Biến đổi phương trình mà không mất hoặc thêm nghiệm
Học cách giữ miền xác định, xét phép chia và bình phương, khử ẩn có thể đảo ngược, phân loại tham số suy biến và kiểm tra đủ hai chiều của lời giải.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Biến đổi phương trình mà không mất hoặc thêm nghiệm
Học cách giữ miền xác định, xét phép chia và bình phương, khử ẩn có thể đảo ngược, phân loại tham số suy biến và kiểm tra đủ hai chiều của lời giải.
1. Mục tiêu là giữ nguyên những giá trị làm mệnh đề đúng
Giải một phương trình không chỉ là tìm ra một con số cuối cùng. Ta cần tìm tất cả giá trị được phép làm hai vế bằng nhau, và không nhận thêm giá trị nào khác. Miền được phép gọi là miền xác định; kí hiệu miền đó là D.
Hai phương trình tương đương trên D nếu mọi giá trị trong D thỏa phương trình thứ nhất khi và chỉ khi nó thỏa phương trình thứ hai. Kí hiệu \Longleftrightarrow diễn đạt cả hai chiều. Nếu chỉ biết nghiệm của phương trình trước cũng là nghiệm của phương trình sau, ta mới có chiều suy ra \Rightarrow; phương trình sau có thể có thêm nghiệm.
Ví dụ x=2\Rightarrow x^2=4, nhưng chiều ngược không đúng với mọi số thực vì x=-2 cũng có bình phương bằng 4. Ngược lại, trên miền x\ge0, hai phương trình ấy tương đương. Như vậy cùng một phép biến đổi có thể an toàn trên miền này và cần lọc nghiệm trên miền khác.
Mỗi dòng giải nên trả lời được hai câu hỏi: miền nào đang được xét, và có thể quay ngược từ dòng mới về dòng cũ hay không? Điều kiện không phải dòng ghi cho đủ; nó quyết định những phép toán ta được dùng.
2. Cộng thì dễ đảo, chia thì phải kiểm tra số chia
Giả sử các biểu thức F,G,T đều xác định trên D. Cộng cùng T vào hai vế là phép biến đổi tương đương:
F=G\quad\Longleftrightarrow\quad F+T=G+T.
Chiều ngược chỉ cần trừ lại T. Với phép nhân, ta luôn có F=G\Rightarrow KF=KG nếu K xác định. Muốn quay ngược bằng phép chia, cần K\ne0 tại giá trị đang xét. Nếu K=0, đẳng thức mới có thể trở thành 0=0 và mất mọi thông tin về đẳng thức cũ.
Đặt nhân tử chung giữ được nhánh bằng không
Xét ví dụ chọn lọc, với x thực:
(-4x+3)x=(2x+5)x.
Chuyển vế và phân phối ngược đều không yêu cầu chia:
(-4x+3)x-(2x+5)x=0\Longleftrightarrow x[(-4x+3)-(2x+5)]=0\Longleftrightarrow x(-6x-2)=0.
Một tích hai số thực bằng không khi và chỉ khi ít nhất một thừa số bằng không. Chiều cần có thể chứng minh: nếu thừa số thứ nhất khác không, chia tích cho nó buộc thừa số thứ hai bằng không; chiều đủ hiển nhiên từ phép nhân với không.
x=0\quad\text{hoặc}\quad-6x-2=0.
Tập nghiệm là \{0,-1/3\}. Nếu chia hai vế ban đầu cho x ngay, ta chỉ thu được -1/3 và làm mất nghiệm 0.
Có thể dùng phép chia cho x mà vẫn giải đủ không?
Có, nếu tách trường hợp trước. Với x=0, thay vào phương trình ban đầu cho hai vế đều bằng không. Với x\ne0, phép chia cho x hợp lệ và phương trình tương đương -4x+3=2x+5, cho x=-1/3, đúng với nhánh đang xét. Ghép hai nhánh, ta được đủ hai nghiệm. Phép chia không sai; bỏ qua điều kiện của nó mới gây mất nghiệm.
