Toán 8: hằng đẳng thức và chuỗi chứng minh hình chữ nhật, bình hành, hình thoi
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, dấu hiệu nhận biết tứ giác và bài chứng minh ba ý về hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi, có bắt lỗi lời giải và bài tổng…
Toán 8 · Hằng đẳng thức và tứ giác
Từ hằng đẳng thức đến chuỗi chứng minh hình thoi
Một bài kiểm tra Toán 8 thường có hai kiểu tư duy đi cạnh nhau: đại số đòi hỏi em nhìn ra mẫu trước khi khai triển, hình học đòi hỏi em xây một chuỗi kết luận, mỗi kết luận là vật liệu cho bước sau. Bài này luyện cả hai, rồi ghép lại trong một bài chứng minh dài gồm ba ý nối tiếp: hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi.
Khoảng 150 phút Mức: khá đến giỏi Có bài tự luận tự chấm
Bạn sẽ học: bảy hằng đẳng thức đáng nhớ · biểu thức không phụ thuộc biến · dấu hiệu nhận biết tứ giác · chuỗi chứng minh ba ý · bắt lỗi lời giải · đề tổng hợp
1 Một bài kiểm tra, hai kiểu tư duy
Bản đồ bài học và ba câu hỏi nên tự hỏi trước mỗi bài chứng minh.
Đề giữa học kì I môn Toán 8 thường gồm hai nửa. Nửa đại số hỏi về nhân đa thức và hằng đẳng thức đáng nhớ : khai triển, tính nhanh, chứng minh một biểu thức không phụ thuộc vào x, tìm x. Nửa hình học hỏi về tứ giác : hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, thường là một bài chứng minh gồm ba ý liên tiếp. Bài luyện này do LUKATO tự soạn, mô phỏng dạng đề đó; mọi số liệu đều được kiểm lại bằng máy.
Đại số: nhìn mẫu
Trước khi khai triển, hãy hỏi: biểu thức này có dạng bình phương, hiệu hai bình phương hay lập phương không? Nhận ra mẫu giúp phép tính ngắn đi rất nhiều và ít sai hơn.
Hình học: xây chuỗi
Một bài chứng minh nhiều ý giống một chuỗi mắt xích. Kết luận ý a được dùng làm giả thiết cho ý b, kết luận ý b lại được dùng cho ý c. Nếu bỏ một mắt xích, chuỗi đứt.
Mục · Em sẽ làm được
2. Bảy hằng đẳng thức · Nhận mẫu, khai triển đúng dấu, tính nhanh
3. Vận dụng vào bài toán · Tìm x, biểu thức không đổi, bài toán hình chữ nhật, phân tích nhân tử
4. Dấu hiệu nhận biết tứ giác · Chọn đúng dấu hiệu, tránh ba lỗi quen thuộc
5. Chuỗi chứng minh ba ý · Tự dựng hình, chứng minh ba ý, kiểm bằng tọa độ
6. Bắt lỗi lời giải · Chỉ ra chỗ sai trong lời giải tự tin
7. Đề tổng hợp · Làm một đề mô phỏng, cả đại số và hình học
Ghi nhớ
Ba câu hỏi trước mỗi bài chứng minh: (1) đề cho gì? (2) cần chứng minh gì? (3) có dấu hiệu hay tính chất nào nối hai đầu ấy? Viết ra nháp ba dòng này trước khi viết lời giải, bài sẽ đỡ rối rất nhiều.
Thử nhanh trước khi học
Khai triển (x+5)^{2} ta được
Sai: đây là lỗi kinh điển “bình phương từng số hạng”, thiếu hạng tử ở giữa. Thử x=1: (1+5)^{2}=36 nhưng 1+25=26.
Đúng: (x+5)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot 5+5^{2}=x^{2}+10x+25. Kiểm với x=1: 1+10+25=36.
Sai: hạng tử giữa là 2\cdot x\cdot 5=10x, không phải 5x.
Sai: hạng tử cuối là 5^{2}=25, không phải 10.
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là
Đúng: đây là một dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
Sai: hình thoi còn cần thêm điều kiện (hai cạnh kề bằng nhau, hoặc hai đường chéo vuông góc).
Sai: hình chữ nhật còn cần thêm điều kiện (một góc vuông, hoặc hai đường chéo bằng nhau).
Sai: hình thang chỉ cần một cặp cạnh song song, không có tính chất về trung điểm hai đường chéo.
2 Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
Nhận mẫu, khai triển đúng dấu và kiểm bằng cách thử một số cụ thể.
Hằng đẳng thức là đẳng thức đúng với mọi giá trị của các chữ. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là những “mẫu” mà ta gặp đi gặp lại. Trong đó A và B có thể là số, là chữ, hoặc cả một biểu thức.
