Dây cung, tiếp tuyến & vị trí tương đối hai đường tròn · Bài 1/3
Quan hệ dây cung và khoảng cách đến tâm; tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau; vị trí tương đối của hai đường tròn.
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề: Đường tròn
Bài 1/3 · Dây cung, tiếp tuyến & vị trí tương đối hai đường tròn
Chuyên đề · Đường tròn
Dây Cung, Tiếp Tuyến
& Vị Trí Tương Đối
Nắm vững quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, và cách xét vị trí tương đối của hai đường tròn — nền tảng để giải mọi bài toán về đường tròn.
Thời lượng
45 phút
Độ khó
Cơ bản - Trung bình
Dạng bài
4 dạng cốt lõi
Yêu cầu
Định lý Pythagore, tam giác đồng dạng
BÀI 1
Dây cung, tiếp tuyến & vị trí tương đối hai đường tròn
Khoảng cách tâm-dây, hai tiếp tuyến cắt nhau, vị trí tương đối
BÀI 2
Góc với đường tròn
Góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây, phương tích
BÀI 3
Tứ giác nội tiếp & độ dài cung
Tứ giác nội tiếp, độ dài cung, diện tích hình quạt
Mục tiêu bài học
01
Áp dụng quan hệ dây cung và khoảng cách đến tâm d^{2}+(dây/2)^{2}=R^{2}.
02
Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau MA=MB để giải bài toán tiếp tuyến.
03
Xét vị trí tương đối của hai đường tròn dựa vào d, R, r.
04
Tính độ dài tiếp tuyến chung (ngoài, trong) của hai đường tròn.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Đường tròn · Bài 1
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề: Đường tròn
Bài 1/3 · Dây cung, tiếp tuyến & vị trí tương đối hai đường tròn
ĐỊNH NGHĨA
3 nhóm kiến thức cốt lõi về đường tròn
Dây và khoảng cách tâm · Hai tiếp tuyến cắt nhau · Vị trí tương đối
Thiết lập bài toán
Đường tròn (O; R) · Dây AB · d = khoảng cách từ O đến dây · M ngoài đường tròn, MA, MB là tiếp tuyến
Ba nhóm kiến thức nền tảng của chương Đường tròn: quan hệ giữa độ dài dây và khoảng cách từ tâm đến dây, tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm, và cách xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn dựa vào khoảng cách hai tâm.
Loại 1
Dây cung và khoảng cách đến tâm
d^{2} + (dây/2)^{2} = R^{2}
Dây càng gần tâm thì càng dài; hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm.
VD: R=5, AB=8 ⟹ d=3
Loại 2
Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
MA = MB · OM là phân giác góc AMB và góc AOB · OM ⊥ AB
Từ một điểm ngoài đường tròn, hai tiếp tuyến luôn bằng nhau và đường nối điểm đó với tâm là trục đối xứng của hình.
VD: R=3, OM=5 ⟹ MA=4
Loại 3
Vị trí tương đối của hai đường tròn
So sánh d với R+r và |R−r|
d>R+r: ngoài nhau · |R−r|<d<R+r: cắt nhau · d=R+r hoặc d=|R−r|: tiếp xúc · d<|R−r|: đựng nhau.
VD: R₁=5, R₂=3, d=6 ⟹ cắt nhau tại 2 điểm
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Đường tròn · Bài 1
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề: Đường tròn
Bài 1/3 · Dây cung, tiếp tuyến & vị trí tương đối hai đường tròn
4 CÔNG CỤ CỐT LÕI
Toàn bộ công cụ về dây cung, tiếp tuyến và hai đường tròn
4 công cụ cốt lõi cần ghi nhớ
Công cụ 01
Dây và khoảng cách tâm
d^{2}+(dây/2)^{2}=R^{2}
Dùng khi biết bán kính và một trong hai đại lượng (dây hoặc khoảng cách) để tìm đại lượng còn lại.
Công cụ 02
Tiếp tuyến từ một điểm
MA=MB=√(OM^{2}−R^{2})
Dùng khi biết bán kính R và khoảng cách OM từ điểm ngoài đến tâm.
Công cụ 03
Vị trí tương đối hai đường tròn
So sánh d với R+r và |R−r|
Xác định hai đường tròn ngoài nhau, cắt nhau, tiếp xúc trong/ngoài, hay đựng nhau.
Công cụ 04
Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Ngoài: √(d^{2}−(R−r)^{2}) · Trong: √(d^{2}−(R+r)^{2})
Dùng khi biết hai bán kính R, r và khoảng cách hai tâm d.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Đường tròn · Bài 1
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề: Đường tròn
Bài 1/3 · Dây cung, tiếp tuyến & vị trí tương đối hai đường tròn
PHƯƠNG PHÁP
2 phương pháp cốt lõi
Khoảng cách từ tâm đến nhiều dây · Tính đoạn MH khi biết tiếp tuyến
Phương pháp 1
Tính khoảng cách từ tâm đến nhiều dây khác nhau
B1
Xác định bán kính R và độ dài mỗi dây đã cho.
B2
Áp dụng công thức d^{2}=R^{2}−(dây/2)^{2} cho từng dây.
B3
Khai căn để tìm từng khoảng cách d₁, d₂.
B4
Kết hợp các khoảng cách theo yêu cầu bài toán (tổng, hiệu, tỉ số...).
