Góc với đường tròn · Bài 2/3
Góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây, góc có đỉnh trong/ngoài đường tròn, hệ thức phương tích.
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề: Đường tròn
Bài 2/3 · Góc với đường tròn
Chuyên đề · Đường tròn
Góc Với
Đường Tròn
Khám phá góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây, góc có đỉnh bên trong/ngoài đường tròn, và các hệ thức phương tích liên hệ giữa dây, tiếp tuyến và cát tuyến.
Thời lượng
45 phút
Độ khó
Trung bình
Dạng bài
4 dạng cốt lõi
Yêu cầu
Đã học Bài 1 · Dây cung, tiếp tuyến
BÀI 1
Dây cung, tiếp tuyến & vị trí tương đối hai đường tròn
Khoảng cách tâm-dây, hai tiếp tuyến cắt nhau, vị trí tương đối
BÀI 2
Góc với đường tròn
Góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây, phương tích
BÀI 3
Tứ giác nội tiếp & độ dài cung
Tứ giác nội tiếp, độ dài cung, diện tích hình quạt
Mục tiêu bài học
01
Áp dụng góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.
02
Áp dụng góc tạo bởi tiếp tuyến và dây bằng nửa số đo cung bị chắn.
03
Tính góc có đỉnh bên trong/ngoài đường tròn theo tổng/hiệu hai cung.
04
Sử dụng hệ thức phương tích MA·MB=MC·MD và MT^{2}=MA·MB.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Đường tròn · Bài 2
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề: Đường tròn
Bài 2/3 · Góc với đường tròn
ĐỊNH NGHĨA
3 nhóm góc cốt lõi với đường tròn
Góc nội tiếp · Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây · Góc đỉnh trong/ngoài
Thiết lập bài toán
Đường tròn (O) · Cung bị chắn = phần cung nằm "trong" góc đang xét · sđ cung = số đo góc ở tâm chắn cung đó
Ba nhóm góc nền tảng khi làm việc với đường tròn: góc nội tiếp (đỉnh trên đường tròn), góc tạo bởi tiếp tuyến và dây (đỉnh là tiếp điểm), và góc có đỉnh nằm trong hoặc ngoài đường tròn (tạo bởi hai dây hoặc hai cát tuyến/tiếp tuyến).
Loại 1
Góc nội tiếp
Góc nội tiếp = ½ sđ cung bị chắn
Đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh chứa hai dây cung. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn luôn bằng 90°.
VD: AB đường kính, cung AC=80° ⟹ góc ABC=40°
Loại 2
Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây
Góc (tiếp tuyến, dây) = ½ sđ cung bị chắn
Đỉnh là tiếp điểm, một cạnh là tiếp tuyến, cạnh kia là dây cung xuất phát từ tiếp điểm đó.
VD: Góc giữa tiếp tuyến và dây AB=30° ⟹ cung AB=60°
Loại 3
Góc có đỉnh trong/ngoài đường tròn
Đỉnh trong: (cung1+cung2)/2 · Đỉnh ngoài: (cung lớn−cung nhỏ)/2
Đỉnh trong: tạo bởi hai dây cắt nhau bên trong đường tròn. Đỉnh ngoài: tạo bởi hai cát tuyến/tiếp tuyến cắt nhau bên ngoài đường tròn.
VD: cung AB=100°, cung CD=60° ⟹ góc AMB=80° (đỉnh trong)
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Đường tròn · Bài 2
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề: Đường tròn
Bài 2/3 · Góc với đường tròn
4 CÔNG CỤ CỐT LÕI
Toàn bộ công cụ về góc và phương tích với đường tròn
4 công cụ cốt lõi cần ghi nhớ
Công cụ 01
Góc nội tiếp
Góc nội tiếp=½ sđ cung bị chắn
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (chắn cung có đường kính là dây) luôn bằng 90°.
Công cụ 02
Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây
=½ sđ cung bị chắn
Cùng công thức với góc nội tiếp, nhưng đỉnh là tiếp điểm và một cạnh là tiếp tuyến.
Công cụ 03
Góc đỉnh trong/ngoài đường tròn
Trong: (c₁+c₂)/2 · Ngoài: (c₁−c₂)/2
Dùng khi hai dây (đỉnh trong) hoặc hai cát tuyến/tiếp tuyến (đỉnh ngoài) cắt nhau.
Công cụ 04
Phương tích (hệ thức nhân đoạn)
IA·IB=IC·ID · MA·MB=MC·MD · MT^{2}=MA·MB
Dây cắt dây (trong), cát tuyến cắt cát tuyến (ngoài), tiếp tuyến-cát tuyến (ngoài).
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Đường tròn · Bài 2
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề: Đường tròn
Bài 2/3 · Góc với đường tròn
PHƯƠNG PHÁP
2 phương pháp cốt lõi
Tính góc từ tiếp tuyến và dây · Tính đoạn bằng phương tích hai cát tuyến
Phương pháp 1
Tính góc giữa hai dây xuất phát từ tiếp điểm
B1
Xác định góc giữa tiếp tuyến và từng dây (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây).
B2
Nhận diện vị trí hai dây so với tiếp tuyến (cùng phía hay khác phía).
B3
Nếu cùng phía: góc giữa hai dây bằng hiệu hai góc đã xác định.
B4
Tính kết quả và kiểm tra hợp lý (góc phải dương, nhỏ hơn 180°).
Ví dụ minh họa
Đường tròn (O) và tiếp tuyến tại A. Hai dây AB, AC xuất phát từ A tạo với tiếp tuyến (cùng phía) các góc lần lượt 30° và 70°. Tính góc BAC.
