Ứng dụng thực tế · Giải tam giác & đo đạc · Bài 3/3
Đo chiều cao, khoảng cách bằng tỉ số lượng giác; định lý cosin, định lý sin và công thức trung tuyến cho tam giác thường.
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ THỨC LƯỢNG
Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 3/3 · Ứng dụng thực tế · Giải tam giác & đo đạc
Chuyên đề · Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Ứng Dụng Thực Tế
Giải Tam Giác & Đo Đạc
Vận dụng hệ thức lượng và tỉ số lượng giác để giải các bài toán đo chiều cao, khoảng cách trong thực tế, đồng thời mở rộng sang định lý cosin, định lý sin và công thức trung tuyến để giải tam giác thường.
Thời lượng
45 phút
Độ khó
Trung bình - Nâng cao
Dạng bài
4 dạng cốt lõi
Yêu cầu
Đã học Bài 1, Bài 2 · Hệ thức lượng & tỉ số lượng giác
BÀI 1
Hệ thức về cạnh và đường cao
b^{2}=ab', c^{2}=ac', h^{2}=b'c', ah=bc, 1/h^{2}=1/b^{2}+1/c^{2}
BÀI 2
Tỉ số lượng giác của góc nhọn
sin, cos, tan, cot và tỉ số góc phụ nhau
BÀI 3
Ứng dụng thực tế · Giải tam giác & đo đạc
Giải tam giác, đo chiều cao, khoảng cách
Mục tiêu bài học
01
Giải bài toán đo chiều cao, khoảng cách bằng tỉ số lượng giác.
02
Áp dụng định lý cosin a^{2}=b^{2}+c^{2}−2bc·cosA cho tam giác thường.
03
Áp dụng định lý sin a/sinA=b/sinB=c/sinC để tìm cạnh, góc còn lại.
04
Sử dụng công thức trung tuyến để tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ thức lượng · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ THỨC LƯỢNG
Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 3/3 · Ứng dụng thực tế · Giải tam giác & đo đạc
ĐỊNH NGHĨA
3 nhóm công cụ giải tam giác trong thực tế
Đo đạc thực tế · Định lý cosin · Định lý sin
Mở rộng bài toán
Tam giác vuông: dùng sin, cos, tan · Tam giác thường: dùng định lý cosin, định lý sin
Với tam giác vuông, tỉ số lượng giác (Bài 2) đủ để giải mọi bài toán đo đạc. Với tam giác thường (không có góc vuông), cần thêm định lý cosin và định lý sin — hai công cụ tổng quát liên hệ cạnh và góc trong bất kỳ tam giác nào.
Loại 1
Đo chiều cao, khoảng cách bằng tỉ số lượng giác
tanα = đối/kề
Trong tam giác vuông tạo bởi vật thể, mặt đất và tia nhìn, biết một cạnh và góc nhìn α, suy ra cạnh còn lại.
VD: Cột cao 12m, cách chân cột 5m ⟹ tanα=12/5
Loại 2
Định lý cosin trong tam giác thường
a^{2} = b^{2} + c^{2} − 2bc·cosA
Dùng khi biết hai cạnh và góc xen giữa (hoặc biết ba cạnh) để tìm cạnh (hoặc góc) còn lại.
VD: AB=7, AC=8, ∠A=60° ⟹ BC=√57
Loại 3
Định lý sin trong tam giác thường
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
Dùng khi biết hai góc và một cạnh (hoặc một góc, một cạnh đối và cạnh cần tìm) để tìm cạnh còn lại.
VD: ∠B=45°, ∠C=60°, BC=10 ⟹ AC=10(√3−1)
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ thức lượng · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ THỨC LƯỢNG
Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 3/3 · Ứng dụng thực tế · Giải tam giác & đo đạc
4 CÔNG CỤ GIẢI TAM GIÁC
Từ tam giác vuông đến tam giác thường
4 công cụ cốt lõi cần ghi nhớ
Công cụ 01
Tỉ số lượng giác (tam giác vuông)
sinα=đối/huyền, tanα=đối/kề
Dùng cho mọi bài toán đo đạc tạo được tam giác vuông (cột, cây, tòa nhà, khoảng cách).
Công cụ 02
Định lý Pythagore
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}
Dùng khi tam giác vuông và đã biết hai cạnh, cần tìm cạnh thứ ba.
Công cụ 03
Định lý cosin (tam giác thường)
a^{2}=b^{2}+c^{2}−2bc·cosA
Dùng khi biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc biết đủ ba cạnh để tìm một góc.
Công cụ 04
Định lý sin & công thức trung tuyến
a/sinA=b/sinB=c/sinC · m_a^{2}=(2b^{2}+2c^{2}−a^{2})/4
Định lý sin dùng khi biết hai góc và một cạnh; công thức trung tuyến dùng khi cần tính đoạn nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ thức lượng · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ THỨC LƯỢNG
Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 3/3 · Ứng dụng thực tế · Giải tam giác & đo đạc
PHƯƠNG PHÁP
2 phương pháp cốt lõi
Đo đạc thực tế bằng tỉ số lượng giác · Định lý cosin cho tam giác thường
Phương pháp 1
Giải bài toán đo đạc thực tế bằng tỉ số lượng giác
B1
Dựng tam giác vuông từ tình huống thực tế (vật thể, mặt đất, đoạn nối).
B2
Xác định góc và cạnh đã biết trong tam giác vuông đó.
B3
Áp dụng tỉ số lượng giác phù hợp (sin, cos hoặc tan) để tính cạnh cần tìm.
B4
Cộng/trừ các đoạn nếu bài toán gồm nhiều phần (VD: phần đứng + phần ngả của cây gãy).
Ví dụ minh họa
Một cái cây bị gãy, ngọn cây ngả xuống chạm đất tạo với mặt đất góc 30°. Khoảng cách từ gốc cây đến điểm ngọn chạm đất là 4m. Tính chiều cao ban đầu của cây.
Gọi L là đoạn ngả: cos30°=4/L ⟹ L=4/cos30°=8√3/3 (dựng tam giác vuông)
Phần đứng h=L·sin30°=4√3/3; chiều cao ban đầu=h+L=4√3/3+8√3/3=4√3 (cộng hai phần)
Đáp số: Chiều cao ban đầu = 4√3 m
Phương pháp 2
Giải tam giác thường bằng định lý cosin
B1
Xác định hai cạnh và góc xen giữa đã biết trong tam giác.
B2
Viết định lý cosin cho cạnh đối diện với góc đã biết.
B3
Thay số và tính bình phương cạnh cần tìm.
B4
Khai căn (lấy giá trị dương) để được độ dài cạnh.
Ví dụ minh họa
Tam giác ABC có ∠B=60°, AB=8cm, BC=5cm. Tính độ dài cạnh AC.
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}−2·AB·BC·cosB=64+25−2·8·5·(1/2) (định lý cosin)
AC^{2}=89−40=49 ⟹ AC=7 (khai căn)
Đáp số: AC = 7 cm
Lưu ý
Định lý cosin và định lý sin áp dụng cho mọi tam giác (kể cả tam giác vuông) — khi tam giác vuông, định lý cosin thu gọn về đúng định lý Pythagore.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ thức lượng · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ THỨC LƯỢNG
Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 3/3 · Ứng dụng thực tế · Giải tam giác & đo đạc
LUYỆN TẬP
4 dạng bài tập cốt lõi
Từ đo đạc thực tế đến định lý cosin, sin và công thức trung tuyến
Dạng 1 · Đo đạc thực tế bằng tỉ số lượng giác
Tính tỉ số lượng giác của góc nhìn từ một điểm quan sát
Một cái cột thẳng đứng cao 12m. Từ điểm A trên mặt đất, cách chân cột 5m, người ta nhìn lên đỉnh cột tạo với mặt đất góc α. Tính tanα.
Xác định tam giác vuông
Chân cột, điểm A, đỉnh cột tạo tam giác vuông tại chân cột
Tính tanα
tanα=đối/kề=12/5
Kết luận: tanα = 12/5
Dạng 2 · Định lý cosin
Tính cạnh khi biết hai cạnh và góc xen giữa
Tam giác ABC có ∠A=60°, AB=4cm, AC=6cm. Tính độ dài cạnh BC.
Áp dụng định lý cosin
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}−2·AB·AC·cosA=16+36−2·4·6·(1/2)=28
Khai căn
BC=√28=2√7
Kết luận: BC = 2√7 cm
Dạng 3 · Định lý sin
Tính cạnh khi biết hai góc và một cạnh
Tam giác ABC có ∠B=45°, ∠C=60°, BC=10. Tính độ dài cạnh AC.
Tính góc A
∠A=180°−45°−60°=75°
Áp dụng định lý sin
AC/sinB=BC/sinA ⟹ AC=BC·sinB/sinA=10(√3−1)
Kết luận: AC = 10(√3−1)
Dạng 4 · Công thức trung tuyến
Tính cạnh tam giác khi biết đường trung tuyến
Tam giác ABC có M là trung điểm BC. Biết AM=4, AB=5, AC=5. Tính độ dài BC.
Áp dụng công thức trung tuyến
AM^{2}=(2AB^{2}+2AC^{2}−BC^{2})/4 ⟹ 16=(50+50−BC^{2})/4
Giải BC^{2}
64=100−BC^{2} ⟹ BC^{2}=36 ⟹ BC=6
Kết luận: BC = 6
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ thức lượng · Bài 3
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ THỨC LƯỢNG
Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 3/3 · Ứng dụng thực tế · Giải tam giác & đo đạc
TỔNG KẾT
Ghi nhớ & luyện tập
Ôn lại toàn bộ kiến thức cốt lõi của Bài 3 — Ứng dụng thực tế · Giải tam giác & đo đạc
Bảng công thức cốt lõi
Khái niệm · Công thức · Ghi chú
Đo đạc (tam giác vuông) · tanα=đối/kề · Đo chiều cao, khoảng cách
Định lý cosin · a^{2}=b^{2}+c^{2}−2bc·cosA · Biết 2 cạnh + góc xen giữa
Định lý sin · a/sinA=b/sinB=c/sinC · Biết 2 góc + 1 cạnh
Công thức trung tuyến · m_a^{2}=(2b^{2}+2c^{2}−a^{2})/4 · Tính đoạn nối đỉnh–trung điểm
3 lỗi sai thường gặp
01
Dựng sai tam giác vuông — xác định nhầm cạnh đối, cạnh kề trong bài toán đo đạc thực tế.
02
Nhầm góc xen giữa — áp dụng định lý cosin với góc không nằm giữa hai cạnh đã cho.
03
Quên tam giác thường không có góc vuông — cố dùng tỉ số lượng giác thay vì định lý cosin/sin.
Hoàn thành
Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông — 3/3 bài học
Bạn đã hoàn thành trọn vẹn chuyên đề Hệ thức lượng: từ hệ thức cạnh–đường cao, tỉ số lượng giác, đến ứng dụng thực tế với định lý cosin và định lý sin. Hãy luyện tập thêm để thành thạo hoàn toàn.
Quét mã để luyện tập thêm
THCS AI LUKATO
Tự động tạo 200+ câu hỏi áp dụng Bài 3 — Hệ thức lượng. Lời giải tiếng Việt cấp giáo viên chuyên ngay tức thì.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ thức lượng · Bài 3
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.