Hệ thức về cạnh và đường cao · Bài 1/3
Hệ thức hình chiếu, hệ thức đường cao, hệ thức tích và hệ thức nghịch đảo bình phương trong tam giác vuông.
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ THỨC LƯỢNG
Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 1/3 · Hệ thức về cạnh và đường cao
Chuyên đề · Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Hệ Thức Về Cạnh
Và Đường Cao
Nắm vững 4 hệ thức cốt lõi trong tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền: hệ thức hình chiếu, hệ thức đường cao, hệ thức tích và hệ thức nghịch đảo bình phương — nền tảng để giải mọi bài toán về cạnh, đường cao, hình chiếu.
Thời lượng
45 phút
Độ khó
Cơ bản - Trung bình
Dạng bài
4 dạng cốt lõi
Yêu cầu
Định lý Pythagore, tam giác đồng dạng
BÀI 1
Hệ thức về cạnh và đường cao
b^{2}=ab', c^{2}=ac', h^{2}=b'c', ah=bc, 1/h^{2}=1/b^{2}+1/c^{2}
BÀI 2
Tỉ số lượng giác của góc nhọn
sin, cos, tan, cot và tỉ số góc phụ nhau
BÀI 3
Ứng dụng thực tế · Giải tam giác & đo đạc
Giải tam giác, đo chiều cao, khoảng cách
Mục tiêu bài học
01
Áp dụng hệ thức hình chiếu b^{2}=ab', c^{2}=ac' để tính cạnh góc vuông.
02
Áp dụng hệ thức đường cao h^{2}=b'c' để tính đường cao hoặc hình chiếu.
03
Áp dụng hệ thức tích ah=bc và hệ thức nghịch đảo 1/h^{2}=1/b^{2}+1/c^{2}.
04
Giải các bài toán tổng hợp về chu vi, diện tích, tỉ số liên quan đến đường cao.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ thức lượng · Bài 1
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ THỨC LƯỢNG
Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 1/3 · Hệ thức về cạnh và đường cao
ĐỊNH NGHĨA
3 nhóm hệ thức lượng trong tam giác vuông
Hệ thức hình chiếu · Hệ thức đường cao · Hệ thức tích
Thiết lập bài toán
△ABC vuông tại A, đường cao AH (H∈BC), BC=a, AB=c, AC=b, BH=c', CH=b', AH=h
Khi kẻ đường cao AH ứng với cạnh huyền BC trong tam giác vuông ABC, ba tam giác ABC, HBA, HAC đồng dạng với nhau từng đôi một. Từ các cặp tam giác đồng dạng này suy ra toàn bộ hệ thức lượng giữa cạnh, đường cao và hình chiếu.
Loại 1
Hệ thức hình chiếu
b^{2} = a·b' · c^{2} = a·c'
Bình phương một cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với hình chiếu của cạnh đó lên cạnh huyền.
VD: AB^{2}=BH·BC
Loại 2
Hệ thức đường cao
h^{2} = b'·c'
Bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền.
VD: AH^{2}=BH·CH
Loại 3
Hệ thức tích & nghịch đảo
a·h = b·c · 1/h^{2} = 1/b^{2} + 1/c^{2}
Tích cạnh huyền với đường cao bằng tích hai cạnh góc vuông (từ công thức diện tích); nghịch đảo bình phương đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông.
VD: BC·AH=AB·AC
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ thức lượng · Bài 1
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ THỨC LƯỢNG
Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 1/3 · Hệ thức về cạnh và đường cao
4 HỆ THỨC CƠ BẢN
Toàn bộ hệ thức lượng trong tam giác vuông
4 hệ thức cốt lõi cần ghi nhớ
Hệ thức 01
Hình chiếu
b^{2}=ab', c^{2}=ac'
Dùng khi biết cạnh huyền và một hình chiếu, hoặc biết một cạnh góc vuông và cạnh huyền.
Hệ thức 02
Đường cao
h^{2}=b'c'
Dùng khi biết hai hình chiếu, hoặc biết đường cao và một hình chiếu.
Hệ thức 03
Tích hai cạnh góc vuông
ah=bc
Suy ra từ hai cách tính diện tích tam giác vuông: S=½ah=½bc.
Hệ thức 04
Nghịch đảo bình phương
1/h^{2}=1/b^{2}+1/c^{2}
Dùng khi biết hai cạnh góc vuông và cần tính đường cao, hoặc ngược lại.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ thức lượng · Bài 1
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ THỨC LƯỢNG
Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 1/3 · Hệ thức về cạnh và đường cao
PHƯƠNG PHÁP
2 phương pháp cốt lõi
Tìm cạnh từ hình chiếu · Tìm cạnh huyền từ tổng hai cạnh góc vuông
Phương pháp 1
Tìm cạnh góc vuông khi biết đường cao và hình chiếu
B1
Xác định đường cao AH và hình chiếu BH đã cho.
B2
Áp dụng hệ thức đường cao AH^{2}=BH·CH để tìm CH.
B3
Tính BC=BH+CH.
B4
Áp dụng hệ thức hình chiếu AB^{2}=BH·BC để tìm AB.
Ví dụ minh họa
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH=6cm, BH=4cm. Tính AB.
