Tứ giác nội tiếp & độ dài cung · Bài 3/3
Tứ giác nội tiếp, định lý Ptolemy, độ dài cung, diện tích hình quạt tròn, cạnh đa giác đều nội tiếp.
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề: Đường tròn
Bài 3/3 · Tứ giác nội tiếp & độ dài cung
Chuyên đề · Đường tròn
Tứ Giác Nội Tiếp
& Độ Dài Cung
Nắm vững dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn, định lý Ptolemy, công thức độ dài cung và diện tích hình quạt tròn, cùng cạnh các đa giác đều nội tiếp thường gặp.
Thời lượng
45 phút
Độ khó
Trung bình - Nâng cao
Dạng bài
4 dạng cốt lõi
Yêu cầu
Đã học Bài 1, Bài 2
BÀI 1
Dây cung, tiếp tuyến & vị trí tương đối hai đường tròn
Khoảng cách tâm-dây, hai tiếp tuyến cắt nhau, vị trí tương đối
BÀI 2
Góc với đường tròn
Góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây, phương tích
BÀI 3
Tứ giác nội tiếp & độ dài cung
Tứ giác nội tiếp, định lý Ptolemy, độ dài cung, diện tích hình quạt
Mục tiêu bài học
01
Áp dụng dấu hiệu tứ giác nội tiếp : tổng hai góc đối bằng 180°.
02
Áp dụng định lý Ptolemy AC·BD=AB·CD+BC·AD.
03
Tính độ dài cung ℓ=\piRn/180 theo bán kính và góc ở tâm.
04
Tính diện tích hình quạt và cạnh đa giác đều nội tiếp.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Đường tròn · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề: Đường tròn
Bài 3/3 · Tứ giác nội tiếp & độ dài cung
ĐỊNH NGHĨA
3 nhóm kiến thức cốt lõi
Tứ giác nội tiếp · Độ dài cung · Diện tích hình quạt
Thiết lập bài toán
Đường tròn (O;R) · Tứ giác ABCD nội tiếp (O) · Cung ứng với góc ở tâm n°
Ba nhóm kiến thức nền tảng khi khép lại chuyên đề đường tròn: điều kiện để một tứ giác nội tiếp được đường tròn, cách tính độ dài một cung tròn, và diện tích phần hình quạt giới hạn bởi cung đó.
Loại 1
Tứ giác nội tiếp
Â+Ĉ = B̂+D̂ = 180°
Tứ giác có 4 đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Dấu hiệu: tổng hai góc đối diện bằng 180°.
VD: góc A=80° ⟹ góc C=180°−80°=100°
Loại 2
Độ dài cung tròn
ℓ = \piRn/180
Độ dài cung ứng với góc ở tâm n° trên đường tròn bán kính R (n tính bằng độ).
VD: R=10cm, n=72° ⟹ ℓ=\pi·10·72/180=4\pi cm
Loại 3
Diện tích hình quạt tròn
S = \piR^{2}n/360
Diện tích phần hình tròn giới hạn bởi hai bán kính và cung tương ứng góc ở tâm n°.
VD: R=6cm, n=60° ⟹ S=\pi·36·60/360=6\pi cm^{2}
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Đường tròn · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề: Đường tròn
Bài 3/3 · Tứ giác nội tiếp & độ dài cung
4 CÔNG CỤ CỐT LÕI
Toàn bộ công cụ về tứ giác nội tiếp và độ dài cung
4 công cụ cốt lõi cần ghi nhớ
Công cụ 01
Dấu hiệu tứ giác nội tiếp
Â+Ĉ=180° · B̂+D̂=180°
Điều kiện cần và đủ để 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Công cụ 02
Định lý Ptolemy
AC·BD=AB·CD+BC·AD
Tích hai đường chéo bằng tổng tích hai cặp cạnh đối, chỉ đúng khi tứ giác nội tiếp.
Công cụ 03
Độ dài cung tròn
ℓ=\piRn/180
n là số đo cung (độ) bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.
Công cụ 04
Hình quạt & đa giác đều nội tiếp
S=\piR^{2}n/360 · a=R√3 (Δ đều), R√2 (vuông), R (lục giác đều)
Diện tích hình quạt và cạnh các đa giác đều thường gặp nội tiếp đường tròn bán kính R.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Đường tròn · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề: Đường tròn
Bài 3/3 · Tứ giác nội tiếp & độ dài cung
PHƯƠNG PHÁP
2 phương pháp cốt lõi
Tính góc còn lại trong tứ giác nội tiếp · Tính độ dài cung và diện tích hình quạt
Phương pháp 1
Tính góc còn lại trong tứ giác nội tiếp
B1
Xác định cặp góc đối trong tứ giác nội tiếp (không kề nhau).
B2
Áp dụng tổng hai góc đối bằng 180°.
B3
Tính góc cần tìm bằng phép trừ cho 180°.
B4
Kiểm tra: tổng cả 4 góc của tứ giác luôn bằng 360°.
Ví dụ minh họa
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Biết góc A=70°, góc B=80°. Tính giá trị góc C − góc D.