Bảy hằng đẳng thức
- (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}
- (A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}
- A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)
- (A+B)^{3}=A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3}
- (A-B)^{3}=A^{3}-3A^{2}B+3AB^{2}-B^{3}
- A^{3}+B^{3}=(A+B)(A^{2}-AB+B^{2})
- A^{3}-B^{3}=(A-B)(A^{2}+AB+B^{2})
Hằng đẳng thức đầu tiên có một cách nhìn rất trực quan. Hình vuông cạnh a+b được chia thành bốn phần: một hình vuông cạnh a, một hình vuông cạnh b và hai hình chữ nhật a\times b. Cộng diện tích bốn phần ta được đúng vế phải a^{2}+2ab+b^{2}.
Hình 1. Mô hình diện tích: hình vuông cạnh a + b (với a = 3, b = 2) có diện tích 25, bằng 9 + 6 + 6 + 4, tức là a bình phương, hai lần a nhân b và b bình phương.
Bình phương
Hạng tử ở giữa luôn là hai lần tích 2AB, dấu của nó theo dấu giữa hai số hạng ban đầu. Hạng tử đầu và cuối luôn dương vì là bình phương.
Hiệu hai bình phương
Chỉ có hai số hạng, ở giữa là dấu trừ, và cả hai đều là bình phương. Nó phân tích thành tích hai thừa số (A-B)(A+B), rất tiện để tính nhanh.
Ví dụ 1 · Nhận mẫu: viết 4x^{2}+4xy+y^{2} thành bình phương của một tổng
Nhìn hai số hạng đầu và cuối: 4x^{2}=(2x)^{2} và y^{2}=(y)^{2}. Vậy có thể đặt A=2x, B=y.
Hạng tử đầu và cuối đều là bình phương, dấu hiệu đầu tiên của mẫu bình phương một tổng.
Kiểm hạng tử giữa: 2AB=2\cdot 2x\cdot y=4xy. Khớp với đề.
Nếu hạng tử giữa không khớp thì đây không phải bình phương đầy đủ.
Kết luận: 4x^{2}+4xy+y^{2}=(2x+y)^{2}.
Kiểm bằng khai triển ngược: (2x+y)^{2}=4x^{2}+4xy+y^{2}.
Ví dụ 2 · Hiệu hai bình phương: tính (2x+3)^{2}-(2x-1)^{2}
Nhận ra dạng A^{2}-B^{2} với A=2x+3 và B=2x-1.
Hai bình phương ngăn cách bằng dấu trừ: đúng mẫu hiệu hai bình phương, không cần khai triển từng bình phương.
Tính A-B=(2x+3)-(2x-1)=4 và A+B=(2x+3)+(2x-1)=4x+2.
Khi trừ B, nhớ đổi dấu cả hai số hạng trong ngoặc: -(2x-1)=-2x+1.
Nhân lại: (A-B)(A+B)=4\cdot(4x+2)=16x+8.
Kiểm với x=1: (5)^{2}-(1)^{2}=24 và 16+8=24.
Bẫy thường gặp
Bình phương từng số hạng. Viết (x+5)^{2}=x^{2}+25. Sai! Thiếu hạng tử giữa 2\cdot x\cdot 5=10x. Cách tự kiểm: thay x=1, vế trái (1+5)^{2}=36 nhưng vế phải 1+25=26. Chỉ cần thử một giá trị là bắt được lỗi.
Bẫy thường gặp
Nhầm dấu khi hiệu hai bình phương thành bình phương một hiệu. A^{2}-B^{2} và (A-B)^{2} là hai thứ khác nhau: x^{2}-9=(x-3)(x+3), còn (x-3)^{2}=x^{2}-6x+9. Thử x=5: x^{2}-9=16 nhưng (x-3)^{2}=4.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Khai triển (3x-2)^{2}. Hệ số của x trong kết quả bằng bao nhiêu? Nhập một số.
Gợi ý 1. Dùng (A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2} với A=3x, B=2.
Gợi ý 2. Hạng tử giữa là -2AB: nhớ cả dấu trừ lẫn hệ số 2.
Chính xác! (3x-2)^{2}=9x^{2}-12x+4.
Em quên dấu: giữa hai số hạng có dấu trừ nên hạng tử giữa mang dấu trừ.
Em quên nhân đôi: hạng tử giữa là -2\cdot 3x\cdot 2=-12x, không phải -3x\cdot 2.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
(3x-2)^{2}=(3x)^{2}-2\cdot 3x\cdot 2+2^{2}=9x^{2}-12x+4. Hệ số của x là -12.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Tính nhanh 101^{2} bằng cách viết 101=100+1. Nhập một số.
Gợi ý 1. Dùng (A+B)^{2} với A=100, B=1.
Gợi ý 2. Đừng quên hạng tử giữa 2AB và hạng tử cuối B^{2}.
Chính xác! 101^{2}=10000+200+1=10201.
Em bình phương từng số hạng: 100^{2}+1^{2}. Thiếu hạng tử giữa 2\cdot 100\cdot 1=200.
Em đã tính đến 10000+200 nhưng quên hạng tử cuối 1^{2}=1.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
101^{2}=(100+1)^{2}=100^{2}+2\cdot 100\cdot 1+1^{2}=10000+200+1=10201.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Tính nhanh 98\cdot 102 bằng cách viết 98=100-2, 102=100+2. Nhập một số.
Gợi ý 1. Đây là tích (A-B)(A+B) với A=100, B=2.
Gợi ý 2. Tích của tổng và hiệu hai số bằng hiệu hai bình phương; tính riêng từng bình phương rồi trừ.
Chính xác! 98\cdot 102=100^{2}-2^{2}=9996.
Em quên trừ B^{2}=4. Hiệu hai bình phương là 100^{2}-2^{2}, không phải 100^{2}.
Em đã lấy 98\cdot 100 thay vì 98\cdot 102.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
98\cdot 102=(100-2)(100+2)=100^{2}-2^{2}=10000-4=9996.
Bài 4 Mức 2 · Vận dụng
Tìm hằng số m để 25x^{2}-20x+m là bình phương của một nhị thức. Nhập một số.
Gợi ý 1. Hạng tử đầu 25x^{2}=(5x)^{2}. Đặt A=5x.
Gợi ý 2. Hạng tử giữa -20x=-2\cdot 5x\cdot B, tìm B; rồi m=B^{2}.
Chính xác! 25x^{2}-20x+4=(5x-2)^{2}.
Em đã tìm được B=2 nhưng chưa bình phương. Hạng tử cuối là B^{2}=4.
Em nhầm B=4 do lấy 20:5. Phải chia 20 cho 2\cdot 5=10 để được B=2.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Từ -2\cdot 5x\cdot B=-20x ta được B=2, nên m=B^{2}=4. Kiểm: (5x-2)^{2}=25x^{2}-20x+4.
Khai triển đúng của (2x-3y)^{2} là
Sai: đây là hiệu hai bình phương, còn thiếu hạng tử giữa của bình phương một hiệu.
Sai: hạng tử giữa là -2\cdot 2x\cdot 3y=-12xy, không phải -6xy (quên nhân đôi).
Đúng: (2x-3y)^{2}=(2x)^{2}-2\cdot 2x\cdot 3y+(3y)^{2}=4x^{2}-12xy+9y^{2}.
Sai: hạng tử giữa phải mang dấu trừ vì đề là bình phương của một hiệu.
Em hãy kiểm từng mệnh đề. Gợi ý: thử một số cụ thể, chẳng hạn a=2, b=1.
a) (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2} với mọi a, b.
Sai: với a=2, b=1 vế trái là 9, vế phải là 5. Thiếu 2ab.
b) (a-b)^{2}=(b-a)^{2} với mọi a, b.
Đúng: hai biểu thức đối nhau, mà bình phương của hai số đối nhau thì bằng nhau.
c) a^{2}-b^{2}=(a-b)^{2} với mọi a, b.
Sai: với a=2, b=1 vế trái là 3, vế phải là 1.
d) (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} với mọi a, b.
Đúng: với a=2, b=1 cả hai vế cùng bằng 27.
3 Dùng hằng đẳng thức để giải bài
Bốn dạng bài quen thuộc: tìm x, biểu thức không đổi, bài có lời văn, phân tích nhân tử.
Hằng đẳng thức không phải để học thuộc rồi để đó; nó là công cụ cho bốn dạng bài quen thuộc: tìm x , chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến , bài toán có lời văn và phân tích đa thức thành nhân tử . Ở dạng nào cũng vậy, việc đầu tiên là nhìn ra mẫu, việc cuối cùng là kiểm lại.
Ví dụ 3 · Chứng minh biểu thức F=(2x+3)(3x-1)+(1-2x)(3x+5)+7 không phụ thuộc vào x
Khai triển tích thứ nhất: (2x+3)(3x-1)=6x^{2}-2x+9x-3=6x^{2}+7x-3.
Nhân từng số hạng của thừa số thứ nhất với từng số hạng của thừa số thứ hai, không bỏ sót.
Khai triển tích thứ hai: (1-2x)(3x+5)=3x+5-6x^{2}-10x=-6x^{2}-7x+5.
Chú ý -2x\cdot 5=-10x và -2x\cdot 3x=-6x^{2}.
Cộng lại: F=(6x^{2}-6x^{2})+(7x-7x)+(-3+5+7).
Nhóm theo bậc của x để thấy các hạng tử cùng bậc triệt tiêu.
