Đường chéo nhỏ nhất: chân cao, hình chiếu và số hình có thể dựng
Mô tả cả họ hình chữ nhật trong tam giác vuông, chứng minh cực tiểu đường chéo, lọc các nghiệm dựng ngược và so sánh với mục tiêu diện tích lớn nhất.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Đường chéo nhỏ nhất: chân cao, hình chiếu và số hình có thể dựng
Mô tả cả họ hình chữ nhật trong tam giác vuông, chứng minh cực tiểu đường chéo, lọc các nghiệm dựng ngược và so sánh với mục tiêu diện tích lớn nhất.
01 · Cùng một hình chữ nhật, các mục tiêu có thể khác nhau
Một hình chữ nhật có đường chéo ngắn nhất có nhất thiết có diện tích lớn nhất không? Muốn trả lời, ta cần một họ hình xác định rõ, rồi tối ưu đúng đại lượng trong từng câu hỏi.
Cho tam giác ABC vuông tại A, với AB=a>0, AC=b>0. Chọn Q trong đoạn BC, khác hai đầu mút. Hạ QE\perp AB, QF\perp AC, với E\in AB,F\in AC. Ba góc tại A,E,F đều vuông nên AEQF là hình chữ nhật. Hai đường chéo bằng nhau:
EF=AQ.
Vì vậy tìm hình chữ nhật có đường chéo ngắn nhất chính là tìm điểm Q trên cạnh huyền gần A nhất. Đẳng thức hai đường chéo chuyển một câu hỏi về tứ giác thành câu hỏi về khoảng cách.
02 · Mô tả đủ mọi hình, kể cả chiều dựng ngược
Đặt A=(0,0), B=(a,0), C=(0,b). Gọi t=BQ/BC. Vì Q ở trong cạnh, 0<t<1. Đồng dạng hoặc công thức chia đoạn cho
Q=(a(1-t),bt),\quad E=(a(1-t),0),\quad F=(0,bt).
Hai kích thước x=AE=a(1-t), y=AF=bt đều dương, và
\frac xa+\frac yb=1.
Ngược lại, nếu x,y>0 thỏa hệ thức ấy, đặt t=y/b. Ta có 0<t<1 và x=a(1-t). Điểm Q=(x,y) nằm trong BC, cho đúng một hình chữ nhật của họ. Không có hình nào bị bỏ sót, cũng không có cặp kích thước được thêm vào ngoài tam giác.
Tại t=0, Q=B, chiều cao hình chữ nhật bằng 0. Tại t=1, Q=C, chiều rộng bằng 0. Hai đầu mút không thuộc họ hình chữ nhật thật sự, dù công thức tọa độ vẫn tính được.
03 · Chân đường cao cho đường chéo nhỏ nhất
Gọi H là chân đường vuông góc từ A xuống BC. Trong tam giác vuông không suy biến, H nằm trong cạnh huyền. Với Q\ne H, tam giác AHQ vuông tại H, nên
AQ^2=AH^2+HQ^2>AH^2.
Với Q=H, đẳng thức vẫn đúng khi HQ=0. Vậy đường chéo nhỏ nhất duy nhất đạt tại Q=H.
Đặt c=BC=\sqrt{a^2+b^2}>0. Tính diện tích tam giác theo hai cách cho ab/2=c\cdot AH/2, nên AH=ab/c. Để tìm kích thước hình chữ nhật tại đó, xét hệ số góc: BC có hệ số -b/a, còn AQ có hệ số y/x. Vì x,a>0,
AQ\perp BC\iff\frac yx=\frac ab\iff ax=by.
Kết hợp x/a+y/b=1 với ax=by, ta được
AE=\frac{ab^2}{a^2+b^2},\qquad AF=\frac{a^2b}{a^2+b^2}.
Các số này dương và cho tổng tỉ lệ đúng bằng 1; chúng dựng được một hình. Chiều đảo của tiêu chuẩn vuông góc xác nhận đó đúng là hình tại chân cao. Trong cả họ, đẳng thức AE\cdot AB=AF\cdot AC đặc trưng chính xác cho vị trí có đường chéo ngắn nhất.
04 · Một bình phương cho biết độ chênh chính xác
Từ tọa độ, bình phương đường chéo tại tham số t là
D(t)^2=a^2(1-t)^2+b^2t^2.
Hoàn thành bình phương:
D(t)^2=(a^2+b^2)\left(t-\frac{a^2}{a^2+b^2}\right)^2+\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}.
Đặt t_0=a^2/(a^2+b^2)\in(0;1), h=ab/c. Khi ấy D(t)^2=h^2+c^2(t-t_0)^2. Công thức này kiểm lại cực tiểu h, đồng thời cho độ tăng bình phương đường chéo ở mỗi độ lệch vị trí. Vì HQ=c|t-t_0|, nó chính là Pythagore ở phần trước dưới dạng tham số.
Hai vị trí cách t_0 bằng nhau cho cùng đường chéo nếu cả hai vẫn trong (0;1). Chúng không nhất thiết đối xứng quanh trung điểm cạnh huyền, vì t_0 chưa chắc bằng 1/2.
05 · Biết đường chéo thì có bao nhiêu hình?
Yêu cầu đường chéo bằng d\ge0. Nếu d<h, không có. Nếu d=h, chỉ có t=t_0. Nếu d>h, giải bình phương cho hai ứng viên phân biệt:
t_{-}=\frac{a^2-\sqrt{c^2d^2-a^2b^2}}{c^2},\qquad t_{+}=\frac{a^2+\sqrt{c^2d^2-a^2b^2}}{c^2}.
Chưa thể kết luận ngay “hai hình”. Vì t_{-}<t_0<1, nó nằm trong miền khi và chỉ khi t_{-}>0. Các vế so sánh đều không âm, nên
t_{-}>0\iff c^2d^2-a^2b^2<a^4\iff d<a.