AH^{2}=BH·CH ⟹ 36=4·CH ⟹ CH=9 (hệ thức đường cao)
BC=BH+CH=13 ⟹ AB^{2}=BH·BC=4·13=52 ⟹ AB=2√13 (hệ thức hình chiếu)
Đáp số: AB = 2√13 cm
Phương pháp 2
Tìm cạnh huyền khi biết tổng hai cạnh góc vuông và đường cao
B1
Đặt AB·AC=x, dùng hệ thức tích BC·AH=AB·AC ⟹ BC=x/AH.
B2
Biểu diễn BC^{2} theo (AB+AC)^{2} và x: BC^{2}=(AB+AC)^{2}−2x.
B3
Thay BC=x/AH vào để có phương trình bậc hai theo x.
B4
Giải phương trình, chọn nghiệm dương, suy ra BC.
Ví dụ minh họa
Tam giác ABC vuông tại A, AB+AC=14cm, đường cao AH=24/5cm. Tính BC.
Đặt x=AB·AC. BC=x/AH=5x/24; BC^{2}=196−2x (hệ thức tích)
25x^{2}/576=196−2x ⟹ 25x^{2}+1152x−112896=0 ⟹ x=48 ⟹ BC=5·48/24=10 (giải phương trình)
Đáp số: BC = 10 cm
Lưu ý
Luôn xác định rõ cạnh huyền, cạnh góc vuông, hình chiếu tương ứng trước khi áp dụng hệ thức — nhầm vai trò các cạnh là lỗi phổ biến nhất.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ thức lượng · Bài 1
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ THỨC LƯỢNG
Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 1/3 · Hệ thức về cạnh và đường cao
LUYỆN TẬP
4 dạng bài tập cốt lõi
Từ chu vi, biểu thức tổng hợp đến ứng dụng đo đạc
Dạng 1 · Tính chu vi tam giác nhỏ
Tính chu vi tam giác tạo bởi đường cao
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH=4cm, BC=13cm. Tính chu vi tam giác ABH.
Tính AB, AH
CH=13−4=9; AB^{2}=BH·BC=52⟹AB=2√13; AH^{2}=BH·CH=36⟹AH=6
Tính chu vi
Chu vi ABH=AB+BH+AH=2√13+4+6=10+2√13
Kết luận: Chu vi = 10+2√13 cm
Dạng 2 · Biểu thức tổng hợp
Tính giá trị biểu thức chứa nhiều cạnh
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BC=10cm, AH=4cm. Tính T=AB^{2}+AC^{2}+AH^{2}.
Áp dụng Pythagore
AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}=100
Cộng AH^{2}
T=100+4^{2}=100+16=116
Kết luận: T = 116
Dạng 3 · Tỉ số hình chiếu
Tính tỉ số hai hình chiếu theo tỉ số hai cạnh góc vuông
Tam giác ABC vuông tại A, AB=a, AC=2a, đường cao AH. Tính tỉ số BH/CH.
Biểu diễn hình chiếu
BH=AB^{2}/BC, CH=AC^{2}/BC (hệ thức hình chiếu)
Lập tỉ số
BH/CH=AB^{2}/AC^{2}=a^{2}/(2a)^{2}=1/4
Kết luận: BH/CH = 1/4
Dạng 4 · Ứng dụng đo đạc
Áp dụng hệ thức lượng vào bài toán thực tế
Một cái thang dài 5m dựa vào tường, chân thang cách chân tường 3m. Hỏi đỉnh thang cao bao nhiêu?
Nhận diện tam giác vuông
Thang, tường, mặt đất tạo tam giác vuông tại chân tường
Áp dụng Pythagore
h=√(5^{2}−3^{2})=√16=4
Kết luận: h = 4 m
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ thức lượng · Bài 1
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ THỨC LƯỢNG
Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 1/3 · Hệ thức về cạnh và đường cao
TỔNG KẾT
Ghi nhớ & luyện tập
Ôn lại toàn bộ kiến thức cốt lõi của Bài 1 — Hệ thức về cạnh và đường cao
Bảng công thức cốt lõi
Khái niệm · Công thức · Ghi chú
Hệ thức hình chiếu · b^{2}=ab', c^{2}=ac' · a=cạnh huyền, b',c'=hình chiếu
Hệ thức đường cao · h^{2}=b'c' · Tích hai hình chiếu
Hệ thức tích · ah=bc · Từ công thức diện tích
Hệ thức nghịch đảo · 1/h^{2}=1/b^{2}+1/c^{2} · Liên hệ đường cao & 2 cạnh góc vuông
3 lỗi sai thường gặp
01
Nhầm hình chiếu tương ứng — gán sai b' cho c hoặc c' cho b, dẫn đến hệ thức sai.
02
Quên cộng hai hình chiếu — không dùng BC=BH+CH khi cần tính cạnh huyền.
03
Nhầm hệ thức đường cao với hệ thức tích — dùng h^{2}=b'c' thay vì ah=bc hoặc ngược lại.
Tiếp theo
Bài 2 · Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Bài tiếp theo sẽ định nghĩa sin, cos, tan, cot của góc nhọn trong tam giác vuông và các hệ thức liên hệ giữa tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.
Quét mã để luyện tập thêm
THCS AI LUKATO
Tự động tạo 200+ câu hỏi áp dụng Bài 1 — Hệ thức lượng. Lời giải tiếng Việt cấp giáo viên chuyên ngay tức thì.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ thức lượng · Bài 1
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.