3. Khử mẫu là phép nhân trên miền đã loại các mẫu bằng không
Phân thức chỉ xác định khi mẫu khác không. Vì thế, trước khi nhân với tích các mẫu, phải viết miền mà trên đó tích ấy khác không. Khi điều kiện đã được giữ, nhân khử mẫu là phép biến đổi tương đương, không phải một phép đoán nghiệm.
Xét tình huống chọn lọc:
\frac{x+3}{x}=\frac{x+9}{x-3}.
Miền xác định là D=\mathbb{R}\setminus\{0,3\}. Trên miền này, x(x-3)\ne0, nên
\frac{x+3}{x}=\frac{x+9}{x-3}\quad\Longleftrightarrow\quad(x+3)(x-3)=x(x+9)\Longleftrightarrow x^2-9=x^2+9x\Longleftrightarrow -9=9x\quad\Longleftrightarrow\quad x=-1.
Giá trị -1 thuộc D, nên là nghiệm hợp lệ. Thay trực tiếp: vế trái bằng 2/(-1)=-2; vế phải bằng 8/(-4)=-2. Tập nghiệm là \{-1\}. Mọi bước trên đều đảo được trên D, nên không còn nghiệm nào bị bỏ sót.
Rút gọn không mở lại một điểm đã bị loại. Chẳng hạn (x-3)/(x-3)=1 đúng với mọi x\ne3, nhưng biểu thức ban đầu không có giá trị tại x=3. Nếu viết phương trình này thành 1=1 rồi kết luận mọi số thực đều là nghiệm, ta đã lén thay miền.
Nếu biến đổi có thể tạo nghiệm ngoài miền, cách kết thúc đúng là lấy các ứng viên và giao với miền ban đầu. Việc thế lại phương trình gốc giúp kiểm tra, nhưng không thay thế lập luận cho thấy đã tìm đủ ứng viên.
4. Bình phương hai vế: khi nào thêm nghiệm, khi nào không?
Với các số thực u,v, nếu u=v thì u^2=v^2. Chiều ngược được mô tả chính xác bằng phân tích nhân tử:
u^2=v^2\quad\Longleftrightarrow\quad(u-v)(u+v)=0\Longleftrightarrow\quad u=v\ \text{hoặc}\ u=-v.
Bình phương làm mất thông tin dấu. Nếu biết trước u,v\ge0, khả năng u=-v chỉ xảy ra khi cả hai bằng không, vốn cũng cho u=v. Vì vậy bình phương là tương đương khi cả hai vế đều không âm.
Xét một mô hình mới:
\sqrt{x+2}=x.
Căn thức yêu cầu x\ge-2, còn vế trái không âm nên nghiệm còn phải có x\ge0. Trên miền đã thu hẹp x\ge0, hai vế không âm, nên
\sqrt{x+2}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x+2=x^2\Longleftrightarrow\quad(x-2)(x+1)=0.
Các ứng viên là 2,-1; chỉ 2 thuộc miền x\ge0. Thay lại \sqrt{2+2}=2, đúng. Tại -1, căn thức vẫn xác định nhưng \sqrt1=1\ne-1; đó là ứng viên ngoại lai do bỏ qua dấu trước khi bình phương.
Ta có thể giải theo cách chỉ ghi chiều suy ra khi bình phương rồi thử lại tất cả ứng viên. Cách ấy vẫn đầy đủ vì mọi nghiệm gốc đều nằm trong tập ứng viên, và phép thử cuối giữ lại đúng những ứng viên thỏa gốc. Không được vừa ghi dấu tương đương không điều kiện, vừa quên bước lọc.
Vì sao căn bậc hai của x bình phương là giá trị tuyệt đối của x?
Với mọi x thực, |x|\ge0 và |x|^2=x^2. Căn bậc hai số học là căn không âm duy nhất, nên \sqrt{x^2}=|x|. Chỉ khi x\ge0 mới thay nó bằng x. Tại x=-3, căn bằng 3, không phải -3.
