Ứng dụng đồng dạng: hệ thức lượng & đường phân giác · Bài 3/3
Toán 9 · Tam giác đồng dạng · Bài 3/3: hệ thức lượng trong tam giác vuông và tính chất đường phân giác.
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Chủ đề: Ta-lét & Tam giác đồng dạng
Bài 3/3 · Ứng dụng đồng dạng: hệ thức lượng & đường phân giác
Chuyên đề · Tam giác đồng dạng
Ứng Dụng Đồng Dạng
Hệ Thức Lượng & Phân Giác
Vận dụng tam giác đồng dạng để suy ra các hệ thức lượng trong tam giác vuông có đường cao, và tính chất đường phân giác trong của một tam giác.
Thời lượng
45 phút
Độ khó
Trung bình
Dạng bài
4 dạng cốt lõi
Yêu cầu
Ta-lét, tam giác đồng dạng, tỉ số đồng dạng
BÀI 1
Ta-lét & đồng dạng cơ bản
Định lý Ta-lét · hệ quả · tam giác đồng dạng
BÀI 2
Tỉ số đồng dạng
Tỉ số cạnh, chu vi và diện tích
BÀI 3
Ứng dụng đồng dạng
Hệ thức lượng tam giác vuông · đường phân giác
P3
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Đường cao ứng với cạnh huyền
P4
2 phương pháp giải
Tính đường cao · tính đoạn phân giác
P5
4 dạng bài tập
Đường cao · hình chiếu · phân giác · tổng hợp
Mục tiêu bài học
01
Nắm hệ thức đường cao : AH^{2}=BH\cdot CH trong tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền.
02
Nắm hệ thức cạnh góc vuông : AB^{2}=BH\cdot BC và AC^{2}=CH\cdot BC.
03
Nắm tính chất đường phân giác trong : BD/DC=AB/AC.
04
Vận dụng tính đường cao, hình chiếu, đoạn phân giác trong các bài toán tổng hợp.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Tam giác đồng dạng · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Chủ đề: Ta-lét & Tam giác đồng dạng
Bài 3/3 · Ứng dụng đồng dạng: hệ thức lượng & đường phân giác
ĐỊNH NGHĨA
Hệ thức lượng trong tam giác vuông & đường phân giác
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH
Hệ thức đường cao & phân giác
A H 2 = B H ⋅ C H
A B 2 = B H ⋅ BC , A C 2 = C H ⋅ BC
D C B D = A C A B
Khi kẻ đường cao AH từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC, ba tam giác ABC, HBA, HAC đồng dạng với nhau từng đôi một. Từ các cặp tam giác đồng dạng này suy ra các hệ thức lượng. Đường phân giác trong của góc A chia cạnh đối diện BC theo đúng tỉ số hai cạnh kề: BD/DC=AB/AC.
Loại 1
Hệ thức đường cao
AH^{2}=BH\cdot CH
Bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền.
VD: BH=4, CH=9 \implies AH=6
Loại 2
Hệ thức cạnh góc vuông
AB^{2}=BH\cdot BC, AC^{2}=CH\cdot BC
Bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với hình chiếu của cạnh đó lên cạnh huyền.
VD: AB=3, AC=4, BC=5 \implies BH=9/5
Loại 3
Tính chất đường phân giác
BD/DC=AB/AC
Đường phân giác trong góc A chia BC thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề AB, AC.
VD: AB=6, AC=9 \implies BD/DC=2/3
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Tam giác đồng dạng · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Chủ đề: Ta-lét & Tam giác đồng dạng
Bài 3/3 · Ứng dụng đồng dạng: hệ thức lượng & đường phân giác
HỆ THỨC LƯỢNG
Đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông
Ví dụ: AB=6, AC=8 \implies AH=4,8
Quy tắc 01
Hình chiếu cộng lại bằng cạnh huyền
BH+CH=BC
Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai hình chiếu BH và CH của hai cạnh góc vuông.
Quy tắc 02
Hệ thức đường cao
AH^{2}=BH\cdot CH
Suy ra từ tam giác HBA đồng dạng tam giác HAC (hai tam giác vuông có góc nhọn bằng nhau).
Quy tắc 03
Hệ thức cạnh góc vuông
AB^{2}=BH\cdot BC, AC^{2}=CH\cdot BC
Suy ra từ tam giác ABH đồng dạng tam giác CBA (và tam giác ACH đồng dạng tam giác BCA).
Quy tắc 04
Hệ thức nghịch đảo
1/AH^{2}=1/AB^{2}+1/AC^{2}
Suy ra từ AH·BC=AB·AC (diện tích tam giác ABC tính theo hai cách khác nhau).
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Tam giác đồng dạng · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Chủ đề: Ta-lét & Tam giác đồng dạng
Bài 3/3 · Ứng dụng đồng dạng: hệ thức lượng & đường phân giác
PHƯƠNG PHÁP
2 phương pháp cốt lõi
Tính đường cao từ hai cạnh góc vuông · tính đoạn phân giác
Phương pháp 1
Tính đường cao AH từ AB, AC
B1
Tính cạnh huyền BC bằng định lý Pythagore: BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}.
B2
Áp dụng : AH·BC=AB·AC (diện tích tam giác vuông tính theo hai cách).
B3
Suy ra AH=AB·AC/BC.
B4
Thay số và rút gọn phân số kết quả.
