Biểu thức chứa căn với biến số · Bài 2/3
Rút gọn biểu thức đại số chứa sqrtx, trục căn thức ở mẫu nhiều số hạng, kỹ thuật căn kép (căn lồng căn).
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · CĂN THỨC BẬC HAI
Chủ đề: Căn thức bậc hai
Bài 2/3 · Biểu thức chứa căn với biến số
Chuyên đề · Căn thức bậc hai
Biểu Thức Chứa Căn
Với Biến Số
Nâng cao kỹ năng rút gọn biểu thức đại số chứa √x — quy đồng mẫu với hằng đẳng thức x−1=(√x−1)(√x+1), trục căn thức ở mẫu có nhiều số hạng bằng liên hợp, và kỹ thuật căn kép (căn lồng căn) \sqrt{a+2\sqrt{b}}=√m+√n.
Thời lượng
45 phút
Độ khó
Trung bình
Dạng bài
4 dạng cốt lõi
Yêu cầu
Đã học Bài 1 · Rút gọn căn cơ bản
BÀI 1
Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Đưa thừa số ra/vào căn, cộng trừ đồng dạng, trục căn đơn giản
BÀI 2
Biểu thức chứa căn với biến số
Rút gọn biểu thức đại số chứa √x, trục căn nhiều số hạng, căn kép
BÀI 3
Phương trình vô tỷ & GTLN-GTNN chứa căn
Giải phương trình chứa căn, bất đẳng thức căn cơ bản
Mục tiêu bài học
01
Rút gọn biểu thức chứa √x bằng hằng đẳng thức x−1=(√x−1)(√x+1).
02
Trục căn thức ở mẫu có nhiều số hạng bằng phép nhân liên hợp lặp lại.
03
Tách căn kép \sqrt{a+2\sqrt{b}} = √m+√n khi tìm được m+n=a, mn=b.
04
Xác định ĐKXĐ của biểu thức chứa √x có nhiều mẫu số.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Căn thức bậc hai · Bài 2
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · CĂN THỨC BẬC HAI
Chủ đề: Căn thức bậc hai
Bài 2/3 · Biểu thức chứa căn với biến số
ĐỊNH NGHĨA
3 kỹ thuật biến đổi căn thức với biến số
Hằng đẳng thức x−1=(√x−1)(√x+1) · Liên hợp nhiều số hạng · Căn kép
Hằng đẳng thức mở rộng
a−b = (√a−√b)(√a+√b) · \sqrt{a\pm 2\sqrt{b}} = √m ± √n (m+n=a, mn=b)
Khi biểu thức chứa biến số x dưới dạng √x, hiệu hai bình phương a−b=(√a−√b)(√a+√b) cho phép quy đồng và rút gọn phân thức chứa căn. Với căn lồng căn (căn kép), việc tách thành tổng hai căn đơn giản dựa trên việc tìm hai số m, n thỏa m+n bằng số hạng không căn và mn bằng số hạng dưới căn còn lại.
Loại 1
Phân tích hằng đẳng thức chứa √x
x−1 = (√x−1)(√x+1) (x≥0)
Dùng để rút gọn phân thức có mẫu x−1, hoặc quy đồng mẫu chung khi cộng trừ các phân thức chứa √x−1 và √x+1.
VD: (x−1)/(√x−1)=√x+1
Loại 2
Trục căn thức mẫu nhiều số hạng
Nhóm 2 số hạng, nhân liên hợp — lặp lại nếu cần
Khi mẫu có từ ba số hạng trở lên, nhóm thành hai phần rồi nhân liên hợp; có thể cần nhân liên hợp lần thứ hai để khử hết căn ở mẫu.
VD: nhóm (√3+1)+√2 rồi nhân liên hợp
Loại 3
Căn kép (căn lồng căn)
\sqrt{a+2\sqrt{b}} = √m+√n nếu m+n=a, mn=b
Tìm hai số m, n có tổng bằng a và tích bằng b để tách căn kép thành tổng hai căn thức đơn giản hơn.
VD: \sqrt{4+2\sqrt{3}}=√1+√3=1+√3
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Căn thức bậc hai · Bài 2
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · CĂN THỨC BẬC HAI
Chủ đề: Căn thức bậc hai
Bài 2/3 · Biểu thức chứa căn với biến số
ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH
4 quy tắc ĐKXĐ cho biểu thức chứa biến
Điều kiện √x có nghĩa · Điều kiện mẫu số khác 0
Quy tắc 01
√x xác định khi x ≥ 0
x ≥ 0
Điều kiện nền tảng nhất — biến x dưới dấu căn phải không âm.
Quy tắc 02
1/(√x−1) xác định khi x ≥ 0, x ≠ 1
x ≥ 0 và x ≠ 1
Vừa cần căn có nghĩa (x≥0), vừa cần mẫu √x−1 khác 0 tức x≠1.
Quy tắc 03
Mẫu chứa cả x và √x
x ≥ 0 và x ≠ a 2
Nếu mẫu có dạng √x−a thì cần x≠a 2 ; nếu mẫu có dạng x−a 2 thì cũng cần x≠a 2 (vì x−a 2 =(√x−a)(√x+a)).
Quy tắc 04
Biểu thức nhiều mẫu số
Giao tất cả điều kiện thành phần
Khi biểu thức có nhiều phân thức, ĐKXĐ chung là giao của mọi điều kiện của từng mẫu số riêng lẻ.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Căn thức bậc hai · Bài 2
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · CĂN THỨC BẬC HAI
Chủ đề: Căn thức bậc hai
Bài 2/3 · Biểu thức chứa căn với biến số
PHƯƠNG PHÁP
2 phương pháp cốt lõi
Rút gọn biểu thức chứa √x · Trục căn thức nhiều số hạng
Phương pháp 1
Rút gọn biểu thức chứa √x
B1
Xác định ĐKXĐ và mẫu số chung (thường là x−1=(√x−1)(√x+1)).
B2
Quy đồng các phân thức về cùng mẫu chung.
B3
Khai triển và rút gọn tử số.
B4
Rút gọn phân thức cuối cùng nếu tử và mẫu có nhân tử chung.
Ví dụ minh họa
Rút gọn: A = (√x+1)/(√x−1) + (√x−1)/(√x+1) − 4/(x−1), với x≥0, x≠1.
A=[(√x+1) 2 +(√x−1) 2 −4]/(x−1) (quy đồng mẫu x−1)
A=[(x+2√x+1)+(x−2√x+1)−4]/(x−1)=(2x−2)/(x−1)=2 (khai triển & rút gọn)
Đáp số: A = 2 với mọi x≥0, x≠1 (giá trị không đổi, không phụ thuộc x)
Phương pháp 2
Trục căn thức ở mẫu nhiều số hạng
B1
Nhóm mẫu số thành hai phần để lộ ra dạng liên hợp.
B2
Nhân liên hợp của nhóm vừa tạo với cả tử và mẫu.
B3
Rút gọn mẫu bằng hằng đẳng thức (a+b)(a−b)=a 2 −b 2 .
B4
Lặp lại bước nhân liên hợp nếu mẫu vẫn còn chứa căn.
Ví dụ minh họa
Trục căn thức ở mẫu: D = 1/(√3+√2+1).
D=(√3+1−√2)/[(√3+1) 2 −2]=(√3+1−√2)/(2+2√3) (nhóm (√3+1)+√2, nhân liên hợp)
D=(√3+1−√2)(√3−1)/[2(√3+1)(√3−1)]=(2−√6+√2)/4 (nhân liên hợp lần 2)
Đáp số: D = (√2−√6+2)/4
Lưu ý
Mọi phép biến đổi chỉ có giá trị khi biểu thức thỏa ĐKXĐ — luôn kiểm tra điều kiện của biến trước khi kết luận.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Căn thức bậc hai · Bài 2
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · CĂN THỨC BẬC HAI
Chủ đề: Căn thức bậc hai
Bài 2/3 · Biểu thức chứa căn với biến số
LUYỆN TẬP
4 dạng bài tập cốt lõi
Từ rút gọn giá trị đến trục căn kép và phương trình chứa căn
Dạng 1 · Rút gọn & tính giá trị
Tính giá trị biểu thức chứa biến tại x cho trước
Cho A = (3√x+6)/(x−4) − √x/(√x−2). Tính A tại x=1.
