Hệ thức Vi-ét và ứng dụng · Bài 3/3
Định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai: tổng-tích nghiệm, biểu thức đối xứng của nghiệm, xét dấu nghiệm theo S và P, tìm tham số m thỏa điều kiện cho trước.
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chủ đề: Phương trình & Hệ phương trình
Bài 3/3 · Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Chuyên đề · Phương trình & Hệ phương trình
Hệ Thức Vi-ét
Và Ứng Dụng
Khai thác định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai một ẩn: tính nhanh tổng-tích nghiệm, biểu thức đối xứng của nghiệm, xét dấu nghiệm và tìm tham số theo điều kiện cho trước — không cần giải trực tiếp phương trình.
Thời lượng
45 phút
Độ khó
Trung bình - Khá
Dạng bài
4 dạng cốt lõi
Yêu cầu
Phương trình bậc hai một ẩn
BÀI 1
Phương pháp giải hệ phương trình
Phương pháp thế · phương pháp cộng đại số
BÀI 2
Hệ đối xứng & phương trình quy về bậc hai
Kỹ thuật đặt ẩn phụ, phương trình chứa căn/trị tuyệt đối
BÀI 3
Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Tổng-tích nghiệm, biểu thức đối xứng, tìm tham số
Mục tiêu bài học
01
Nắm vững định lí Vi-ét : S = x_{1}+x_{2} = -b/a, P = x_{1}x_{2} = c/a.
02
Tính nhanh các biểu thức đối xứng của nghiệm qua S, P.
03
Xét dấu hai nghiệm dựa vào dấu của S và P.
04
Tìm tham số m để nghiệm thỏa điều kiện cho trước .
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ phương trình · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chủ đề: Phương trình & Hệ phương trình
Bài 3/3 · Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
ĐỊNH NGHĨA
Định lí Vi-ét
S = x_{1}+x_{2} = -b/a · P = x_{1}x_{2} = c/a
Dạng tổng quát
S = x_{1}+x_{2} = -b/a · P = x_{1}x_{2} = c/a
Nếu phương trình bậc hai ax^{2}+bx+c=0 (a\neq 0) có hai nghiệm x_{1}, x_{2} (kể cả nghiệm kép) thì tổng và tích hai nghiệm luôn tính được trực tiếp từ các hệ số a, b, c mà không cần giải phương trình. Đây là công cụ mạnh để tính giá trị biểu thức của nghiệm và tìm tham số.
Loại 1
Tổng và tích nghiệm
S = -b/a · P = c/a
Áp dụng được ngay khi phương trình có nghiệm (\Delta\ge 0), không cần biết giá trị cụ thể của x_{1}, x_{2}.
VD: x^{2}-7x+10=0 \implies S=7, P=10
Loại 2
Biểu thức đối xứng qua S, P
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=S^{2}-2P · x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=S^{3}-3PS
Mọi biểu thức không đổi khi hoán đổi x_{1}, x_{2} đều biến đổi được về S và P.
VD: S=2, P=-5 \implies x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=8-3(-5)(2)=38
Loại 3
Vi-ét đảo
u+v=S, uv=P \implies; u, v là nghiệm t^{2}-St+P=0
Ngược lại, nếu biết tổng và tích của hai số, ta tìm lại hai số đó bằng cách giải phương trình bậc hai ẩn t.
VD: S=5, P=6 \implies t^{2}-5t+6=0 \implies hai số là 2 và 3
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ phương trình · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chủ đề: Phương trình & Hệ phương trình
Bài 3/3 · Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
XÉT DẤU NGHIỆM
4 quy tắc xét dấu hai nghiệm theo S, P
P<0: trái dấu · P>0: cùng dấu theo S
Quy tắc 01
P < 0 — hai nghiệm trái dấu
x_{1}x_{2} = P < 0
Tích hai nghiệm âm nghĩa là một nghiệm dương, một nghiệm âm.
Quy tắc 02
P > 0 và S > 0 — hai nghiệm dương
x_{1}x_{2} > 0, x_{1}+x_{2} > 0
Tích dương nên cùng dấu; tổng dương nên cả hai đều dương.
Quy tắc 03
P > 0 và S < 0 — hai nghiệm âm
x_{1}x_{2} > 0, x_{1}+x_{2} < 0
Tích dương nên cùng dấu; tổng âm nên cả hai đều âm.
Quy tắc 04
\Delta = 0 — nghiệm kép
x_{1} = x_{2} = -b/2a
Hai nghiệm trùng nhau, vẫn thỏa mãn S = -b/a và P = c/a như bình thường.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ phương trình · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chủ đề: Phương trình & Hệ phương trình
Bài 3/3 · Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
PHƯƠNG PHÁP
2 phương pháp cốt lõi
Tính biểu thức đối xứng · Tìm tham số theo điều kiện
Phương pháp 1
Tính biểu thức đối xứng của nghiệm
B1
Tính S = -b/a và P = c/a.
B2
Biến đổi biểu thức cần tính về dạng chứa S, P.
B3
Thay số S, P vào biểu thức đã biến đổi.
B4
Kết luận giá trị — không cần giải phương trình.
Ví dụ minh họa
Cho x^{2}-2x-5=0 có hai nghiệm x_{1}, x_{2}. Tính A = x_{1}^{3}+x_{2}^{3}.
