Lát bể: từ cận diện tích đến một cách ghép đủ gạch
Tính đúng các mặt cần phủ, chứng minh số viên tối thiểu bằng cả cận dưới và cách lát, rồi tách riêng quy định cắt, dự phòng và đóng hộp.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Lát bể: từ cận diện tích đến một cách ghép đủ gạch
Tính đúng các mặt cần phủ, chứng minh số viên tối thiểu bằng cả cận dưới và cách lát, rồi tách riêng quy định cắt, dự phòng và đóng hộp.
1. Diện tích cần phủ và số viên phải mua là hai câu hỏi
Một bể hình hộp chữ nhật cần lát đáy và mặt trong bốn thành. Ta có thể tính tổng diện tích rồi chia cho diện tích một viên gạch. Nhưng thương đó trước hết chỉ cho một cận dưới về số viên . Muốn khẳng định đủ gạch, còn phải chỉ ra cách ghép hoặc cắt để phủ được các mặt.
Bài học dùng mô hình hình học lí tưởng: kích thước là kích thước trong; không tính bề dày gạch, mạch vữa hay hao hụt đường cắt; gạch được đặt theo hàng song song với các cạnh mặt bể. Các mảnh cắt được phép dùng lại, trừ khi một tình huống mới nói rõ không dùng lại. Không có mặt trên cần lát.
Nếu diện tích một mặt bằng đúng diện tích hai viên gạch, liệu hai viên ấy có luôn lát được mà không cắt không? Diện tích kiểm tra lượng vật liệu, còn kích thước và cách ghép kiểm tra hình dạng. Ta cần cả hai loại lí lẽ.
Với bài mua vật liệu, còn có một tầng thứ ba: số viên trong một hộp hoặc tỉ lệ dự phòng. Không gộp các quy tắc ấy vào công thức diện tích khi đề chưa cho.
2. Trải các mặt để đếm đúng phần cần lát
Gọi chiều dài, rộng, sâu của bể là L,W,H>0. Đáy có diện tích LW. Hai thành dài, mỗi thành có diện tích LH; hai thành ngắn, mỗi thành có diện tích WH. Vì các mặt chỉ chung cạnh, không chồng lên phần diện tích bên trong, tổng diện tích lát là
\boxed{S=LW+2LH+2WH=LW+2(L+W)H}.
Không cộng thêm một mặt LW ở phía trên: mặt thoáng không phải tường hay đáy để lát. Nếu đề yêu cầu cả nắp, mô hình mới có thêm mặt ấy; nếu chỉ yêu cầu bốn thành, phải bỏ LW.
Thể tích LWH đo dung tích bể, mang đơn vị khối. Nó không phải lượng bề mặt cần lát. Chỉ cần kiểm đơn vị đã có thể phát hiện việc dùng thể tích để chia cho diện tích viên gạch.
Nhìn chu vi để tổ chức các hàng gạch
Bốn thành có thể được trải thành một dải cao H, tổng chiều ngang 2(L+W), với các nếp gấp tại bốn góc. Công thức 2(L+W)H vì vậy chính là chu vi đáy nhân chiều cao. Khi đặt gạch thật, vẫn phải kiểm tra các nếp gấp: một viên phẳng không được tự uốn quanh góc.
3. Cận dưới từ bảo toàn diện tích
Gạch vuông cạnh a>0 có diện tích a^2. Với N viên, tổng diện tích vật liệu ban đầu là Na^2. Cắt gạch không tạo thêm diện tích; nếu một phần bị bỏ, diện tích dùng được còn nhỏ hơn. Vì thế điều kiện cần để phủ S là
Na^2\ge S.
Số nguyên dương N nhỏ nhất thỏa điều kiện diện tích được xác định bằng hai bất đẳng thức
(N-1)a^2<S\le Na^2.
Điều này chứng minh mọi số viên nhỏ hơn N đều thiếu diện tích. Nó chưa chứng minh có một cách lát với đúng N viên. Để đạt số tối thiểu, cần thêm một phương án sử dụng được toàn bộ lượng diện tích cần thiết.