5. Hệ phương trình: khử một ẩn nhưng không bỏ một điều kiện
Một cặp (x,y) là nghiệm của hệ khi thỏa đồng thời mọi phương trình. Khi cộng hai phương trình để khử một ẩn, ta cần giữ một phương trình cũ cùng phương trình tổng.
Gọi hai phương trình là F=a và G=b. Khi đó
\begin{cases}F=a\\G=b\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}F=a\\F+G=a+b\end{cases}.
Chiều thuận là cộng; chiều ngược lấy phương trình tổng trừ phương trình được giữ lại. Nếu chỉ giữ F+G=a+b, ta có thể có thêm nhiều cặp không thỏa riêng từng phương trình.
Xét hệ chọn lọc, với tham số thực m:
\begin{cases}2x-y=3\\mx+y=5.\end{cases}
Cộng hai phương trình và giữ phương trình đầu:
\begin{cases}2x-y=3\\
(m+2)x=8.\end{cases}
Lúc này không được chia ngay cho m+2, vì tham số chưa biết.
- Nếu m=-2, phương trình thứ hai thành 0=8, vô lí. Hệ không có nghiệm
- Nếu m\ne-2, phép chia hợp lệ và xác định duy nhất x=8/(m+2). Phương trình đầu xác định duy nhất y=2x-3=(10-3m)/(m+2)
Kiểm tra chiều đủ: cặp vừa tìm thỏa phương trình đầu theo cách dựng; phương trình tổng cũng thỏa; lấy tổng trừ phương trình đầu cho lại phương trình thứ hai ban đầu. Vì thế hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m\ne-2, không phải chỉ vì đã tìm ra một công thức có chứa m.
6. Điều kiện phụ giúp tìm ứng viên tham số, rồi phải xác nhận
Với chính hệ ở phần trước, cần tìm m để hệ có nghiệm duy nhất và nghiệm ấy thỏa x+y=3. Trước hết, mọi nghiệm mong muốn phải đồng thời thỏa
2x-y=3,\qquad x+y=3.
Cộng lại được 3x=6, nên x=2, rồi y=1. Đưa cặp ứng viên vào phương trình còn lại mx+y=5:
2m+1=5\quad\Longleftrightarrow\quad m=2.
Đây là chiều cần. Chiều đủ cũng phải viết: tại m=2, ta có m+2=4\ne0, nên hệ có nghiệm duy nhất. Cặp (2,1) thỏa 2\cdot2-1=3, 2\cdot2+1=5, và 2+1=3. Vì vậy m=2 là giá trị duy nhất đáp ứng đầy đủ yêu cầu.
Hình tọa độ dùng cùng tỉ lệ trên hai trục: một đơn vị ứng với 20 đơn vị vẽ. Giao điểm biểu diễn cặp thỏa đồng thời hai phương trình tại m=2. Hình minh họa kết luận; chứng minh tính duy nhất là phép khử có xét m+2\ne0 ở trên.
Điều kiện phụ giúp tìm một cặp ứng viên, nhưng không được tùy ý thay một phương trình của hệ bằng điều kiện phụ rồi coi như đã giải hệ gốc. Ta còn phải thế vào phương trình chưa dùng, kiểm tra điều kiện tham số và xác nhận đúng yêu cầu duy nhất.
7. Trường hợp suy biến có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm
Để thấy vì sao không nên học thuộc “hệ số bằng không thì vô nghiệm”, thay hằng số 5 trong hệ bằng một tham số thực t:
\begin{cases}2x-y=3\\mx+y=t.\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}2x-y=3\\
(m+2)x=t+3.\end{cases}
Ba khả năng được quyết định bởi cả hệ số lẫn vế phải:
- Với m\ne-2, hệ có nghiệm duy nhất: x=(t+3)/(m+2), y=2(t+3)/(m+2)-3
- Với m=-2 và t\ne-3, dòng sau thành 0=t+3\ne0, nên vô nghiệm
- Với m=-2 và t=-3, dòng sau thành 0=0; chỉ còn y=2x-3. Mỗi x thực cho đúng một y, nên có vô số cặp nghiệm
Trường hợp cuối vẫn có một ràng buộc, không phải mọi cặp (x,y) đều là nghiệm. Chẳng hạn (0,-3) và (2,1) thỏa, còn (0,0) không thỏa.