Tương tự t_{+}>t_0>0, và
t_{+}<1\iff c^2d^2-a^2b^2<b^4\iff d<b.
Mọi ứng viên được giữ đều dựng một hình theo phần 02; thay vào phương trình bình phương cho đường chéo đúng bằng d, vì độ dài và d không âm. Vậy phân loại đầy đủ là:
- 0\le d<h: không có hình.
- d=h: đúng một hình.
- h<d<\min\{a,b\}: đúng hai hình.
- Nếu a\ne b và \min\{a,b\}\le d<\max\{a,b\}: đúng một hình.
- d\ge\max\{a,b\}: không có hình chữ nhật không suy biến.
Khi a=b, trường hợp một hình ở dòng thứ tư không tồn tại; tại d=a=b, cả hai ứng viên là đầu mút bị loại. Ta có h<\min\{a,b\} vì c lớn hơn từng cạnh góc vuông, nên khoảng cho hai hình luôn có độ dài dương.
Họ này không có đường chéo lớn nhất. Mọi d trong [h;\max\{a,b\}) đều đạt; với một giá trị đã đạt, chọn giá trị ở giữa nó và \max\{a,b\} sẽ cho một hình có đường chéo lớn hơn. Cận trên không đạt vì các vị trí biên làm hình chữ nhật suy biến.
06 · Mẫu nguồn: đường cao và hai hình chiếu
Mẫu được chọn có tam giác ABC vuông tại A, AB=6, AC=8, AH là đường cao; E,F là hình chiếu của H lên AB,AC. Trong mô hình đã học, đây chính là vị trí Q=H. Ta có
BC=10,\quad AH=\frac{24}{5}=4{,}8,
AE=\frac{96}{25}=3{,}84,\qquad AF=\frac{72}{25}=2{,}88.
Kiểm tra đầy đủ: AE/6+AF/8=1, 6AE=8AF=576/25=AH^2, và AE^2+AF^2=576/25. Hình chữ nhật có đường chéo EF=AH, nhưng không phải hình vuông vì hai cạnh khác nhau.
Giữ tam giác, đổi sang yêu cầu đường chéo bằng 5. Hai tham số là (36-14)/100=11/50 và (36+14)/100=1/2. Hai cặp kích thước là (117/25,44/25) và (3,4). Cả hai có tổng bình phương bằng 25 và tổng x/6+y/8=1, nên đều hợp lệ.
Với đường chéo 6, hai nghiệm hình thức t=0,18/25 chỉ giữ 18/25. Với đường chéo 8, các nghiệm -7/25,1 đều bị loại. Dấu tại đầu mút làm thay đổi số hình, dù phương trình bậc hai vẫn có nghiệm thực.
07 · Vì sao diện tích lớn nhất ở một vị trí khác?
Diện tích hình chữ nhật bất kỳ trong họ là
S(t)=ab\,t(1-t)=\frac{ab}{4}-ab\left(t-\frac12\right)^2.
Vì ab>0, nó lớn nhất duy nhất tại t=1/2, tức Q=M là trung điểm BC. Cặp cạnh là (a/2,b/2); đường chéo khi đó bằng c/2.
Vị trí này trùng chân cao khi và chỉ khi t_0=1/2, tương đương a=b. Vậy hai mục tiêu “đường chéo nhỏ nhất” và “diện tích lớn nhất” chỉ cùng đạt ở một hình khi tam giác vuông cân.
Cùng tỉ lệ 30 đơn vị hình cho một đơn vị độ dài. Hình xanh tại H=(96/25,72/25) có đường chéo nhỏ nhất 4{,}8. Hình vàng tại M=(3,4) có diện tích lớn nhất 12, đường chéo 5. Hai cạnh xiên đi từ A cho thấy rõ hai mục tiêu chọn hai điểm khác nhau.
Trong mẫu nguồn, diện tích tại chân cao là 6912/625=11{,}0592, nhỏ hơn 12. Không dùng câu “tối ưu tại đường cao” mà bỏ tên đại lượng đang tối ưu. Cùng một họ hình có thể có nhiều tiêu chuẩn và nhiều vị trí tốt nhất khác nhau.
08 · Tự kiểm chiều đảo và biên
Nếu biết hai hình chiếu thỏa AE nhân AB bằng AF nhân AC thì có chắc Q là chân cao?
Có trong họ đã định nghĩa: x,y>0, Q\in BC, và ax=by cho y/x=a/b, nên AQ\perp BC. Đường vuông góc từ A tới BC có một chân duy nhất, do đó Q=H. Nếu không biết Q\in BC, tỉ lệ chỉ xác định một tia, chưa xác định riêng một điểm.
Tam giác vuông cân cạnh góc vuông6 có cực tiểu đường chéo nào?
c=6\sqrt2, nên h=3\sqrt2, đạt tại t=1/2. Hình chữ nhật đó là hình vuông cạnh 3, cũng có diện tích lớn nhất 9. Với 3\sqrt2<d<6, có hai hình; tại d=6, không còn hình chữ nhật thật sự.
Hai hình trong mẫu có cùng đường chéo5 có cùng diện tích không?
Không. Hình cạnh 3,4 có diện tích 12; hình cạnh 117/25,44/25 có diện tích 5148/625=8{,}2368. Tổng bình phương các cạnh bằng nhau không buộc tích hai cạnh bằng nhau.
Định nghĩa họ hình và miền biến giúp phân biệt công thức với khả năng dựng. Chứng minh cực trị cho biết vị trí tốt nhất; giải ngược và lọc đầu mút cho biết có bao nhiêu hình tạo ra một số đo đã cho.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện