Phương trình vô tỷ & GTLN-GTNN chứa căn · Bài 3/3
Giải phương trình chứa căn bằng bình phương hai vế, loại nghiệm ngoại lai, giải hệ phương trình chứa căn, tìm GTLN-GTNN bằng bất đẳng thức căn cơ bản.
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · CĂN THỨC BẬC HAI
Chủ đề: Căn thức bậc hai
Bài 3/3 · Phương trình vô tỷ & GTLN-GTNN chứa căn
Chuyên đề · Căn thức bậc hai
Phương Trình Vô Tỷ
& GTLN-GTNN Chứa Căn
Giải các phương trình chứa căn thức bằng phép bình phương hai vế, nhận diện và loại bỏ nghiệm ngoại lai, giải hệ phương trình chứa căn, và tìm giá trị lớn nhất — nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bằng bất đẳng thức căn cơ bản.
Thời lượng
45 phút
Độ khó
Trung bình - Nâng cao
Dạng bài
4 dạng cốt lõi
Yêu cầu
Đã học Bài 1, Bài 2
BÀI 1
Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Đưa thừa số ra/vào căn, cộng trừ đồng dạng, trục căn đơn giản
BÀI 2
Biểu thức chứa căn với biến số
Rút gọn biểu thức đại số chứa √x, trục căn nhiều số hạng, căn kép
BÀI 3
Phương trình vô tỷ & GTLN-GTNN chứa căn
Giải phương trình chứa căn, bất đẳng thức căn cơ bản
Mục tiêu bài học
01
Giải phương trình dạng √A = B bằng phép bình phương có kiểm tra điều kiện.
02
Giải phương trình dạng √A + √B = C bằng cách chuyển vế và bình phương lặp lại.
03
Nhận diện và loại bỏ nghiệm ngoại lai khi đối chiếu với ĐKXĐ.
04
Tìm GTLN-GTNN biểu thức chứa căn bằng bất đẳng thức √a+√b\ge√(a+b).
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Căn thức bậc hai · Bài 3
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · CĂN THỨC BẬC HAI
Chủ đề: Căn thức bậc hai
Bài 3/3 · Phương trình vô tỷ & GTLN-GTNN chứa căn
ĐỊNH NGHĨA
3 dạng phương trình & bất đẳng thức chứa căn
√A=B (bình phương) · √A+√B=C (chuyển vế) · √a+√b\ge√(a+b)
Nguyên tắc cốt lõi
√A = B ⟺ {B\ge0, A=B^{2}} · √a+√b \ge √(a+b) (a,b\ge0)
Khi bình phương hai vế một phương trình chứa căn, phép biến đổi chỉ là phép suy ra tương đương nếu vế không chứa căn không âm — nếu không sẽ sinh ra nghiệm ngoại lai. Với bất đẳng thức căn, √a+√b\ge√(a+b) là công cụ nền tảng để tìm giá trị lớn nhất — nhỏ nhất của tổng các căn thức.
Loại 1
Phương trình dạng √A = B
√A = B ⟺ B\ge0 và A=B^{2}
Trước khi bình phương, bắt buộc kiểm tra vế phải B\ge0 — nếu không nghiệm tìm được có thể là nghiệm ngoại lai.
VD: √(2x+3)=x ⟹ x\ge0, 2x+3=x^{2}
Loại 2
Phương trình dạng √A + √B = C
Chuyển 1 căn qua vế phải rồi bình phương
Cô lập một căn thức, bình phương để khử nó, có thể cần bình phương lần thứ hai để khử căn còn lại.
VD: √(x+5)+√(x+2)=3
Loại 3
Bất đẳng thức căn cơ bản
√a+√b \ge √(a+b) · (√a+√b)^{2} \le 2(a+b)
Dùng để chặn trên/dưới tổng các căn thức khi tìm GTLN-GTNN của biểu thức có ràng buộc a+b=hằng số.
VD: a+b=4 ⟹ √a+√b \le 2√2
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Căn thức bậc hai · Bài 3
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · CĂN THỨC BẬC HAI
Chủ đề: Căn thức bậc hai
Bài 3/3 · Phương trình vô tỷ & GTLN-GTNN chứa căn
NGHIỆM NGOẠI LAI
4 quy tắc tránh sai sót khi giải phương trình vô tỷ
Kiểm tra ĐKXĐ trước khi bình phương · Đối chiếu nghiệm sau khi giải
Quy tắc 01
Luôn lập ĐKXĐ trước tiên
Biểu thức trong căn \ge 0
Xác định miền giá trị hợp lệ của x trước khi thực hiện bất kỳ phép biến đổi nào.
Quy tắc 02
Kiểm tra vế phải trước khi bình phương
√A=B chỉ đúng khi B\ge0
Nếu không kiểm tra B\ge0, phép bình phương có thể sinh thêm nghiệm không thỏa phương trình gốc.
Quy tắc 03
Đối chiếu nghiệm với ĐKXĐ
So sánh nghiệm tìm được với miền xác định
Sau khi giải phương trình bậc hai/bậc nhất thu được, loại bỏ nghiệm không thỏa ĐKXĐ ban đầu.
Quy tắc 04
Thử lại vào phương trình gốc
Thay nghiệm vào phương trình ban đầu để kiểm chứng
Cách chắc chắn nhất để phát hiện nghiệm ngoại lai là thay trực tiếp vào phương trình chứa căn ban đầu.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Căn thức bậc hai · Bài 3
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · CĂN THỨC BẬC HAI
Chủ đề: Căn thức bậc hai
Bài 3/3 · Phương trình vô tỷ & GTLN-GTNN chứa căn
PHƯƠNG PHÁP
2 phương pháp cốt lõi
Giải √A=B · Giải √A+√B=C
Phương pháp 1
Giải phương trình dạng √A = B
B1
Lập ĐKXĐ để A có nghĩa (A\ge0).
B2
Kiểm tra điều kiện B\ge0 trước khi bình phương.
B3
Bình phương hai vế: A = B^{2}, giải phương trình thu được.
B4
Loại nghiệm không thỏa B\ge0 (nghiệm ngoại lai).
Ví dụ minh họa
Giải phương trình: √(2x+3) = x.
ĐK: x\ge0 (vì vế phải = √(2x+3)\ge0) (điều kiện B\ge0)
Bình phương: 2x+3=x^{2} ⟹ x^{2}−2x−3=0 ⟹ (x−3)(x+1)=0 ⟹ x=3 hoặc x=−1 (loại x=−1 vì x<0)
Đáp số: x = 3
Phương pháp 2
Giải phương trình dạng √A + √B = C
B1
Lập ĐKXĐ cho cả A\ge0 và B\ge0.
B2
Chuyển một căn thức sang vế phải rồi bình phương.
B3
Rút gọn để cô lập căn thức còn lại.
B4
Bình phương lần hai, giải và đối chiếu ĐKXĐ.
Ví dụ minh họa
Giải phương trình: √(x+5) + √(x+2) = 3.
ĐK: x\ge−2. Chuyển vế: √(x+5)=3−√(x+2) (cần 3−√(x+2)\ge0 ⟹ x\le7) (cô lập 1 căn)
Bình phương: x+5=9−6√(x+2)+x+2 ⟹ 6√(x+2)=6 ⟹ √(x+2)=1 ⟹ x=−1 (bình phương lần 2)
Đáp số: x = −1 (thỏa ĐKXĐ, thử lại: √4+√1=2+1=3 ✓)
Lưu ý
Sau mỗi lần bình phương , phương trình mới có thể không tương đương với phương trình gốc — luôn thử lại nghiệm vào phương trình ban đầu để loại nghiệm ngoại lai.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Căn thức bậc hai · Bài 3
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · CĂN THỨC BẬC HAI
Chủ đề: Căn thức bậc hai
Bài 3/3 · Phương trình vô tỷ & GTLN-GTNN chứa căn
LUYỆN TẬP
4 dạng bài tập cốt lõi
Từ phương trình vô tỷ đến hệ phương trình và GTLN-GTNN chứa căn
Dạng 1 · Phương trình √A+√B=C
Giải phương trình tổng hai căn thức bằng hằng số
Giải phương trình: √(x+3) + √(x−1) = 4.