Về hình học, phương trình đầu là đường thẳng y=2x-3; phương trình sau là y=-mx+t. Khi m=-2, chúng cùng hệ số góc 2: khác tung độ gốc thì song song, cùng tung độ gốc thì trùng nhau. Phân loại hình học khớp với phép khử đại số, kể cả trường hợp suy biến.
8. Bất phương trình còn phải bảo toàn chiều so sánh
Với bất đẳng thức, nhân hoặc chia với số dương giữ chiều, với số âm đổi chiều. Có thể thấy bằng hiệu: nếu a<b, thì b-a>0. Nhân với k>0 cho kb-ka>0, tức ka<kb. Nếu k<0, tích k(b-a)<0, nên kb<ka.
Nếu số nhân là biểu thức chứa biến chưa biết dấu, phải tách miền hoặc xét dấu; không được nhân chéo rồi mặc định giữ chiều. Xét mô hình mới:
\frac{x-1}{x+2}>0,\qquad x\ne-2.
Một thương có giá trị dương khi và chỉ khi tử và mẫu cùng dấu. Nếu cùng dương, cần x>1 và x>-2, tương đương x>1. Nếu cùng âm, cần x<1 và x<-2, tương đương x<-2. Do đó tập nghiệm là
(-\infty,-2)\cup(1,+\infty).
Tại x=-2, phân thức không xác định. Tại x=1, phân thức bằng không nên không thỏa dấu lớn hơn nghiêm. Trên khoảng (-2,1), tử âm và mẫu dương nên thương âm.
Hai tia tô đậm là nghiệm. Hai vòng tròn rỗng có lí do khác nhau: một mốc làm mẫu bằng không, mốc kia làm thương bằng không. Dấu âm ở giữa không có nghĩa phải loại khoảng ấy trong mọi bài; nó phụ thuộc dấu so sánh đang hỏi.
Nếu đổi yêu cầu thành (x-1)/(x+2)\le0, phần âm được giữ và điểm 1 được nhận, còn -2 vẫn bị loại. Tập nghiệm mới là (-2,1]. Khi yêu cầu thay đổi, điều kiện xác định vẫn còn nguyên.
9. Tự kiểm tra một lời giải có đủ hai chiều chưa
Từ (x trừ 2) nhân (x cộng 1) bằng 0, một bạn chia cho x trừ 2 và chỉ nhận x bằng âm 1. Thiếu gì?
Bạn đã ngầm chọn nhánh x\ne2. Phương trình là (x-2)(x+1)=0, nên có hai nghiệm 2,-1. Muốn chia, trước hết kiểm tra riêng x=2; giá trị ấy thỏa vì tích bằng không. Sau đó mới giải nhánh khác không.
Giải phương trình căn bậc hai của x cộng 5 bằng âm 1 có cần bình phương không?
Phương trình \sqrt{x+5}=-1 có miền x\ge-5, nhưng vế trái không âm còn vế phải âm, nên vô nghiệm ngay. Bình phương sẽ cho x+5=1, tức x=-4; đây là ứng viên ngoại lai, vì thay lại cho 1=-1, sai. Kiểm tra dấu có thể ngăn một bước tính không cần thiết.
Hệ có hai phương trình đối nhau thì tất cả các cặp số đều là nghiệm phải không?
Không. Hệ 2x-y=3, -2x+y=-3 chỉ tương đương một phương trình 2x-y=3. Có vô số nghiệm trên một đường thẳng, nhưng chẳng hạn (0,0) không thuộc đường đó. Cộng được 0=0 không cho phép xóa phương trình được giữ lại.
Trước khi biến đổi, ghi miền. Trước khi chia, xét khả năng bằng không. Trước khi bình phương, xét dấu. Khi khử trong hệ, giữ đủ điều kiện để đảo bước. Khi có tham số, tách trường hợp làm hệ số bằng không. Cuối cùng kiểm tra cả nghiệm nhận được lẫn lí do không bỏ sót nghiệm khác.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện