Số trung bình, trung vị, mốt & biểu đồ · Bài 2/3
Thống kê: số trung bình cộng, trung vị, mốt và cách đọc biểu đồ tần số — Bài 2/3 chủ đề Xác suất & Thống kê lớp 9.
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · XÁC SUẤT & THỐNG KÊ
Chủ đề: Thống kê & Xác suất
Bài 2/3 · Số trung bình, trung vị, mốt & biểu đồ
Chuyên đề · Thống kê & Xác suất
Trung Bình, Trung Vị
Mốt & Biểu Đồ
Nắm ba số đặc trưng đo xu thế trung tâm của một mẫu dữ liệu — số trung bình cộng, trung vị, và mốt — cùng cách đọc biểu đồ tần số.
Thời lượng
45 phút
Độ khó
Trung bình
Dạng bài
4 dạng cốt lõi
Yêu cầu
Bảng tần số (Bài 1)
BÀI 1
Thu thập & bảng tần số
Phân loại dữ liệu · lập và đọc bảng tần số
BÀI 2
Số trung bình, trung vị, mốt
Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
BÀI 3
Xác suất biến cố
Xác suất trong trò chơi ngẫu nhiên đơn giản
Mục tiêu bài học
01
Nắm công thức số trung bình cộng : x̄=\Sigma(x_i\cdot n_i)/N.
02
Biết tìm trung vị M_e của một dãy số liệu (số phần tử lẻ hoặc chẵn).
03
Biết tìm mốt M_0 — giá trị có tần số lớn nhất.
04
Vận dụng tính các số đặc trưng từ bảng tần số và khoảng biến thiên .
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Xác suất & Thống kê · Bài 2
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · XÁC SUẤT & THỐNG KÊ
Chủ đề: Thống kê & Xác suất
Bài 2/3 · Số trung bình, trung vị, mốt & biểu đồ
ĐỊNH NGHĨA
Ba số đặc trưng đo xu thế trung tâm
Trung bình · Trung vị · Mốt
Số trung bình cộng
x̄ = N ∑ x i n i
Số trung bình cộng x̄ là tổng các giá trị nhân với tần số tương ứng, chia cho cỡ mẫu N. Trung vị M_e là giá trị đứng giữa dãy số liệu đã sắp xếp (số phần tử lẻ thì lấy đúng giá trị giữa, số phần tử chẵn thì lấy trung bình cộng của hai giá trị giữa). Mốt M_0 là giá trị có tần số lớn nhất, một mẫu dữ liệu có thể có một, nhiều mốt, hoặc không có mốt.
Loại 1
Số trung bình cộng
x̄=\Sigma(x_i\cdot n_i)/N
Đo giá trị "trung tâm" theo nghĩa cân bằng của toàn bộ dữ liệu.
VD: điểm 6,7,8 tần số 1,2,1 \implies x̄=(6+14+8)/4=7
Loại 2
Trung vị
M_e = giá trị giữa dãy đã sắp xếp
Không bị ảnh hưởng bởi giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ (ngoại lệ) như số trung bình.
VD: dãy 3,5,9 (n=3 lẻ) \implies M_e=5
Loại 3
Mốt
M_0 = giá trị có tần số lớn nhất
Cho biết giá trị xuất hiện phổ biến nhất trong mẫu dữ liệu.
VD: dãy 2,4,4,5,6 \implies M_0=4
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Xác suất & Thống kê · Bài 2
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · XÁC SUẤT & THỐNG KÊ
Chủ đề: Thống kê & Xác suất
Bài 2/3 · Số trung bình, trung vị, mốt & biểu đồ
SỐ ĐẶC TRƯNG
Đọc các số đặc trưng từ biểu đồ tần số
Ví dụ: 12 học sinh, mốt là điểm 7
Quy tắc 01
Công thức trung bình
x̄=\Sigma(x_i\cdot n_i)/N
Nhân mỗi giá trị với tần số, cộng lại, rồi chia cho tổng tần số N.
Quy tắc 02
Trung vị — n lẻ
M_e = giá trị thứ (n+1)/2
Sắp xếp dãy tăng dần rồi lấy đúng giá trị ở vị trí chính giữa.
Quy tắc 03
Trung vị — n chẵn
M_e = TB của 2 giá trị giữa
Lấy trung bình cộng của hai giá trị ở vị trí n/2 và n/2+1.
Quy tắc 04
Mốt
M_0 = giá trị tần số lớn nhất
Trong biểu đồ, mốt là cột cao nhất — trong ví dụ trên là điểm 7 (tần số 4).
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Xác suất & Thống kê · Bài 2
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · XÁC SUẤT & THỐNG KÊ
Chủ đề: Thống kê & Xác suất
Bài 2/3 · Số trung bình, trung vị, mốt & biểu đồ
PHƯƠNG PHÁP
2 phương pháp cốt lõi
Tính trung bình từ bảng tần số · tìm trung vị từ bảng tần số
Phương pháp 1
Tính số trung bình từ bảng tần số
B1
Nhân từng giá trị x_i với tần số n_i tương ứng.
B2
Cộng tất cả các tích x_i·n_i lại.
B3
Chia tổng đó cho cỡ mẫu N (tổng tần số).
B4
Rút gọn phân số kết quả nếu có thể.
Ví dụ minh họa
Bảng tần số điểm kiểm tra của lớp 20 học sinh: điểm 6,7,8,9,10 có tần số lần lượt 3,5,7,4,1. Tính số trung bình điểm của lớp.
Tổng x_i·n_i = 6·3+7·5+8·7+9·4+10·1=155 (nhân và cộng)
x̄=155/20 (chia cho N=20)
Đáp số: x̄ = 4 31 = 7 , 75
Phương pháp 2
Tìm trung vị từ bảng tần số
B1
Xác định cỡ mẫu N và vị trí giữa cần tìm.
B2
Cộng dồn tần số theo thứ tự giá trị tăng dần.
B3
Xác định giá trị nào chứa vị trí giữa dựa vào tần số cộng dồn.
B4
Kết luận trung vị (lấy trung bình nếu hai vị trí giữa rơi vào hai giá trị khác nhau).
Ví dụ minh họa
Cho bảng tần số sau của một mẫu dữ liệu — giá trị 1,2,3,4,5 có tần số lần lượt 3,5,7,4,1. Tìm trung vị của mẫu dữ liệu.
N=20 \implies cần vị trí thứ 10 và 11 (hai giá trị giữa)
Tần số cộng dồn: 3,8,15,19,20 \implies vị trí 10,11 đều rơi vào giá trị 3 (vì 8<10,11\le 15)
Đáp số: M e = 3
Lưu ý
Trung bình cộng dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường (quá lớn hoặc quá nhỏ); khi dữ liệu có ngoại lệ, trung vị thường phản ánh xu thế trung tâm tốt hơn.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Xác suất & Thống kê · Bài 2
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · XÁC SUẤT & THỐNG KÊ
Chủ đề: Thống kê & Xác suất
Bài 2/3 · Số trung bình, trung vị, mốt & biểu đồ
LUYỆN TẬP
4 dạng bài tập cốt lõi
Từ số trung bình đến trung vị, mốt và khoảng biến thiên
Dạng 1 · Số trung bình
Tính điểm trung bình từ bảng tần số
Bảng điểm kiểm tra của một nhóm 12 học sinh: điểm 5,6,7,8,9 có tần số lần lượt 2,3,4,2,1. Tính điểm trung bình cộng của nhóm.
Tổng x_i·n_i
5·2+6·3+7·4+8·2+9·1=81
Chia cho N=12
x̄=81/12
Kết luận: x̄=27/4 (=6,75)
Dạng 2 · Trung vị
Tìm trung vị dãy số lẻ phần tử
Tính trung vị của dãy số liệu sau: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.
Cỡ mẫu
n=7 (lẻ) \implies vị trí giữa là (7+1)/2=4
Giá trị thứ 4
trong dãy đã sắp xếp là 9
Kết luận: M_e=9
Dạng 3 · Mốt
Tìm mốt của dãy số liệu
Tính mốt của dãy số liệu sau: 2, 3, 5, 5, 7, 7, 7, 9, 9.
Đếm tần số
2→1, 3→1, 5→2, 7→3, 9→2
Tần số lớn nhất
bằng 3, ứng với giá trị 7
Kết luận: M_0=7
Dạng 4 · Khoảng biến thiên
Tính khoảng biến thiên của dãy số liệu
Tính khoảng biến thiên của dãy số liệu sau: 12, 8, 15, 20, 5, 18.
Giá trị lớn nhất
x_max=20
Giá trị nhỏ nhất
x_min=5 \implies R=20-5
Kết luận: R=15
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Xác suất & Thống kê · Bài 2
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · XÁC SUẤT & THỐNG KÊ
Chủ đề: Thống kê & Xác suất
Bài 2/3 · Số trung bình, trung vị, mốt & biểu đồ
TỔNG KẾT
Ghi nhớ & luyện tập
Ôn lại toàn bộ kiến thức cốt lõi của Bài 2 — Số đặc trưng
Bảng công thức cốt lõi
Số đặc trưng · Công thức · Ghi chú
Trung bình · x̄=\Sigma(x_i\cdot n_i)/N · Nhân, cộng, rồi chia cho N
Trung vị · M_e = giá trị giữa · Dãy đã sắp xếp tăng dần
Mốt · M_0 = tần số lớn nhất · Có thể có nhiều mốt
Khoảng biến thiên · R=x_max-x_min · Đo độ phân tán dữ liệu
3 lỗi sai thường gặp
01
Quên sắp xếp dãy số trước khi tìm trung vị — trung vị chỉ đúng khi dãy đã được sắp xếp tăng dần.
02
Nhầm công thức trung vị chẵn/lẻ — dãy chẵn phần tử phải lấy trung bình cộng của hai giá trị giữa, không phải một giá trị.
03
Nhầm mốt với trung bình — mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất, không phải giá trị "ở giữa" hay "trung bình" của dữ liệu.
Tiếp theo
Bài 3 · Xác suất biến cố
Bài tiếp theo sẽ vận dụng kiến thức đếm để tính xác suất của biến cố trong các trò chơi ngẫu nhiên đơn giản.
Quét mã để luyện tập thêm
THCS AI LUKATO
Tự động tạo 200+ câu hỏi áp dụng Bài 2 — Số đặc trưng. Lời giải tiếng Việt cấp giáo viên chuyên ngay tức thì.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Xác suất & Thống kê · Bài 2
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.