Thay x=1 (√x=1)
A=(3+6)/(1−4)−1/(1−2)=9/(−3)−1/(−1)
Tính
A=−3−(−1)=−3+1=−2
Kết luận: A = −2
Dạng 2 · Phương trình chứa biểu thức căn
Tìm x thỏa một phương trình chứa √x
Cho A = (√x−2)/(√x+2). Tìm x để A = 1/3.
Quy đồng chéo
3(√x−2)=√x+2 ⟹ 3√x−6=√x+2 ⟹ 2√x=8 ⟹ √x=4
Bình phương
x=16 (thỏa ĐKXĐ x≥0)
Kết luận: x = 16
Dạng 3 · Tổng kiểu kính viễn vọng
Trục căn từng số hạng rồi rút gọn tổng dây chuyền
Tính S = 1/(√1+√2) + 1/(√2+√3) + ... + 1/(√99+√100).
Trục từng số hạng
1/(√k+√(k+1))=√(k+1)−√k (vì mẫu bằng (k+1)−k=1)
Rút gọn dây chuyền
S=(√2−√1)+(√3−√2)+...+(√100−√99)=√100−√1=10−1
Kết luận: S = 9
Dạng 4 · Rút gọn căn kép
Tách căn lồng căn thành tổng hai căn đơn giản
Rút gọn biểu thức: A = \sqrt{4+2\sqrt{3}} + \sqrt{4-2\sqrt{3}}.
Tách từng căn kép
m+n=4, mn=3 ⟹ m=1,n=3: \sqrt{4+2\sqrt{3}}=1+√3, \sqrt{4-2\sqrt{3}}=√3−1
Cộng lại
A=(1+√3)+(√3−1)=2√3
Kết luận: A = 2√3
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Căn thức bậc hai · Bài 2
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · CĂN THỨC BẬC HAI
Chủ đề: Căn thức bậc hai
Bài 2/3 · Biểu thức chứa căn với biến số
TỔNG KẾT
Ghi nhớ & luyện tập
Ôn lại toàn bộ kiến thức cốt lõi của Bài 2 — Biểu thức chứa căn với biến số
Bảng công thức cốt lõi
Khái niệm · Công thức / Kí hiệu · Ghi chú
Hằng đẳng thức biến số · x−1=(√x−1)(√x+1) · Cơ sở quy đồng, rút gọn
Trục căn nhiều số hạng · Nhóm rồi nhân liên hợp (lặp lại) · Dùng (a+b)(a−b)=a 2 −b 2
Căn kép · \sqrt{a\pm 2\sqrt{b}}=√m±√n · m+n=a, mn=b
Tổng kính viễn vọng · 1/(√k+√(k+1))=√(k+1)−√k · Rút gọn tổng dây chuyền
3 lỗi sai thường gặp
01
Quên ĐKXĐ khi rút gọn — kết luận biểu thức không đổi mà không nêu điều kiện x≥0, x≠1.
02
Nhân liên hợp sai nhóm — nhóm không đúng cặp số hạng khiến mẫu sau khi nhân vẫn còn chứa căn.
03
Tìm sai m, n trong căn kép — chọn m, n không thỏa đồng thời cả m+n=a và mn=b.
Tiếp theo
Bài 3 · Phương trình vô tỷ & GTLN-GTNN chứa căn
Bài tiếp theo sẽ giải các phương trình chứa căn thức bằng phép bình phương hai vế, kết hợp tìm giá trị lớn nhất — nhỏ nhất của biểu thức chứa căn.
Quét mã để luyện tập thêm
THCS AI LUKATO
Tự động tạo 200+ câu hỏi áp dụng Bài 2 — Căn thức bậc hai. Lời giải tiếng Việt cấp giáo viên chuyên ngay tức thì.
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Căn thức bậc hai · Bài 2
thcs.lukatoai.kr
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.