Tỉ số lượng giác của góc nhọn · Bài 2/3
Định nghĩa sin, cos, tan, cot của góc nhọn; tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau; hệ thức sin^2alpha+cos^2alpha=1.
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ THỨC LƯỢNG
Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 2/3 · Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Chuyên đề · Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Tỉ Số Lượng Giác
Của Góc Nhọn
Định nghĩa sin, cos, tan, cot của góc nhọn trong tam giác vuông qua tỉ số cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền — cùng các hệ thức liên hệ giữa tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau và hệ thức cơ bản sin^{2}α+cos^{2}α=1.
Thời lượng
45 phút
Độ khó
Cơ bản - Trung bình
Dạng bài
4 dạng cốt lõi
Yêu cầu
Đã học Bài 1 · Hệ thức cạnh và đường cao
BÀI 1
Hệ thức về cạnh và đường cao
b^{2}=ab', c^{2}=ac', h^{2}=b'c', ah=bc, 1/h^{2}=1/b^{2}+1/c^{2}
BÀI 2
Tỉ số lượng giác của góc nhọn
sin, cos, tan, cot và tỉ số góc phụ nhau
BÀI 3
Ứng dụng thực tế · Giải tam giác & đo đạc
Giải tam giác, đo chiều cao, khoảng cách
Mục tiêu bài học
01
Định nghĩa sin, cos, tan, cot của góc nhọn qua tỉ số các cạnh.
02
Áp dụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau (sinA=cosB khi A+B=90°).
03
Sử dụng hệ thức sin^{2}α+cos^{2}α=1 và tanα·cotα=1 để suy ra tỉ số còn lại.
04
Giải các bài toán tổng hợp về cạnh, góc và biểu thức chứa tỉ số lượng giác.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ thức lượng · Bài 2
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ THỨC LƯỢNG
Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 2/3 · Tỉ số lượng giác của góc nhọn
ĐỊNH NGHĨA
3 nhóm kiến thức về tỉ số lượng giác
sin, cos, tan, cot · Góc phụ nhau · sin^{2}+cos^{2}=1
Định nghĩa tỉ số lượng giác
sinα=đối/huyền · cosα=kề/huyền · tanα=đối/kề · cotα=kề/đối
Với góc nhọn α trong tam giác vuông, mỗi tỉ số lượng giác là tỉ số giữa độ dài hai trong ba cạnh (cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền so với góc α). Các tỉ số này chỉ phụ thuộc vào số đo góc α, không phụ thuộc vào kích thước cụ thể của tam giác.
Loại 1
4 tỉ số lượng giác cơ bản
sinα=đối/huyền · tanα=đối/kề
sin và cos luôn nhỏ hơn 1 (vì cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền); tan và cot có thể nhận mọi giá trị dương.
VD: AB=3,BC=5 ⟹ sinC=3/5
Loại 2
Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
A+B=90° ⟹ sinA=cosB, tanA=cotB
Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau — sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.
VD: sinB=1/3 ⟹ cosC=1/3
Loại 3
Hệ thức cơ bản giữa các tỉ số
sin^{2}α+cos^{2}α=1 · tanα=sinα/cosα · tanα·cotα=1
Ba hệ thức này cho phép tính mọi tỉ số lượng giác còn lại khi biết một tỉ số.
VD: tanα=3/4 ⟹ sinα=3/5
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ thức lượng · Bài 2
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ THỨC LƯỢNG
Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 2/3 · Tỉ số lượng giác của góc nhọn
QUY TẮC GÓC PHỤ NHAU
4 quy tắc cốt lõi khi làm việc với tỉ số lượng giác
4 quy tắc dùng tỉ số lượng giác góc phụ nhau
Quy tắc 01
sin góc này = cos góc kia
A+B=90° ⟹ sinA=cosB
Hai góc nhọn của tam giác vuông luôn phụ nhau, nên sin góc này luôn bằng cos góc còn lại.
Quy tắc 02
tan góc này = cot góc kia
A+B=90° ⟹ tanA=cotB
Tương tự, tan góc này bằng cot góc kia khi hai góc phụ nhau.
Quy tắc 03
Hệ thức Pythagore lượng giác
sin^{2}α+cos^{2}α=1
Biết sin (hoặc cos) suy ra ngay cos (hoặc sin) còn lại, có xét dấu dương vì α là góc nhọn.
Quy tắc 04
Liên hệ tan và cot
tanα=sinα/cosα · tanα·cotα=1
Dùng khi cần chuyển đổi giữa tan/cot và cặp sin/cos.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ thức lượng · Bài 2
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ THỨC LƯỢNG
Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 2/3 · Tỉ số lượng giác của góc nhọn
PHƯƠNG PHÁP
2 phương pháp cốt lõi
Suy ra tỉ số còn lại · Dùng góc phụ nhau để tính tỉ số khác
Phương pháp 1
Tính tỉ số lượng giác còn lại khi biết một tỉ số
B1
Xác định tỉ số đã cho (VD: tanα).
B2
Dựng tam giác vuông với cạnh đối, cạnh kề theo tỉ số đó.
B3
Tính cạnh huyền bằng định lý Pythagore.
B4
Suy ra các tỉ số lượng giác còn lại từ ba cạnh.
Ví dụ minh họa
Cho góc nhọn α thỏa tanα=3/4. Tính sinα.
tanα=3/4 ⟹ đối=3, kề=4 (theo đơn vị bất kỳ) (dựng tam giác 3-4-5)
huyền=√(3^{2}+4^{2})=5 ⟹ sinα=đối/huyền=3/5 (tính tỉ số)
Đáp số: sinα = 3/5
Phương pháp 2
Dùng tỉ số góc phụ nhau để tính tỉ số góc còn lại
B1
Nhận diện hai góc nhọn B, C của tam giác vuông tại A (B+C=90°).
B2
Chuyển đổi tỉ số đã cho của góc này sang góc kia bằng quy tắc phụ nhau.
B3
Dùng sin^{2}+cos^{2}=1 để tìm tỉ số còn thiếu của góc đó.
B4
Tính tỉ số được yêu cầu (thường là tan hoặc cot).
Ví dụ minh họa
Tam giác ABC vuông tại A có sinB=1/3. Tính tanC.
B+C=90° ⟹ cosB=sinC (không cần dùng trực tiếp ở đây) (xác định góc phụ nhau)
cosB=√(1−1/9)=2√2/3 ⟹ tanC=cotB=cosB/sinB=(2√2/3)/(1/3)=2√2 (dùng tanC=cotB)
Đáp số: tanC = 2√2
Lưu ý
Với góc nhọn, mọi tỉ số lượng giác đều dương — khi khai căn từ sin^{2}+cos^{2}=1, luôn lấy giá trị dương.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ thức lượng · Bài 2
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ THỨC LƯỢNG
Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 2/3 · Tỉ số lượng giác của góc nhọn
LUYỆN TẬP
4 dạng bài tập cốt lõi
Từ tính tỉ số cơ bản đến ứng dụng đường tròn nội tiếp
Dạng 1 · Tính tỉ số lượng giác từ 2 cạnh
Tính tan của góc nhọn khi biết cạnh góc vuông và cạnh huyền
Tam giác ABC vuông tại A có AB=3, BC=5. Tính tanB.
Tính AC
AC=√(BC^{2}−AB^{2})=√(25−9)=4
Tính tanB
tanB=AC/AB=4/3 (cạnh đối/cạnh kề với góc B)
Kết luận: tanB = 4/3
Dạng 2 · Biểu thức chứa tỉ số lượng giác
Tính giá trị biểu thức có sin của hai góc nhọn
Tam giác ABC vuông tại A có AB=6, AC=8. Tính P=AB·sinB+AC·sinC.
Tính BC, sinB, sinC
BC=10; sinB=AC/BC=4/5, sinC=AB/BC=3/5
Thay vào P
P=6·(4/5)+8·(3/5)=24/5+24/5=48/5
Kết luận: P = 48/5
Dạng 3 · Tam giác cân & cosin
Tính cos của góc ở đỉnh trong tam giác cân
Tam giác ABC có AB=AC=√3, BC=√2. Tính cosA.
Áp dụng định lý cosin
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}−2·AB·AC·cosA ⟹ 2=3+3−6cosA
Giải cosA
6cosA=4 ⟹ cosA=2/3
Kết luận: cosA = 2/3
Dạng 4 · Ứng dụng đường tròn nội tiếp
Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông
Tam giác ABC vuông tại A có AB=3, AC=4. Tính bán kính r đường tròn nội tiếp.
Tính BC
BC=√(9+16)=5
Áp dụng công thức r
r=(AB+AC−BC)/2=(3+4−5)/2=1
Kết luận: r = 1
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ thức lượng · Bài 2
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ THỨC LƯỢNG
Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 2/3 · Tỉ số lượng giác của góc nhọn
TỔNG KẾT
Ghi nhớ & luyện tập
Ôn lại toàn bộ kiến thức cốt lõi của Bài 2 — Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Bảng công thức cốt lõi
Khái niệm · Công thức · Ghi chú
Định nghĩa cơ bản · sinα=đối/huyền, cosα=kề/huyền · tanα=đối/kề, cotα=kề/đối
Góc phụ nhau · sinA=cosB, tanA=cotB · Khi A+B=90°
Hệ thức Pythagore lượng giác · sin^{2}α+cos^{2}α=1 · Suy ra tỉ số còn lại
Liên hệ tan, cot · tanα=sinα/cosα, tanα·cotα=1 · Chuyển đổi giữa các tỉ số
3 lỗi sai thường gặp
01
Nhầm cạnh đối, cạnh kề — xác định sai cạnh nào là đối, cạnh nào là kề với góc đang xét.
02
Quên góc phụ nhau — không nhận ra hai góc nhọn của tam giác vuông luôn cộng lại bằng 90°.
03
Lấy dấu âm khi khai căn — quên rằng tỉ số lượng giác của góc nhọn luôn dương.
Tiếp theo
Bài 3 · Ứng dụng thực tế — Giải tam giác & đo đạc
Bài tiếp theo sẽ vận dụng hệ thức lượng và tỉ số lượng giác để giải tam giác (tìm cạnh, góc còn lại) và giải các bài toán đo chiều cao, khoảng cách trong thực tế.
Quét mã để luyện tập thêm
THCS AI LUKATO
Tự động tạo 200+ câu hỏi áp dụng Bài 2 — Hệ thức lượng. Lời giải tiếng Việt cấp giáo viên chuyên ngay tức thì.
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ thức lượng · Bài 2
thcs.lukatoai.kr
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.