Ví dụ minh họa
Đường tròn (O; R=5cm) có hai dây AB=8cm, CD=6cm. Gọi d₁, d₂ lần lượt là khoảng cách từ O đến AB và CD. Tính d₁+d₂.
d₁²=25−16=9 ⟹ d₁=3 (dây AB=8)
d₂²=25−9=16 ⟹ d₂=4 (dây CD=6) ; d₁+d₂=3+4=7
Đáp số: d₁+d₂ = 7 cm
Phương pháp 2
Tính đoạn MH khi biết bán kính và khoảng cách OM
B1
Tính độ dài tiếp tuyến MA=√(OM^{2}−R^{2}).
B2
Tính AH bằng hệ thức diện tích trong tam giác vuông OAM: AH·OM=OA·MA.
B3
Tính OH bằng hệ thức hình chiếu: OH·OM=OA^{2} ⟹ OH=R^{2}/OM.
B4
Suy ra MH=OM−OH.
Ví dụ minh họa
Điểm M ngoài đường tròn (O; R=6cm) với OM=10cm. Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB. Gọi H là giao điểm của OM và AB. Tính MH.
MA=√(100−36)=8 (tiếp tuyến) ; OH=R^{2}/OM=36/10=18/5 (hệ thức hình chiếu)
MH=OM−OH=10−18/5=32/5 (trừ)
Đáp số: MH = 32/5 cm
Lưu ý
Trong tam giác OAM vuông tại A (do MA là tiếp tuyến, OA⊥MA), AH chính là đường cao ứng với cạnh huyền OM — áp dụng trọn vẹn hệ thức lượng của Bài 1.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Đường tròn · Bài 1
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề: Đường tròn
Bài 1/3 · Dây cung, tiếp tuyến & vị trí tương đối hai đường tròn
LUYỆN TẬP
4 dạng bài tập cốt lõi
Từ dây cung, tiếp tuyến đến vị trí tương đối hai đường tròn
Dạng 1 · Dây và khoảng cách tâm
Tính độ dài dây khi biết khoảng cách từ tâm
Đường tròn (O; R=5cm) có điểm A cố định cách O một khoảng d=3cm. Dây AB đi qua A vuông góc với OA. Tính độ dài AB.
Áp dụng công thức
(AB/2)^{2}=R^{2}−d^{2}=25−9=16
Suy ra AB
AB/2=4 ⟹ AB=8
Kết luận: AB = 8 cm
Dạng 2 · Độ dài tiếp tuyến
Tính độ dài tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn
Đường tròn (O; R=3cm) và điểm M ngoài đường tròn sao cho OM=5cm. Từ M kẻ tiếp tuyến MA. Tính MA.
Áp dụng Pythagore trong △OAM vuông tại A
MA^{2}=OM^{2}−OA^{2}=25−9=16
Khai căn
MA=4
Kết luận: MA = 4 cm
Dạng 3 · Góc giữa hai tiếp tuyến
Tính góc ở tâm khi biết góc giữa hai tiếp tuyến
Từ điểm A ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AM, AN với M, N là tiếp điểm. Biết góc MAN=60°. Tính số đo góc MON.
Nhận diện tứ giác AMON
Góc AMO=góc ANO=90° (tiếp tuyến ⊥ bán kính)
Áp dụng tổng góc tứ giác
Góc MON=360°−90°−90°−60°=120°
Kết luận: Góc MON = 120°
Dạng 4 · Vị trí tương đối hai đường tròn
Tính bán kính khi biết hai đường tròn tiếp xúc ngoài
Hai đường tròn (O; R=5cm) và (O'; R') tiếp xúc ngoài với nhau. Biết khoảng cách hai tâm OO'=12cm. Tính bán kính R'.
Áp dụng điều kiện tiếp xúc ngoài
OO'=R+R'
Giải R'
12=5+R' ⟹ R'=7
Kết luận: R' = 7 cm
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Đường tròn · Bài 1
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · ĐƯỜNG TRÒN
Chủ đề: Đường tròn
Bài 1/3 · Dây cung, tiếp tuyến & vị trí tương đối hai đường tròn
TỔNG KẾT
Ghi nhớ & luyện tập
Ôn lại toàn bộ kiến thức cốt lõi của Bài 1 — Dây cung, tiếp tuyến & vị trí tương đối hai đường tròn
Bảng công thức cốt lõi
Khái niệm · Công thức · Ghi chú
Dây và khoảng cách tâm · d^{2}+(dây/2)^{2}=R^{2} · Dây càng gần tâm càng dài
Tiếp tuyến từ 1 điểm · MA=MB=√(OM^{2}−R^{2}) · OM là phân giác, OM⊥AB
Vị trí tương đối 2 đường tròn · So sánh d với R+r, |R−r| · Ngoài nhau · cắt nhau · tiếp xúc
Tiếp tuyến chung · √(d^{2}−(R∓r)^{2}) · Dấu trừ: ngoài · dấu cộng: trong
3 lỗi sai thường gặp
01
Quên chia đôi dây — dùng cả độ dài dây thay vì nửa dây trong công thức d^{2}+(dây/2)^{2}=R^{2}.
02
Nhầm dấu công thức tiếp tuyến chung — dùng (R+r) cho tiếp tuyến ngoài thay vì (R−r).
03
Nhầm điều kiện vị trí tương đối — nhầm d=R+r (tiếp xúc ngoài) với d=|R−r| (tiếp xúc trong).
Tiếp theo
Bài 2 · Góc với đường tròn
Bài tiếp theo sẽ khám phá góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây, góc có đỉnh bên trong/ngoài đường tròn, và hệ thức phương tích MA·MB=MC·MD.
Quét mã để luyện tập thêm
THCS AI LUKATO
Tự động tạo 200+ câu hỏi áp dụng Bài 1 — Đường tròn. Lời giải tiếng Việt cấp giáo viên chuyên ngay tức thì.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Đường tròn · Bài 1
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.