Vậy F=9 với mọi x, tức F không phụ thuộc vào x.
Kiểm với x=0: 3\cdot(-1)+1\cdot 5+7=9. Kiểm với x=1: 5\cdot 2+(-1)\cdot 8+7=9.
Ví dụ 4 · Bài có lời văn: một hình chữ nhật có chiều dài (3x+1)^{2} m, chiều rộng (3x-1)^{2} m, chiều dài hơn chiều rộng 30 m. Tính chu vi
Chiều dài hơn chiều rộng 30 m nên (3x+1)^{2}-(3x-1)^{2}=30.
Dịch câu chữ thành phương trình: “hơn” nghĩa là hiệu.
Dùng hiệu hai bình phương: (3x+1-3x+1)(3x+1+3x-1)=2\cdot 6x=12x. Vậy 12x=30, x=\dfrac{5}{2}.
Không khai triển từng bình phương: hiệu hai bình phương cho kết quả gọn hơn nhiều.
Tính hai kích thước: dài =\left(3\cdot\dfrac{5}{2}+1\right)^{2}=\left(\dfrac{17}{2}\right)^{2}=\dfrac{289}{4} m; rộng =\left(\dfrac{13}{2}\right)^{2}=\dfrac{169}{4} m.
Thử: \dfrac{289}{4}-\dfrac{169}{4}=\dfrac{120}{4}=30, đúng đề.
Chu vi =2\cdot\left(\dfrac{289}{4}+\dfrac{169}{4}\right)=2\cdot\dfrac{458}{4}=229 m.
Đề hỏi chu vi, không phải nửa chu vi: đừng quên nhân đôi.
Bẫy thường gặp
Khai triển sai khi có dấu trừ trước ngoặc. Trong (x+2)^{2}-(x-3)(x+3), nếu viết x^{2}+4x+4-x^{2}-9 thì sai. Dấu trừ đứng trước cả một tích, mà (x-3)(x+3)=x^{2}-9; bỏ ngoặc phải là -x^{2}+9. Kết quả đúng là 4x+13, không phải 4x-5.
Bài 5 Mức 2 · Vận dụng
Tìm x, biết (x+3)^{2}-(x-2)(x+2)=25. Nhập một số.
Gợi ý 1. Khai triển (x+3)^{2} và (x-2)(x+2) bằng hằng đẳng thức.
Gợi ý 2. Bỏ ngoặc có dấu trừ đứng trước thì đổi dấu cả hai số hạng trong ngoặc.
Chính xác! x^{2}+6x+9-x^{2}+4=6x+13=25, nên x=2.
Em bỏ ngoặc mà quên đổi dấu số hạng -4, nên được 6x+5=25. Đúng ra -(x^{2}-4)=-x^{2}+4.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
(x+3)^{2}=x^{2}+6x+9 và (x-2)(x+2)=x^{2}-4. Phương trình thành x^{2}+6x+9-x^{2}+4=25, tức 6x+13=25, x=2. Thử: 25-0=25, đúng.
Bài 6 Mức 3 · Thách thức
Hình chữ nhật có chiều dài (2x+3)^{2} m, chiều rộng (2x-3)^{2} m, chiều dài hơn chiều rộng 72 m. Chu vi hình chữ nhật là bao nhiêu mét? Nhập một số.
Gợi ý 1. Lập phương trình “dài trừ rộng bằng 72” và dùng hiệu hai bình phương để tìm x.
Gợi ý 2. Có x rồi thì tính riêng chiều dài, chiều rộng; chu vi bằng hai lần tổng hai kích thước.
Chính xác! 24x=72, x=3; dài 81 m, rộng 9 m, chu vi 180 m.
Em mới tính nửa chu vi 81+9=90. Chu vi phải nhân đôi.
Đây là giá trị của x, chưa phải chu vi. Hãy tính chiều dài và chiều rộng từ x.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
(2x+3)^{2}-(2x-3)^{2}=(2x+3-2x+3)(2x+3+2x-3)=6\cdot 4x=24x. Từ 24x=72 được x=3. Dài =9^{2}=81 m, rộng =3^{2}=9 m (thử: 81-9=72). Chu vi =2\cdot(81+9)=180 m.
Bài 7 Mức 3 · Thách thức
Biểu thức G=(x+3)(4x-1)+(1-x)(4x+15)-2 luôn bằng một số không đổi. Số đó là bao nhiêu? Nhập một số.
Gợi ý 1. Khai triển từng tích rồi cộng, để ý các hạng tử x^{2} và x triệt tiêu.
Gợi ý 2. Nếu các hạng tử chứa x đều triệt tiêu, chỉ cần theo dõi phần hằng số của mỗi tích (tích hai số hạng tự do) và hằng số cuối đề.
Chính xác! G=10 với mọi x.