S=2, P=-5 (theo Vi-ét)
A=S^{3}-3PS=2^{3}-3(-5)(2)=8+30=38 (thay số)
Đáp số: A = 38
Phương pháp 2
Tìm tham số theo điều kiện cho trước
B1
Đặt điều kiện \Delta\ge 0 để phương trình có nghiệm.
B2
Tính S, P theo tham số m.
B3
Thay S, P vào điều kiện đề bài, giải phương trình ẩn m.
B4
Đối chiếu nghiệm m vừa tìm với điều kiện \Delta\ge 0 ở B1.
Ví dụ minh họa
Tìm m để x^{2}-3x+m=0 có hai nghiệm x_{1}, x_{2} thỏa x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=5.
S=3, P=m \implies S^{2}-2P=9-2m=5 (theo điều kiện đề bài)
2m=4 \implies m=2; kiểm tra \Delta=9-4m=1\ge 0 (nhận)
Đáp số: m = 2
Lưu ý
Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình đã có nghiệm (\Delta\ge 0) — luôn kiểm tra điều kiện này trước và đối chiếu lại sau khi tìm được tham số.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ phương trình · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chủ đề: Phương trình & Hệ phương trình
Bài 3/3 · Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
LUYỆN TẬP
4 dạng bài tập cốt lõi
Từ tổng-tích nghiệm đến tìm tham số theo điều kiện
Dạng 1 · Tổng nghiệm
Tính tổng hai nghiệm không cần giải phương trình
Cho phương trình x^{2} - 7x + 10 = 0 có hai nghiệm x_{1}, x_{2}. Tính S = x_{1} + x_{2}.
Áp dụng Vi-ét
S = -b/a = -(-7)/1 = 7
Kết luận: S = 7
Dạng 2 · Biểu thức bậc 2
Tính bình phương hiệu hai nghiệm
Cho phương trình x^{2} - 5x - 2 = 0 có hai nghiệm x_{1}, x_{2}. Tính A = (x_{1} - x_{2})^{2}.
Tính S, P
S=5, P=-2
Thay vào công thức
A=S^{2}-4P=25-4(-2)=25+8=33
Kết luận: A = 33
Dạng 3 · Biểu thức phân thức
Tính tổng nghịch đảo hai nghiệm
Cho phương trình 2x^{2} - 3x - 4 = 0 có hai nghiệm x_{1}, x_{2}. Tính B = 1/x_{1} + 1/x_{2}.
Tính S, P
S=3/2, P=-2
Thay vào công thức
B=(x_{1}+x_{2})/(x_{1}x_{2})=S/P=(3/2)/(-2)=-3/4
Kết luận: B = -3/4
Dạng 4 · Tìm tham số
Tìm m theo tỉ lệ giữa hai nghiệm
Cho phương trình x^{2} - mx + 6 = 0 có hai nghiệm x_{1}, x_{2} thỏa x_{1} = 2x_{2}. Tính m^{2}.
Thế x_{1}=2x_{2} vào S, P
S=3x_{2}=m \implies x_{2}=m/3; P=2x_{2}^{2}=6
Giải m^{2}
2(m/3)^{2}=6 \implies m^{2}=27
Kết luận: m^{2} = 27
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ phương trình · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chủ đề: Phương trình & Hệ phương trình
Bài 3/3 · Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
TỔNG KẾT
Ghi nhớ & luyện tập
Ôn lại toàn bộ kiến thức cốt lõi của Bài 3 — Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Bảng công thức cốt lõi
Khái niệm · Công thức / Kí hiệu · Ghi chú
Định lí Vi-ét · S=x_{1}+x_{2}=-b/a, P=x_{1}x_{2}=c/a · Cần \Delta\ge 0
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} theo S,P · S^{2}-2P · Biểu thức đối xứng bậc 2
x_{1}^{3}+x_{2}^{3} theo S,P · S^{3}-3PS · Biểu thức đối xứng bậc 3
Dấu nghiệm · P<0: trái dấu · P>0: cùng dấu theo S · Xét dấu không cần giải PT
3 lỗi sai thường gặp
01
Quên điều kiện \Delta\ge 0 — áp dụng Vi-ét khi phương trình chưa chắc có nghiệm, dẫn đến kết quả vô nghĩa.
02
Nhầm dấu khi tính S — quên dấu trừ trong công thức S=-b/a.
03
Nhầm công thức biến đổi — lẫn lộn giữa S^{2}-2P, S^{2}-4P và S^{3}-3PS khi tính các biểu thức đối xứng khác nhau.
Hoàn thành chuyên đề
Tiếp theo · Chuyên đề Căn thức bậc hai
Bạn đã hoàn thành trọn vẹn 3 bài về Hệ phương trình. Chuyên đề tiếp theo sẽ đi sâu vào rút gọn và biến đổi các biểu thức chứa căn thức bậc hai.
Quét mã để luyện tập thêm
THCS AI LUKATO
Tự động tạo 200+ câu hỏi áp dụng Bài 3 — Hệ thức Vi-ét và ứng dụng. Lời giải tiếng Việt cấp giáo viên chuyên ngay tức thì.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ phương trình · Bài 3
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.