Toán 7 nền tảng: bắt bẫy số hữu tỉ, số thập phân, góc và cực trị
Sổ tay Toán 7 gom tám họ bẫy hay mất điểm: dấu, làm tròn, gạch nhầm, thiếu nghiệm, góc song song, cực trị. Có ví dụ từng bước, bài luyện, bắt lỗi và bài tổng…
Toán 7 · Củng cố nền tảng
Sổ tay bắt bẫy: số hữu tỉ, số thập phân, góc và cực trị
Phần lớn điểm mất ở Toán 7 không nằm ở bài khó mà nằm ở những bước “quen tay”: quên dấu, gạch nhầm, làm tròn hai lần, bỏ sót một nghiệm. Bài này gom các cái bẫy đó thành một cuốn sổ tay: mỗi bẫy có ví dụ, dấu hiệu nhận ra và bài luyện để em tự tạo phản xạ đúng.
Khoảng 120 phút Mức: cơ bản đến khá Có lời giải từng bước
Bạn sẽ học: số đối, nghịch đảo, giá trị tuyệt đối · số thập phân và làm tròn · tính hợp lí · phương trình có lũy thừa · góc đối đỉnh, kề bù, song song · giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
1 Vì sao bài dễ vẫn mất điểm
Trước khi vào từng bẫy, ta cần một tấm bản đồ và một quy trình kiểm tra thật ngắn.
Hãy nhớ lại lần gần nhất em bị trừ điểm ở một bài mà lúc làm em thấy “dễ ợt”. Có thể em đã cộng nhầm dấu ở dòng thứ hai, hoặc viết thiếu một nghiệm, hoặc làm tròn xong lại làm tròn tiếp. Điểm chung của những lỗi này là em biết cách làm nhưng tay đi trước não . Chúng không do thiếu kiến thức mà do thiếu một thói quen kiểm tra rất ngắn.
Vì thế bài này không chạy theo bài khó. Ta đi qua tám “họ bẫy” thường gặp nhất trong chương trình Toán 7, xem mỗi họ trông như thế nào, vì sao người làm bài hay rơi vào, và làm gì trong ba đến năm giây để thoát ra.
Họ bẫy · Dấu hiệu để nhận ra · Mục
Nhầm số đối với nghịch đảo · Đề có chữ “đối” hoặc “nghịch đảo” · 2
Dấu của lũy thừa · Có dấu trừ đứng trước hoặc trong ngoặc · 2
Thập phân hữu hạn hay vô hạn · Đề hỏi “viết dưới dạng thập phân” · 3
Làm tròn hai lần · Đề có “làm tròn đến hàng …” · 3
Gạch nhầm khi rút gọn · Tử hoặc mẫu là một tổng · 4
Bỏ sót hoặc thừa nghiệm · Có bình phương hoặc giá trị tuyệt đối · 5
Nhầm cặp góc · Có hai đường song song bị cắt · 6
Đảo chiều khi có dấu trừ · Hỏi giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất · 7
GV
Cô Lukato
Cô hay bảo học trò: bẫy nào cũng có “mùi” riêng . Khi thấy dấu trừ đứng trước một lũy thừa, khi thấy tử số là một tổng, khi thấy chữ “nhỏ nhất” trong đề, em hãy dừng một nhịp. Cả bài này là để em quen với những “mùi” đó.
Ghi nhớ
Quy trình bốn nhịp cho mọi bài tính: (1) đọc kĩ điều kiện và câu hỏi; (2) làm từng bước, không nhảy; (3) kiểm nhanh bằng ước lượng hoặc thử ngược; (4) kết luận đúng điều đề hỏi (đề hỏi “tìm x” thì trả lời giá trị của x, không dừng ở một biểu thức trung gian).
Thử nhanh trước khi học
Hai câu dưới đây giúp em biết mình đang ở đâu. Sai cũng không sao: phần giải thích sau mỗi phương án chính là bài học đầu tiên.
Số đối và số nghịch đảo của -\dfrac{3}{7} lần lượt là
Đúng: số đối chỉ đổi dấu, thành \dfrac{3}{7}; số nghịch đảo đảo tử với mẫu và giữ nguyên dấu, thành -\dfrac{7}{3}. Kiểm: -\dfrac{3}{7}\cdot\left(-\dfrac{7}{3}\right)=1.
Sai: đây là hai đáp số đúng nhưng bị đảo vai . Số đối là số cộng với nó ra 0; số nghịch đảo là số nhân với nó ra 1.
Sai: \dfrac{7}{3} đã đảo tử mẫu nhưng làm mất dấu. Thử: -\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{7}{3}=-1, không phải 1.
Sai: số đối của một số khác 0 không bao giờ bằng chính nó; số đối của -\dfrac{3}{7} phải là \dfrac{3}{7}.
Làm tròn số 7{,}3449 đến hàng phần trăm (hai chữ số thập phân), ta được
Đúng: chữ số ngay sau hàng phần trăm là 4 (bé hơn 5) nên giữ nguyên 7{,}34.
Sai: đây là lỗi làm tròn hai lần : 7{,}3449 rồi 7{,}345 rồi 7{,}35. Mỗi lần làm tròn chỉ được nhìn chữ số đứng ngay sau hàng cần giữ, và chỉ làm một lần từ số gốc.
Sai: 7{,}3 là làm tròn đến hàng phần mười, không phải hàng phần trăm.
Sai: 7{,}345 làm tròn đến hàng phần nghìn, chưa đúng yêu cầu.
2 Số đối, nghịch đảo, giá trị tuyệt đối và dấu của lũy thừa
Bốn ý tưởng nhỏ, nhưng là nguồn của rất nhiều lỗi dấu ở các bài về sau.
Ba khái niệm dưới đây nghe rất quen nên hay bị lẫn với nhau. Muốn không lẫn, hãy gắn mỗi khái niệm với phép tính đặc trưng của nó: số đối gắn với phép cộng , số nghịch đảo gắn với phép nhân , còn giá trị tuyệt đối gắn với khoảng cách tới số 0 .
Số đối
Số đối của a là -a, thỏa mãn a+(-a)=0. Chỉ đổi dấu , giữ nguyên độ lớn. Số đối của 0 là chính nó. Số đối của -\dfrac{3}{7} là \dfrac{3}{7}.
Số nghịch đảo
Số nghịch đảo của a\ne 0 là \dfrac{1}{a}, thỏa mãn a\cdot\dfrac{1}{a}=1. Với phân số \dfrac{m}{n} (m,n\ne 0) ta đảo tử với mẫu , giữ dấu: \dfrac{n}{m}. Số 0 không có nghịch đảo.
Ghi nhớ
Giá trị tuyệt đối của a, viết |a|, là khoảng cách từ a đến 0 trên trục số. Vì là khoảng cách nên |a|\ge 0 với mọi a; |a|=a khi a\ge 0 và |a|=-a khi a\lt 0. Đặc biệt |a|=0 khi và chỉ khi a=0.
Bảng nhớ nhanh cho số a=-\dfrac{3}{7}: số đối \dfrac{3}{7} (cộng lại ra 0), số nghịch đảo -\dfrac{7}{3} (nhân lại ra 1), giá trị tuyệt đối \dfrac{3}{7} (khoảng cách tới 0). Chú ý: số đối và giá trị tuyệt đối của a trùng nhau ở đây chỉ vì a âm; với a dương thì giá trị tuyệt đối là chính a, còn số đối là -a.
Dấu của lũy thừa
Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a. Điều duy nhất cần chú ý là dấu ngoặc : nó quyết định dấu trừ có thuộc về cơ số hay không.
Có ngoặc
(-3)^{2}=(-3)\cdot(-3)=9. Cơ số là -3. Mũ chẵn cho kết quả dương, mũ lẻ giữ dấu âm: (-3)^{3}=-27.
Không có ngoặc
-3^{2}=-(3\cdot 3)=-9. Cơ số là 3, dấu trừ đứng ngoài, thực hiện sau cùng. Bậc 2 “ăn” 3 trước, rồi mới lấy số đối.
Ví dụ 1 · Tính A=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{2}+\left(-\dfrac{2}{5}\right)^{3}-\dfrac{1}{3^{2}}
Xét từng lũy thừa và xác định dấu trước: \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{2} mũ chẵn nên dương; \left(-\dfrac{2}{5}\right)^{3} mũ lẻ nên âm; \dfrac{1}{3^{2}} cơ số dương nên dương.
Xác định dấu trước khi tính số giúp không bị cuốn theo phép nhân.
Tính độ lớn: \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{1}{9}; \left(-\dfrac{2}{5}\right)^{3}=-\dfrac{8}{125}; \dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}.
Lũy thừa của phân số: nâng cả tử và mẫu lên cùng bậc, \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}.
Thay vào: A=\dfrac{1}{9}-\dfrac{8}{125}-\dfrac{1}{9}.
Phép trừ \dfrac{1}{3^{2}} đã mang sẵn dấu trừ ở đề, nên số hạng thứ ba là -\dfrac{1}{9}.
Nhận ra \dfrac{1}{9} và -\dfrac{1}{9} là hai số đối nhau nên triệt tiêu: A=-\dfrac{8}{125}.
Không cần quy đồng mẫu 9 với 125: nhìn cấu trúc trước khi tính giúp tránh sai sót.
Bẫy thường gặp
Viết -3^{2}=9. Sai! Vì không có ngoặc nên dấu trừ đứng ngoài: -3^{2}=-9. Ngược lại (-3)^{2}=9. Cùng bộ ký tự nhưng chỉ khác một cặp ngoặc, kết quả trái dấu nhau. Trước khi tính lũy thừa, hãy hỏi: cơ số là gì, có gồm dấu trừ không?
Bẫy thường gặp
Nhầm số đối với nghịch đảo: hỏi “nghịch đảo của -\dfrac{3}{7}” mà trả lời \dfrac{3}{7}. Đó là số đối. Thử lại bằng định nghĩa: -\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{3}{7}=-\dfrac{9}{49}\ne 1. Phép thử ngược này chỉ mất năm giây.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Tìm số nghịch đảo của -\dfrac{3}{7}. Nhập phân số.
Gợi ý 1. Số nghịch đảo là số nhân với nó ra 1.
Gợi ý 2. Đảo tử với mẫu và giữ nguyên dấu.
Chính xác! -\dfrac{3}{7}\cdot\left(-\dfrac{7}{3}\right)=1.
Em đã đảo tử mẫu nhưng làm mất dấu trừ. Nhân với số ban đầu sẽ ra -1 chứ không phải 1.
Đây là số đối của -\dfrac{3}{7}, không phải số nghịch đảo. Số nghịch đảo phải nhân lại với số ban đầu ra 1.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Số nghịch đảo của -\dfrac{3}{7} là \dfrac{1}{-\dfrac{3}{7}}=-\dfrac{7}{3}. Thử lại: -\dfrac{3}{7}\cdot\left(-\dfrac{7}{3}\right)=\dfrac{21}{21}=1.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Tính (-2)^{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}. Nhập một số.
Gợi ý 1. Tính riêng từng lũy thừa: mũ lẻ giữ dấu âm, mũ chẵn cho kết quả dương.
Gợi ý 2. (-2)^{3}=-8 và \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}.
Chính xác! -8\cdot\dfrac{1}{4}=-2.
Em đã coi hai số hạng cùng âm nên tích dương. Nhưng \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4} là số dương, tích của số âm và số dương là số âm.
Em mới tính thừa số thứ nhất. Cần nhân tiếp với \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
(-2)^{3}=-8 (mũ lẻ, âm). \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4} (mũ chẵn, dương). Tích: -8\cdot\dfrac{1}{4}=-2.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Tính \left|-\dfrac{3}{4}\right|-\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}\right|. Nhập phân số.
Gợi ý 1. Tính biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối trước rồi mới lấy giá trị tuyệt đối.
Gợi ý 2. \dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{4}, giá trị tuyệt đối là \dfrac{1}{4}.
Chính xác! \dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}.
Em đã bỏ dấu giá trị tuyệt đối mà vẫn để -\dfrac{1}{4}, nên trừ thành cộng: \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1. Giá trị tuyệt đối luôn không âm, kết quả bên trong phải thành \dfrac{1}{4}.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
\left|-\dfrac{3}{4}\right|=\dfrac{3}{4}. \dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{4} nên \left|-\dfrac{1}{4}\right|=\dfrac{1}{4}. Vậy kết quả là \dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}.
Em hãy phán đoán từng mệnh đề sau. Chú ý các dấu ngoặc.
a) -3^{2}=9.
Sai: không có ngoặc nên -3^{2}=-(3^{2})=-9.
b) (-3)^{2}=9.
Đúng: cơ số là -3, mũ chẵn nên kết quả dương.
c) Hai số -\dfrac{1}{2} và \dfrac{1}{-2} bằng nhau.
Đúng: \dfrac{1}{-2}=\dfrac{-1}{2}. Dấu trừ đứng ở tử hay ở mẫu đều cho cùng một số.
d) Số nghịch đảo của 0{,}5 là -2.
Sai: 0{,}5=\dfrac{1}{2} nên nghịch đảo là 2, không đổi dấu. Số -2 là số đối của 2, không phải nghịch đảo của 0{,}5.
3 Số thập phân và làm tròn
Đổi qua lại giữa phân số và số thập phân, rồi làm tròn mà không bị lệch một đơn vị.
Mọi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng số thập phân, và chỉ có hai khả năng: hoặc hữu hạn (như 0{,}35), hoặc vô hạn tuần hoàn (như 0{,}333\ldots=0{,}(3), phần trong ngoặc là chu kì). Câu hỏi hay gặp là: không cần chia, làm sao biết phân số thuộc loại nào?
Ghi nhớ
Dấu hiệu nhận biết. Đưa phân số về dạng tối giản với mẫu dương. Nếu mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 hoặc 5 thì phân số viết được thành số thập phân hữu hạn; nếu mẫu còn có ước nguyên tố khác thì viết thành số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Lí do khá đơn giản: hệ thập phân dựa trên số 10=2\cdot 5. Một phân số có mẫu chỉ gồm thừa số 2 và 5 luôn đưa được về mẫu 10, 100, 1000, …, tức là về số thập phân hữu hạn. Ví dụ \dfrac{7}{20}=\dfrac{35}{100}=0{,}35. Mẫu có thừa số khác, như 3 hoặc 7, thì không thể, và phép chia sẽ lặp lại.
Chữ “tối giản” là chỗ hay sinh bẫy. Phân số \dfrac{9}{24} có mẫu 24=2^{3}\cdot 3 chứa thừa số 3, nhìn qua tưởng là tuần hoàn. Nhưng rút gọn cho 3 được \dfrac{3}{8}, mẫu 8=2^{3}, nên thực ra \dfrac{9}{24}=0{,}375 hữu hạn.
Ví dụ 2 · Viết 0{,}2(3) dưới dạng phân số tối giản
Đặt x=0{,}2(3)=0{,}2333\ldots Phần “2” không lặp, phần “3” lặp lại mãi.
Số này có một chữ số không tuần hoàn (là 2) đứng trước chu kì.
Nhân hai vế với 10 để đưa phần không lặp sang trái dấu phẩy: 10x=2{,}333\ldots
Bây giờ sau dấu phẩy chỉ còn phần tuần hoàn.
Nhân tiếp với 10 (tức 100x) để dời thêm đúng một chu kì: 100x=23{,}333\ldots
Chu kì chỉ có một chữ số nên dời một lần là đủ.
Trừ vế với vế: 100x-10x=23{,}333\ldots-2{,}333\ldots, tức 90x=21.
Hai đuôi 0{,}333\ldots giống hệt nhau nên triệt tiêu hoàn toàn.
Suy ra x=\dfrac{21}{90}=\dfrac{7}{30}.
Kiểm: 7:30=0{,}2333\ldots, khớp với 0{,}2(3). Chú ý phải rút gọn: \dfrac{21}{90} chưa tối giản.
Bảng quy đổi nhanh cho các chu kì đơn giản: 0{,}(3)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}; 0{,}(27)=\dfrac{27}{99}=\dfrac{3}{11}; 0{,}(45)=\dfrac{45}{99}=\dfrac{5}{11}. Chu kì k chữ số thì mẫu là số gồm k chữ số 9. Nếu có phần không lặp thì dùng cách nhân 10 như ví dụ trên.
Làm tròn số
Quy tắc gọn nhất: để làm tròn đến một hàng, chỉ nhìn chữ số đứng ngay sau hàng đó . Chữ số ấy nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên chữ số ở hàng cần làm tròn (và bỏ phần sau); từ 5 trở lên thì tăng chữ số đó thêm 1.
Làm tròn một lần
Từ 7{,}3449 làm tròn đến hàng phần trăm: chữ số ngay sau hàng phần trăm là 4 nên được 7{,}34. Từ 7{,}3496: chữ số ngay sau là 9 nên được 7{,}35.
Làm tròn kết quả cuối
Tính 2{,}44+3{,}44=5{,}88 rồi mới làm tròn đến hàng đơn vị: 6. Nếu làm tròn từng số trước (2 và 3) rồi cộng thì ra 5, lệch một đơn vị.
Bẫy thường gặp
Làm tròn hai lần. Muốn làm tròn 7{,}3449 đến hàng phần trăm, có bạn làm tròn đến phần nghìn được 7{,}345, rồi làm tròn tiếp được 7{,}35. Sai! Đáp số đúng là 7{,}34, vì chữ số ngay sau hàng phần trăm của số gốc là 4. Luôn làm tròn từ số gốc, đúng một lần.
Bẫy thường gặp
Làm tròn quá sớm. Trong bài tính nhiều bước, đừng làm tròn số trung gian. Cộng 2{,}44+3{,}44 làm tròn từng số cho 5, nhưng tổng đúng 5{,}88 làm tròn ra 6. Cứ giữ nguyên giá trị đến bước cuối rồi mới làm tròn theo yêu cầu.
Bài 4 Mức 1 · Nhận biết
Viết \dfrac{7}{20} dưới dạng số thập phân. Nhập một số.