Chuyển vế & bình phương
√(x+3)=4−√(x−1) ⟹ x+3=16−8√(x−1)+x−1
Rút gọn
−12=−8√(x−1) ⟹ √(x−1)=3/2 ⟹ x=13/4
Kết luận: x = 13/4
Dạng 2 · Phương trình quy về bậc hai
Đặt ẩn phụ đưa phương trình chứa căn về bậc hai
Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2x^{2}−3x+1 = 2√(2x^{2}−3x).
Đặt t=√(2x^{2}−3x)\ge0
t^{2}+1=2t ⟹ (t−1)^{2}=0 ⟹ t=1 ⟹ 2x^{2}−3x=1
Áp dụng Vi-ét
2x^{2}−3x−1=0 ⟹ tổng nghiệm = −(−3)/2 = 3/2
Kết luận: Tổng các nghiệm = 3/2
Dạng 3 · Hệ phương trình chứa căn
Đặt ẩn phụ giải hệ phương trình có căn thức
Cho hệ √x+√y=5 và x+y=13, với x,y\ge0. Tính |x−y|.
Đặt s=√x, t=√y
s+t=5, s^{2}+t^{2}=13 ⟹ 2st=(s+t)^{2}−(s^{2}+t^{2})=12 ⟹ st=6
Giải s,t rồi suy ra x,y
s,t là nghiệm z^{2}−5z+6=0 ⟹ {s,t}={2,3} ⟹ {x,y}={4,9}
Kết luận: |x−y| = 5
Dạng 4 · GTLN-GTNN chứa căn
Tìm giá trị lớn nhất bằng bất đẳng thức căn
Cho a+b=4, a,b\ge0. Tìm giá trị lớn nhất của G = √a + √b.
Bình phương G
G^{2}=a+b+2√(ab)=4+2√(ab)
Áp dụng AM-GM
ab\le((a+b)/2)^{2}=4 ⟹ G^{2}\le4+2·2=8 ⟹ G\le2√2 (dấu = khi a=b=2)
Kết luận: max G = 2√2
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Căn thức bậc hai · Bài 3
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · CĂN THỨC BẬC HAI
Chủ đề: Căn thức bậc hai
Bài 3/3 · Phương trình vô tỷ & GTLN-GTNN chứa căn
TỔNG KẾT
Ghi nhớ & luyện tập
Ôn lại toàn bộ kiến thức cốt lõi của Bài 3 — Phương trình vô tỷ & GTLN-GTNN chứa căn
Bảng công thức cốt lõi
Khái niệm · Công thức / Kí hiệu · Ghi chú
Phương trình √A=B · B\ge0 và A=B^{2} · Kiểm tra B\ge0 trước khi bình phương
Phương trình √A+√B=C · Cô lập 1 căn rồi bình phương · Có thể cần bình phương 2 lần
Bất đẳng thức căn · √a+√b\ge√(a+b) (a,b\ge0) · Dùng cho bài toán GTLN-GTNN
Hệ chứa căn · Đặt s=√x, t=√y · Đưa về hệ đối xứng cơ bản
3 lỗi sai thường gặp
01
Quên kiểm tra B\ge0 — bình phương √A=B mà không xét dấu vế phải, dẫn đến nghiệm ngoại lai.
02
Không đối chiếu ĐKXĐ — tìm được nghiệm của phương trình sau khi bình phương nhưng không kiểm tra lại miền xác định ban đầu.
03
Nhầm dấu bất đẳng thức căn — áp dụng sai chiều √a+√b\ge√(a+b) khi tìm GTNN thay vì GTLN.
Hoàn thành
Chuyên đề Căn thức bậc hai — 3/3 bài học
Bạn đã hoàn thành trọn vẹn chuyên đề Căn thức bậc hai: từ rút gọn cơ bản, biểu thức chứa biến, đến phương trình vô tỷ và GTLN-GTNN. Hãy luyện tập thêm để thành thạo hoàn toàn.
Quét mã để luyện tập thêm
THCS AI LUKATO
Tự động tạo 200+ câu hỏi áp dụng Bài 3 — Căn thức bậc hai. Lời giải tiếng Việt cấp giáo viên chuyên ngay tức thì.
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Căn thức bậc hai · Bài 3
thcs.lukatoai.kr
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.