Góc(tiếp tuyến,AB)=30°, góc(tiếp tuyến,AC)=70° (góc tiếp tuyến-dây)
AB nằm giữa tiếp tuyến và AC ⟹ góc BAC=70°−30°=40°
Đáp số: Góc BAC = 40°
Phương pháp 2
Tính đoạn bằng phương tích hai cát tuyến từ một điểm ngoài
B1
Xác định hai cát tuyến MAB, MCD từ điểm M ngoài đường tròn.
B2
Tính MB=MA+AB (đoạn cát tuyến gần cộng dây).
B3
Áp dụng hệ thức phương tích MA·MB=MC·MD.
B4
Giải phương trình để tìm đoạn còn lại.
Ví dụ minh họa
Từ điểm M ngoài đường tròn (O), vẽ hai cát tuyến MAB và MCD. Biết MA=3cm, AB=5cm, MC=4cm. Tính MD.
MB=MA+AB=3+5=8 (cộng đoạn)
MA·MB=MC·MD ⟹ 3·8=4·MD ⟹ MD=6 (phương tích)
Đáp số: MD = 6 cm
Lưu ý
Hệ thức phương tích luôn nhân đoạn gần với đoạn xa tính từ điểm M — không nhân nhầm hai đoạn của cùng một cát tuyến theo thứ tự khác.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Đường tròn · Bài 2
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề: Đường tròn
Bài 2/3 · Góc với đường tròn
LUYỆN TẬP
4 dạng bài tập cốt lõi
Từ góc nội tiếp, góc đỉnh trong/ngoài đến phương tích
Dạng 1 · Góc nội tiếp
Tính góc nội tiếp khi biết số đo cung bị chắn
Đường tròn (O) và cung AB (không chứa C) có số đo 80°. Điểm C nằm trên cung lớn AB. Tính số đo góc ACB.
Nhận diện góc nội tiếp
Góc ACB là góc nội tiếp chắn cung AB
Áp dụng công thức
Góc ACB=80°/2=40°
Kết luận: Góc ACB = 40°
Dạng 2 · Góc đỉnh trong đường tròn
Tính góc tạo bởi hai dây cắt nhau bên trong đường tròn
Đường tròn (O) và hai dây AC, BD cắt nhau tại M bên trong đường tròn. Biết cung AB (không chứa C,D) = 100° và cung CD (không chứa A,B) = 60°. Tính góc AMB.
Áp dụng công thức đỉnh trong
Góc AMB=(cung AB+cung CD)/2
Thay số
Góc AMB=(100+60)/2=80°
Kết luận: Góc AMB = 80°
Dạng 3 · Góc đỉnh ngoài đường tròn
Tính góc tạo bởi hai cát tuyến cắt nhau bên ngoài đường tròn
Điểm M ngoài đường tròn (O). Hai cát tuyến từ M cắt (O) tạo hai cung bị kẹp: cung lớn (xa M) = 130°, cung nhỏ (gần M) = 50°. Tính góc M.
Áp dụng công thức đỉnh ngoài
Góc M=(cung lớn−cung nhỏ)/2
Thay số
Góc M=(130−50)/2=40°
Kết luận: Góc M = 40°
Dạng 4 · Phương tích tiếp tuyến-cát tuyến
Tính độ dài tiếp tuyến bằng hệ thức phương tích
Từ điểm M ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến MT (T là tiếp điểm) và cát tuyến MAB (A nằm giữa M và B). Biết MA=4cm, MB=9cm. Tính MT.
Áp dụng hệ thức phương tích
MT^{2}=MA·MB=4·9=36
Khai căn
MT=6
Kết luận: MT = 6 cm
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Đường tròn · Bài 2
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề: Đường tròn
Bài 2/3 · Góc với đường tròn
TỔNG KẾT
Ghi nhớ & luyện tập
Ôn lại toàn bộ kiến thức cốt lõi của Bài 2 — Góc với đường tròn
Bảng công thức cốt lõi
Khái niệm · Công thức · Ghi chú
Góc nội tiếp · =½ sđ cung bị chắn · Chắn nửa đường tròn ⟹ 90°
Góc tiếp tuyến và dây · =½ sđ cung bị chắn · Đỉnh là tiếp điểm
Góc đỉnh trong/ngoài · (c₁+c₂)/2 hoặc (c₁−c₂)/2 · Trong: cộng · Ngoài: trừ
Phương tích · IA·IB=IC·ID, MT^{2}=MA·MB · Nhân đoạn gần với đoạn xa
3 lỗi sai thường gặp
01
Nhầm cung bị chắn — lấy sai cung khi xác định góc nội tiếp hoặc góc tiếp tuyến-dây.
02
Nhầm cộng/trừ đỉnh trong-ngoài — dùng phép cộng cho đỉnh ngoài hoặc phép trừ cho đỉnh trong.
03
Nhân sai đoạn trong phương tích — không nhân đúng cặp đoạn gần-xa tính từ cùng một điểm.
Tiếp theo
Bài 3 · Tứ giác nội tiếp & độ dài cung
Bài tiếp theo sẽ khám phá điều kiện tứ giác nội tiếp đường tròn, định lý Ptolemy, cùng công thức độ dài cung và diện tích hình quạt tròn.
Quét mã để luyện tập thêm
THCS AI LUKATO
Tự động tạo 200+ câu hỏi áp dụng Bài 2 — Đường tròn. Lời giải tiếng Việt cấp giáo viên chuyên ngay tức thì.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Đường tròn · Bài 2
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.