hai hình rất quen.

Hình 2. Hai tam giác cho ra mọi giá trị lượng giác của 30, 45, 60 độ: nửa tam giác đều (cạnh 1, căn 3, 2) và tam giác vuông cân (cạnh 1, 1, căn 2).

Tam giác vuông cân. Lấy tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng 1. Theo Pythagore, cạnh huyền là \sqrt{2}. Hai góc nhọn bằng nhau, mỗi góc 45^{\circ}. Từ đó \sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} và \tan45^{\circ}=\cot45^{\circ}=1.

Nửa tam giác đều. Lấy tam giác đều cạnh 2, kẻ đường cao. Đường cao cũng là đường trung tuyến nên chia đáy thành hai đoạn 1 và 1, đồng thời là phân giác nên tạo góc 30^{\circ}. Đường cao dài \sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}. Nửa tam giác đều là tam giác vuông với ba cạnh 1, \sqrt{3}, 2 và các góc 30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}. Nhìn từ góc 30^{\circ}: đối là 1, kề là \sqrt{3}, huyền là 2. Nhìn từ góc 60^{\circ}: đối là \sqrt{3}, kề là 1, huyền là 2.

Góc · \sin · \cos · \tan · \cot

30^{\circ} · \dfrac{1}{2} · \dfrac{\sqrt{3}}{2} · \dfrac{\sqrt{3}}{3} · \sqrt{3}

45^{\circ} · \dfrac{\sqrt{2}}{2} · \dfrac{\sqrt{2}}{2} · 1 · 1

60^{\circ} · \dfrac{\sqrt{3}}{2} · \dfrac{1}{2} · \sqrt{3} · \dfrac{\sqrt{3}}{3}

Mẹo nhớ bảng

Cột \sin đi từ 30^{\circ} đến 60^{\circ} là \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}: tăng dần. Cột \cos đi ngược lại. Chỉ cần nhớ mẫu này là điền được cả hai cột.

Một cách nhìn khác: đường tròn bán kính 1. Hình 3 đặt góc \alpha ở tâm O của đường tròn bán kính 1. Điểm M trên đường tròn có hình chiếu H xuống trục hoành. Tam giác OMH vuông tại H có huyền OM=1, nên chia cho huyền không làm thay đổi gì: \sin\alpha=MH và \cos\alpha=OH. Đoạn tiếp tuyến IK tại I cho \tan\alpha=IK, vì tam giác OIK có cạnh kề OI=1.

Hình 3. Trong đường tròn bán kính 1: sin là chiều cao, cos là hình chiếu ngang, tan là đoạn IK. Khi góc tăng từ 20 lên 60 độ, chiều cao tăng còn hình chiếu ngang giảm.

Hình 3 cho ta ba điều mà nhìn công thức khô khan khó thấy.

Vì MH và OH đều là cạnh góc vuông của tam giác có huyền 1, nên 0\lt\sin\alpha\lt1 và 0\lt\cos\alpha\lt1 với góc nhọn.
Góc tăng thì điểm chạy lên cao hơn và lùi vào trục tung: \sin tăng , \cos giảm . Đoạn tiếp tuyến IK cũng dài ra, nên \tan tăng, còn \cot=\dfrac{1}{\tan} giảm.
\tan\alpha không bị chặn trên: khi góc gần 90^{\circ}, tia OM gần thẳng đứng, gặp tiếp tuyến ở rất cao.