Góc C=180°−góc A=180°−70°=110° (A, C đối nhau)
Góc D=180°−góc B=180°−80°=100° (B, D đối nhau)
Góc C−góc D=110°−100°=10°
Đáp số: Góc C − Góc D = 10°
Phương pháp 2
Tính độ dài cung và diện tích hình quạt từ góc ở tâm
B1
Xác định bán kính R và số đo góc ở tâm n° (số đo cung).
B2
Tính độ dài cung ℓ=\piRn/180.
B3
Tính diện tích hình quạt S=\piR^{2}n/360 (hoặc S=ℓ·R/2).
B4
Kiểm tra đơn vị và làm tròn theo yêu cầu đề bài (thường giữ dạng \pi).
Ví dụ minh họa
Cho đường tròn (O;R) với R=10cm. Tính độ dài cung tròn ứng với góc ở tâm 72°.
ℓ=\piRn/180=\pi·10·72/180 (công thức độ dài cung)
ℓ=720\pi/180=4\pi (rút gọn)
Đáp số: ℓ = 4\pi cm
Lưu ý
Với đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn bán kính R, mỗi cạnh chắn góc ở tâm 360°/n ; công thức tổng quát cạnh a=2R·sin(180°/n) — tam giác đều (n=3): a=R√3, hình vuông (n=4): a=R√2, lục giác đều (n=6): a=R.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Đường tròn · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề: Đường tròn
Bài 3/3 · Tứ giác nội tiếp & độ dài cung
LUYỆN TẬP
4 dạng bài tập cốt lõi
Từ tứ giác nội tiếp cơ bản đến định lý Ptolemy và diện tích
Dạng 1 · Tứ giác nội tiếp cơ bản
Tính góc đối diện trong tứ giác nội tiếp
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Biết góc BAD=80°. Tính số đo góc BCD.
Nhận diện cặp góc đối
Góc BAD và góc BCD là hai góc đối trong tứ giác nội tiếp
Áp dụng công thức
Góc BCD=180°−80°=100°
Kết luận: Góc BCD = 100°
Dạng 2 · Tứ giác nội tiếp kết hợp tam giác
Tính góc còn lại bằng góc nội tiếp cùng chắn cung và tổng góc tam giác
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Biết góc BAC=40° và góc BCD=110°. Tính số đo góc DBC.
Góc nội tiếp cùng chắn cung BC
Góc BDC=góc BAC=40°
Tổng ba góc tam giác BDC
Góc DBC=180°−110°−40°=30°
Kết luận: Góc DBC = 30°
Dạng 3 · Định lý Ptolemy
Tính tích hai đường chéo của tứ giác nội tiếp
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn với AB=3, BC=4, CD=5, DA=6. Tính tích AC·BD của hai đường chéo.
Áp dụng định lý Ptolemy
AC·BD=AB·CD+BC·DA
Thay số
AC·BD=3·5+4·6=15+24=39
Kết luận: AC·BD = 39
Dạng 4 · Diện tích tứ giác nội tiếp
Tính diện tích hình thang cân nội tiếp bằng chiều cao
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) với AB song song CD. Biết AD=BC=6cm, AB=8cm, CD=12cm. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Tính chiều cao (Pythagore)
h=√(6^{2}−2^{2})=√32=4√2 (nửa hiệu đáy=2)
Diện tích hình thang
S=½(AB+CD)·h=½·20·4√2=40√2
Kết luận: S = 40√2 cm^{2}
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Đường tròn · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề: Đường tròn
Bài 3/3 · Tứ giác nội tiếp & độ dài cung
TỔNG KẾT
Ghi nhớ & luyện tập
Ôn lại toàn bộ kiến thức cốt lõi của Bài 3 — Tứ giác nội tiếp & độ dài cung
Bảng công thức cốt lõi
Khái niệm · Công thức · Ghi chú
Tứ giác nội tiếp · Â+Ĉ=B̂+D̂=180° · Điều kiện cần và đủ
Định lý Ptolemy · AC·BD=AB·CD+BC·AD · Chỉ đúng khi tứ giác nội tiếp
Độ dài cung · ℓ=\piRn/180 · n = số đo cung (độ)
Diện tích hình quạt · S=\piR^{2}n/360 · = ℓ·R/2
3 lỗi sai thường gặp
01
Nhầm cặp góc đối — áp dụng tổng 180° cho cặp góc kề nhau thay vì góc đối diện.
02
Nhầm thứ tự đỉnh trong Ptolemy — AC·BD phải bằng AB·CD+BC·AD, không phải tích chéo khác.
03
Nhầm n trong công thức cung/quạt — quên n là số đo cung theo độ, hoặc nhầm công thức ℓ với S.
Hoàn thành
Chuyên đề Đường tròn — 3/3 bài học
Bạn đã hoàn thành trọn vẹn chuyên đề Đường tròn: từ dây cung–tiếp tuyến–vị trí tương đối, góc với đường tròn, đến tứ giác nội tiếp và độ dài cung. Hãy luyện tập thêm để thành thạo hoàn toàn.
Quét mã để luyện tập thêm
THCS AI LUKATO
Tự động tạo 200+ câu hỏi áp dụng Bài 3 — Đường tròn. Lời giải tiếng Việt cấp giáo viên chuyên ngay tức thì.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Đường tròn · Bài 3
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.