Toán 9 · Xác Suất — Không Gian Mẫu Và 5 Mô Hình Xác Suất Cổ Điển Thường Gặp
Không gian mẫu, biến cố, quy tắc nhân, biến cố đối và 5 mô hình xác suất cổ điển thường gặp nhất, mỗi mô hình một bài toán giải chi tiết.
Toán 9 · Xác Suất — Không Gian Mẫu Và 5 Mô Hình Xác Suất Cổ Điển Thường Gặp
Từ khái niệm nền đến 5 mô hình đếm cốt lõi, mỗi mô hình một bài toán giải chi tiết
Mục tiêu bài học
- Hiểu và dùng đúng ba khái niệm nền: phép thử, không gian mẫu \Omega, biến cố.
- Thành thạo công thức xác suất cổ điển P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)} với các kết quả đồng khả năng.
- Nhận diện 5 mô hình xác suất xuất hiện thường xuyên nhất trong các bài toán xác suất lớp 9.
- Vận dụng biến cố đối để rút gọn các bài toán đếm phức tạp.
1. Ba khái niệm nền tảng
Phép thử là một hành động cho kết quả ngẫu nhiên (quay đĩa, rút thẻ, gieo xúc xắc...). Không gian mẫu \Omega là tập hợp tất cả kết quả có thể xảy ra. Biến cố A là một tập con của \Omega. Khi các kết quả trong \Omega đồng khả năng (có cùng cơ hội xảy ra), xác suất của biến cố A được tính:
P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}
trong đó n(A) là số kết quả thuận lợi cho A, n(\Omega) là tổng số kết quả có thể.
Ví dụ mở đầu: quay đĩa tròn 12 phần bằng nhau — mô hình không gian mẫu đồng khả năng kinh điển nhất.
2. Mô hình 1 — Đếm trực tiếp trên dãy số nguyên liên tiếp
Ví dụ
Một hộp có 24 tấm thẻ cùng loại, đánh số từ 1 đến 24. Rút ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp. Tính xác suất của biến cố A: "Thẻ rút được ghi số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 4".
Không gian mẫu: n(\Omega)=24.
Các số chia hết cho 3 trong 1..24: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 (8 số).
Các số chia hết cho 4 trong 1..24: 4, 8, 12, 16, 20, 24 (6 số).
Các số chia hết cho cả 3 và 4 (tức chia hết cho 12), bị đếm trùng: 12, 24 (2 số).
Số kết quả thuận lợi: n(A)=8+6-2=12.
Vậy P(A)=\dfrac{12}{24}=\dfrac{1}{2}.
Bẫy đếm trùng (nguyên lý bù trừ)
Khi biến cố là hợp của hai điều kiện ("chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 4"), phải trừ đi phần giao (chia hết cho cả hai) để không đếm trùng. Quên bước này là lỗi sai phổ biến nhất ở mô hình đếm trực tiếp.
3. Mô hình 2 — Rút đồng thời nhiều thẻ (không phân biệt thứ tự)
Ví dụ
Một hộp có 6 tấm thẻ cùng loại đánh số từ 1 đến 6. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ từ hộp. Tính xác suất của biến cố B: "Tổng hai số ghi trên hai thẻ là một số lẻ".
Vì rút đồng thời (không phân biệt thẻ nào rút trước) nên mỗi kết quả là một cặp không thứ tự . Liệt kê toàn bộ: (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6) — tổng cộng n(\Omega)=15 kết quả.
Tổng hai số là số lẻ khi và chỉ khi một số chẵn và một số lẻ. Các cặp thoả mãn: (1,2), (1,4), (1,6), (2,3), (2,5), (3,4), (3,6), (4,5), (5,6) — tổng cộng n(B)=9.
Vậy P(B)=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}.
4. Mô hình 3 — Hai hộp độc lập, quy tắc nhân
Khi phép thử gồm hai bước độc lập nhau (rút từ hộp 1 và rút từ hộp 2), số kết quả của không gian mẫu bằng tích số kết quả mỗi bước: n(\Omega) = n_1 \times n_2.
Ví dụ
Hộp I có 4 thẻ đánh số 1, 2, 3, 4. Hộp II có 5 thẻ đánh số 1, 2, 3, 4, 5. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp một thẻ. Tính xác suất của biến cố C: "Tổng hai số ghi trên hai thẻ rút được bằng 6".
Theo quy tắc nhân: n(\Omega) = 4\times 5 = 20.
Các cặp (thẻ hộp I; thẻ hộp II) có tổng bằng 6: (1;5), (2;4), (3;3), (4;2) — tổng cộng n(C)=4.
Vậy P(C)=\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}.
5. Mô hình 4 — Biến cố đối
Công thức biến cố đối
P(A) = 1 - P(\overline{A}), trong đó \overline{A} là biến cố đối của A ("không xảy ra A"). Dùng khi đếm phần bù dễ hơn đếm trực tiếp.
Ví dụ
Một hộp có 15 quả bóng cùng kích thước, đánh số từ 1 đến 15. Lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng. Tính xác suất của biến cố D: "Số ghi trên quả bóng lấy được không phải là số chính phương".
Không gian mẫu: n(\Omega)=15.
Biến cố đối \overline{D}: "số lấy được là số chính phương". Các số chính phương trong 1..15: 1, 4, 9 — vậy n(\overline{D})=3, P(\overline{D})=\dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}.
Vậy P(D) = 1 - P(\overline{D}) = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}.
6. Mô hình 5 — Xếp chỗ ngẫu nhiên (hoán vị)
Ví dụ
Bốn bạn An, Bình, Chi, Dung được xếp ngẫu nhiên vào một hàng ghế có 4 chỗ. Tính xác suất của biến cố E: "An và Bình ngồi cạnh nhau".
Số cách xếp 4 bạn vào 4 chỗ: n(\Omega)=4! = 24.
Coi An–Bình là một "khối" gộp (có 2 cách hoán đổi vị trí trong khối: An-Bình hoặc Bình-An), khối này cùng Chi, Dung tạo thành 3 phần tử để xếp: 3!=6 cách xếp thứ tự khối, nhân với 2 cách trong khối: n(E)=6\times 2=12.
Vậy P(E)=\dfrac{12}{24}=\dfrac{1}{2}.
7. Bẫy thường gặp
"Đồng thời" khác "lần lượt"
Rút đồng thời 2 thẻ cho ra các cặp không thứ tự (như mô hình 2, n(\Omega)=15 với 6 thẻ). Rút lần lượt (có phân biệt thẻ rút trước/sau) cho ra các cặp có thứ tự , số kết quả sẽ gấp đôi. Đọc kỹ đề để chọn đúng cách đếm.
Không rút gọn phân số kết quả
Đáp số xác suất luôn được rút gọn về phân số tối giản (ví dụ \dfrac{12}{24} phải viết thành \dfrac{1}{2}), trừ khi đề yêu cầu để nguyên.
Nhầm "không lớn hơn" và "nhỏ hơn"
"Số nguyên dương không lớn hơn 20" nghĩa là \le 20 (bao gồm 20). "Nhỏ hơn 20" nghĩa là <20 (không bao gồm 20). Đọc sai điều kiện biên làm lệch cả n(\Omega) lẫn n(A).
Checklist trước khi nộp bài
- Đã xác định đúng phép thử là "đồng thời" hay "lần lượt" chưa?
- Với biến cố hợp ("hoặc"), đã trừ phần giao để không đếm trùng chưa?
- Với bài đếm phần bù dễ hơn, đã thử dùng biến cố đối 1-P(\overline{A}) chưa?
- Đáp số cuối cùng đã là phân số tối giản chưa?
LUKATO THCS AI · Chuyên đề Toán 9
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.