Ví dụ minh họa
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=6cm, AC=8cm. Kẻ đường cao AH vuông góc với BC tại H. Tính độ dài đường cao AH.
BC = A B 2 + A C 2 = 6 2 + 8 2 = 10 (định lý Pythagore)
A H = BC A B ⋅ A C = 10 6 ⋅ 8 (diện tích hai cách)
Đáp số: A H = 5 24 cm = 4 , 8 cm
Phương pháp 2
Tính đoạn phân giác BD, DC
B1
Lập tỉ số BD/DC=AB/AC theo tính chất đường phân giác.
B2
Rút gọn tỉ số về dạng phân số tối giản.
B3
Dùng BD+DC=BC để tách BC theo đúng tỉ lệ vừa tìm.
B4
Tính từng đoạn BD, DC cụ thể.
Ví dụ minh họa
Cho tam giác ABC có AB=6cm, AC=9cm, BC=10cm. Đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D. Tính độ dài đoạn thẳng BD.
D C B D = A C A B = 9 6 = 3 2 (tính chất phân giác)
B D = 2 + 3 2 ⋅ BC = 5 2 ⋅ 10 (tách theo tỉ lệ)
Đáp số: B D = 4 cm
Lưu ý
Hệ thức lượng chỉ áp dụng khi AH là đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông; tính chất phân giác áp dụng cho phân giác trong , chia cạnh đối diện theo đúng tỉ số hai cạnh kề.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Tam giác đồng dạng · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Chủ đề: Ta-lét & Tam giác đồng dạng
Bài 3/3 · Ứng dụng đồng dạng: hệ thức lượng & đường phân giác
LUYỆN TẬP
4 dạng bài tập cốt lõi
Từ hệ thức đường cao đến tính chất đường phân giác
Dạng 1 · Hệ thức đường cao
Tính đường cao từ hai hình chiếu
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH với H thuộc BC. Biết BH=4cm và CH=9cm. Tính độ dài đường cao AH.
Hệ thức đường cao
AH^{2}=BH\cdot CH=4\cdot 9=36
Lấy căn bậc hai
AH=\sqrt{36}
Kết luận: AH=6cm
Dạng 2 · Hệ thức cạnh góc vuông
Tính hình chiếu từ hai cạnh góc vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=3cm, AC=4cm. Đường cao AH kẻ từ A xuống cạnh BC (H thuộc BC). Tính độ dài đoạn BH.
Cạnh huyền
BC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5cm
Hệ thức cạnh góc vuông
BH=AB^{2}/BC=9/5
Kết luận: BH=9/5cm
Dạng 3 · Suy ngược hình chiếu
Tính hình chiếu còn lại từ đường cao
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (với H thuộc BC). Biết AH=12cm và BH=9cm. Tính độ dài đoạn CH.
Hệ thức đường cao
AH^{2}=BH\cdot CH
Suy ra CH
CH=AH^{2}/BH=144/9
Kết luận: CH=16cm
Dạng 4 · Tổng hợp phân giác
Tính đoạn phân giác từ ba cạnh tam giác
Cho tam giác ABC có AB=8cm, AC=12cm, BC=15cm. Đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D. Tính độ dài đoạn DC.
Tính chất phân giác
BD/DC=AB/AC=8/12=2/3
Tách theo tỉ lệ
DC=3/5·BC=3/5·15
Kết luận: DC=9cm
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Tam giác đồng dạng · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Chủ đề: Ta-lét & Tam giác đồng dạng
Bài 3/3 · Ứng dụng đồng dạng: hệ thức lượng & đường phân giác
TỔNG KẾT
Ghi nhớ & luyện tập
Ôn lại toàn bộ kiến thức cốt lõi của Bài 3 — Ứng dụng đồng dạng
Bảng công thức cốt lõi
Hệ thức · Công thức · Ghi chú
Đường cao · AH^{2}=BH\cdot CH · H là chân đường cao trên BC
Cạnh góc vuông · AB^{2}=BH\cdot BC, AC^{2}=CH\cdot BC · Theo hình chiếu tương ứng
Nghịch đảo · 1/AH^{2}=1/AB^{2}+1/AC^{2} · Từ AH·BC=AB·AC
Phân giác trong · BD/DC=AB/AC · D là chân phân giác từ A
3 lỗi sai thường gặp
01
Nhầm đường cao với cạnh góc vuông — hệ thức AH^{2}=BH\cdot CH chỉ đúng cho đường cao ứng với cạnh huyền.
02
Nhầm chiều tỉ số phân giác — BD tương ứng với AB, DC tương ứng với AC, không được đảo ngược.
03
Quên kiểm tra BH+CH=BC hoặc BD+DC=BC để đối chiếu kết quả tính được.
Hoàn thành
Chuyên đề Tam giác đồng dạng
Bạn đã hoàn thành trọn bộ 3 bài về Ta-lét và tam giác đồng dạng — từ định lý cơ bản, tỉ số đồng dạng, đến các ứng dụng hệ thức lượng và đường phân giác.
Quét mã để luyện tập thêm
THCS AI LUKATO
Tự động tạo 200+ câu hỏi áp dụng Bài 3 — Ứng dụng đồng dạng. Lời giải tiếng Việt cấp giáo viên chuyên ngay tức thì.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Tam giác đồng dạng · Bài 3