Phản ví dụ đơn giản: hình chữ nhật 1\,\mathrm m nhân 2\,\mathrm m có cùng diện tích với hai viên vuông cạnh 1\,\mathrm m, và ghép được. Nhưng hình chữ nhật 0{,}5\,\mathrm m nhân 4\,\mathrm m cũng có diện tích 2\,\mathrm m^2, song không nhận được dù chỉ một viên vuông cạnh 1 đặt nguyên, theo hàng song song với cạnh. Nếu cho cắt mỗi viên thành hai dải 0{,}5 nhân 1, hai viên lại đủ. Quy tắc cắt làm thay đổi khả năng đạt cận, không làm thay đổi diện tích.
4. Tính lượng vật liệu của một bể cụ thể
Tình huống chọn lọc: bể không nắp có chiều dài 12\,\mathrm m, chiều rộng 5\,\mathrm m, chiều sâu 2{,}75\,\mathrm m. Lát đáy và mặt trong bốn thành bằng gạch vuông cạnh 50\,\mathrm{cm}, giá 15000 đồng một viên. Trước mắt chưa tính dự phòng; áp dụng mô hình cắt và dùng lại mảnh đã nêu ở đầu bài.
Đổi đơn vị trước khi tính diện tích viên gạch: 50\,\mathrm{cm}=0{,}5\,\mathrm m, nên a^2=0{,}25\,\mathrm m^2. Tổng diện tích:
S=12\cdot5+2\cdot12\cdot2{,}75+2\cdot5\cdot2{,}75=60+66+27{,}5=153{,}5\,\mathrm m^2.
Cận dưới số viên là
\frac{153{,}5}{0{,}25}=614.
Ít hơn 614 viên chắc chắn không đủ: 613 viên chỉ có 153{,}25\,\mathrm m^2, thiếu 0{,}25\,\mathrm m^2. Nhưng ta chưa kết luận 614 đủ cho đến khi kiểm tra cách lát, nhất là chiều sâu 2{,}75 không chia hết cho 0{,}5.
5. Dựng một cách lát đạt đúng cận dưới
Đáy dùng toàn viên
Chiều dài có 12/0{,}5=24 viên mỗi hàng, chiều rộng có 5/0{,}5=10 hàng. Đáy cần 24\cdot10=240 viên, không phải cắt.
Năm hàng đủ trên bốn thành
Năm hàng cao 5\cdot0{,}5=2{,}5\,\mathrm m. Mỗi vòng quanh bốn thành có
2\cdot24+2\cdot10=68
viên; các góc trùng ranh giới viên vì cả 12 và 5 đều là bội của 0{,}5. Năm hàng cần 5\cdot68=340 viên.
Dải còn lại cao một phần tư mét
Mỗi thành còn dải cao 2{,}75-2{,}5=0{,}25\,\mathrm m. Cắt đôi một viên 0{,}5 nhân 0{,}5 thành hai miếng 0{,}5 nhân 0{,}25. Cả vòng cần 68 miếng, nên dùng 34 viên cắt đôi.
Cũng có thể phân bổ ngay trên từng mặt: mỗi thành dài cần 24 miếng, từ 12 viên; mỗi thành ngắn cần 10 miếng, từ 5 viên. Không cần chuyển mảnh qua một góc hoặc uốn gạch. Tổng đúng 2\cdot12+2\cdot5=34 viên.
Hai mảnh có cùng diện tích 0{,}5\cdot0{,}25=0{,}125\,\mathrm m^2, tổng bằng đúng 0{,}25\,\mathrm m^2 của viên ban đầu. Hình dùng tỉ lệ 288 đơn vị vẽ cho một mét; đường cắt ở đúng trung điểm.
Tổng số viên sử dụng là
240+340+34=614.
Đã có một phương án đạt 614, và phần trước chứng minh không phương án nào dùng ít hơn. Vậy 614 là số viên tối thiểu trong mô hình này. Chi phí mua lẻ tương ứng là 614\cdot15000=9210000 đồng.
6. Một quy định khác có thể làm cận diện tích không đạt
Giữ nguyên bể nhưng yêu cầu các dải trên cùng vẫn cắt như trên, mỗi viên chỉ được dùng một nửa và nửa còn lại phải bỏ. Khi ấy 68 miếng cần 68 viên, không phải 34. Phương án quy định cần
240+340+68=648\text{ viên}.
Số tăng thêm 34 viên có diện tích 8{,}5\,\mathrm m^2, đúng bằng tổng diện tích những nửa viên bị bỏ. Đây là số viên của quy cách thi công được mô tả ; không tự tuyên bố là tối ưu trong mọi kiểu cắt khác chưa xét.
Nếu không cho cắt và vẫn lát theo lưới song song với cạnh mặt bể, chiều sâu 2{,}75 không phải bội nguyên của 0{,}5, nên không thể phủ chính xác bằng các hàng toàn viên. Thêm nhiều viên không giải quyết được việc một hàng nhô ra hoặc thiếu chiều cao. Muốn có lời giải phải thay quy định, kích thước gạch hoặc kích thước phần lát.
Điều kiện “cạnh mặt là bội của cạnh viên” đang dùng cho cách xếp theo lưới đã chỉ rõ. Không biến nó thành một định lí về mọi kiểu lát xoay hoặc mọi hình ghép phức tạp. Phạm vi của kết luận phải khớp phạm vi cách lát được phép.
7. Đóng hộp và dự phòng là hai phép làm tròn riêng
Trở lại phương án lí tưởng cần 614 viên. Nếu mỗi hộp có 10 viên và chỉ bán nguyên hộp, số hộp tối thiểu b thỏa
10b\ge614.
Vì 61\cdot10=610<614\le620=62\cdot10, cần 62 hộp, tức 620 viên. Sáu viên dư là hệ quả đóng hộp, không phải lỗi tính diện tích.
Giả sử một yêu cầu mới là mua ít nhất 5\% dự phòng so với 614 viên cần dùng. Mức tối thiểu trước quy định hộp là
1{,}05\cdot614=644{,}7\text{ viên}.
Vì số viên nguyên, mua lẻ cần ít nhất 645. Nếu vẫn bán hộp mười viên, phải mua 65 hộp, tức 650 viên. Kiểm tra: 64 hộp chỉ có 640<644{,}7, còn 65 hộp đủ.
Phần trăm dự phòng ở đây lấy 614 làm chuẩn. Nếu đề yêu cầu một tỉ lệ khác trên số mua, hoặc dự kiến một phần gạch mua vào sẽ hỏng, phương trình sẽ khác. Không thay câu “mua thêm ít nhất năm phần trăm” bằng “chỉ dùng được chín mươi lăm phần trăm” mà không điều chỉnh.
Ví dụ mô hình hao hụt: nếu chỉ 95\% số viên mua vào dùng được theo quy ước tính trung bình của mô hình, điều kiện là 0{,}95N\ge614, tức N\ge614/0{,}95\approx646{,}316; mua lẻ cần ít nhất 647 viên. Đây không phải cùng yêu cầu với thêm 5\% dự phòng. Trong thi công thực tế, tỉ lệ này cũng không tự bảo đảm chính xác số viên hỏng; bài toán đang dùng giả thiết số học đã nêu.
8. Tự kiểm tra từ diện tích đến phương án
Bể không nắp dài4m, rộng3m, sâu2m cần lát bao nhiêu diện tích?
Đáy là 4\cdot3=12\,\mathrm m^2; bốn thành là 2(4+3)\cdot2=28\,\mathrm m^2. Tổng 40\,\mathrm m^2. Không thêm nắp 12\,\mathrm m^2; cũng không dùng thể tích 24\,\mathrm m^3 làm diện tích.
Nếu thương diện tích bằng614 chính xác thì đã đủ chứng minh614 viên dùng được chưa?
Chưa. Nó chứng minh ít nhất 614 viên. Phần chứng minh đủ là cách lát đáy, năm hàng thành và dải nửa viên, sử dụng cả hai nửa với số miếng phù hợp từng mặt. Muốn kết luận tối thiểu, cần ghép cận dưới với một phương án đạt cận.
Cạnh gạch tăng gấp đôi thì diện tích một viên tăng bao nhiêu lần?
Với cạnh a, diện tích là a^2. Cạnh 2a cho 4a^2, gấp bốn. Cận dưới theo diện tích giảm tương ứng, nhưng số viên thực tế còn phụ thuộc việc các kích thước mặt có phù hợp gạch mới và các quy định cắt hay không.
Quy trình chắc chắn: xác định đúng các mặt; thống nhất đơn vị; dùng diện tích để có cận dưới; dựng cách lát đạt cận hoặc chỉ rõ phần cắt bỏ; cuối cùng mới áp quy tắc dự phòng và đóng hộp. Số học cho lượng, hình học cho khả năng thực hiện.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện