Hệ đối xứng & phương trình quy về bậc hai · Bài 2/3
Kỹ thuật đặt ẩn phụ S = x + y, P = xy để giải hệ đối xứng loại 1, cùng 4 dạng phương trình quy về bậc hai: trùng phương, chứa ẩn ở mẫu, chứa dấu giá trị…
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chủ đề: Phương trình & Hệ phương trình
Bài 2/3 · Hệ đối xứng & phương trình quy về bậc hai
Chuyên đề · Phương trình & Hệ phương trình
Hệ Đối Xứng
& Phương Trình Quy Về Bậc Hai
Làm chủ kỹ thuật đặt ẩn phụ S = x + y, P = xy để giải hệ đối xứng loại 1, cùng bốn dạng phương trình quy về bậc hai — trùng phương, chứa ẩn ở mẫu, chứa dấu giá trị tuyệt đối và chứa căn thức.
Thời lượng
45 phút
Độ khó
Trung bình - Khá
Dạng bài
4 dạng cốt lõi
Yêu cầu
Bài 1 · Giải hệ phương trình
BÀI 1
Phương pháp giải hệ phương trình
Phương pháp thế · phương pháp cộng đại số
BÀI 2
Hệ đối xứng & phương trình quy về bậc hai
Kỹ thuật đặt ẩn phụ, phương trình chứa căn/trị tuyệt đối
BÀI 3
Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Tổng-tích nghiệm, biểu thức đối xứng, tìm tham số
Mục tiêu bài học
01
Nắm khái niệm hệ đối xứng loại 1 và kỹ thuật đặt S = x + y, P = xy.
02
Giải phương trình trùng phương bằng cách đặt t = x^{2} (t \ge 0).
03
Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng xét dấu từng khoảng.
04
Giải phương trình chứa căn thức bằng đặt điều kiện và bình phương hai vế.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ phương trình · Bài 2
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chủ đề: Phương trình & Hệ phương trình
Bài 2/3 · Hệ đối xứng & phương trình quy về bậc hai
ĐỊNH NGHĨA
Hệ đối xứng loại 1
Đặt S = x + y, P = xy · Vi-ét đảo
Dạng tổng quát
S = x + y, P = xy \implies; x, y là nghiệm của t^{2} - St + P = 0
Hệ đối xứng loại 1 là hệ mà mỗi phương trình không đổi khi hoán đổi vai trò x và y cho nhau. Mọi biểu thức đối xứng của x, y (như x^{2}+y^{2}, x^{3}+y^{3}, x^{4}+y^{4}) đều biểu diễn được qua S = x+y và P = xy. Sau khi tìm được S, P, ta dùng định lí Vi-ét đảo để tìm lại x, y.
Loại 1
Đặt S, P
x^{2}+y^{2} = S^{2}-2P · x^{3}+y^{3} = S^{3}-3PS
Biến đổi mọi biểu thức đối xứng của hệ ban đầu theo hai ẩn phụ S và P, đưa hệ hai ẩn (x;y) về hệ hai ẩn (S;P) đơn giản hơn.
VD: S=5, P=6 \implies x^{2}+y^{2}=13, x^{3}+y^{3}=35
Loại 2
Tìm lại x, y (Vi-ét đảo)
t^{2} - St + P = 0
Sau khi có S, P cụ thể, x và y chính là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn t này.
VD: S=5, P=6 \implies t^{2}-5t+6=0 \implies t=2 hoặc t=3 \implies (x;y)=(2;3) hoặc (3;2)
Loại 3
Điều kiện có nghiệm thực
S^{2} \ge 4P
Vì x, y là nghiệm của t^{2}-St+P=0 nên hệ đối xứng chỉ có nghiệm thực (x;y) khi phương trình này có nghiệm, tức biệt thức không âm.
VD: S=3, P=2: S^{2}-4P=9-8=1\ge 0 \implies có nghiệm thực
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ phương trình · Bài 2
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chủ đề: Phương trình & Hệ phương trình
Bài 2/3 · Hệ đối xứng & phương trình quy về bậc hai
4 DẠNG QUY VỀ BẬC HAI
Phương trình quy về bậc hai
Trùng phương · Ẩn ở mẫu · Trị tuyệt đối · Căn thức
Quy tắc 01
Phương trình trùng phương
ax^{4}+bx^{2}+c=0, đặt t=x^{2} (t\ge 0)
Đưa về phương trình bậc hai ẩn t, chỉ nhận nghiệm t\ge 0 rồi suy ra x=\pm\sqrt{t}.
Quy tắc 02
Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Đặt điều kiện mẫu \neq 0 rồi quy đồng
Quy đồng mẫu, khử mẫu để đưa về phương trình bậc hai, sau đó đối chiếu điều kiện xác định.
Quy tắc 03
Phương trình chứa trị tuyệt đối
Xét dấu biểu thức trong dấu | | theo từng khoảng
Chia trục số thành các khoảng theo điểm mà biểu thức trong dấu tuyệt đối đổi dấu, giải riêng từng khoảng rồi đối chiếu điều kiện.
Quy tắc 04
Phương trình chứa căn thức
Đặt điều kiện, bình phương hai vế
Đặt điều kiện biểu thức trong căn không âm (và vế đối ứng không âm nếu cần), bình phương để khử căn rồi kiểm tra nghiệm với điều kiện.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ phương trình · Bài 2
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chủ đề: Phương trình & Hệ phương trình
Bài 2/3 · Hệ đối xứng & phương trình quy về bậc hai
PHƯƠNG PHÁP
2 phương pháp cốt lõi
Giải hệ đối xứng · Giải phương trình trùng phương
Phương pháp 1
Giải hệ đối xứng loại 1
B1
Đặt S=x+y, P=xy.
B2
Biến đổi các phương trình của hệ theo S, P.
B3
Giải hệ (hoặc phương trình) tìm S, P.
B4
Giải t^{2}-St+P=0 để tìm lại x, y.
Ví dụ minh họa
Giải hệ phương trình: x^{3}+y^{3}=9 và xy(x+y)=6.
Đặt S=x+y, P=xy \implies S^{3}-3PS=9 và PS=6 (đưa về S, P)
S^{3}-18=9 \implies S^{3}=27 \implies S=3 \implies P=2 (giải S, P)
t^{2}-3t+2=0 \implies t=1 hoặc t=2 (Vi-ét đảo)
Đáp số: (x; y) = (1; 2) hoặc (2; 1)
Phương pháp 2
Giải phương trình trùng phương
B1
Đặt t=x^{2}, điều kiện t\ge 0.
B2
Giải phương trình bậc hai theo t.
B3
Đối chiếu t\ge 0, loại nghiệm âm.
B4
Suy ra x=\pm\sqrt{t} với mỗi t\ge 0 nhận được.
Ví dụ minh họa
Giải phương trình: 2x^{4} - 5x^{2} + 2 = 0.
Đặt t=x^{2} (t\ge 0) \implies 2t^{2}-5t+2=0 (đưa về bậc hai)
t=2 hoặc t=1/2, cả hai đều \ge 0 nên đều nhận (giải & đối chiếu)
Đáp số: x=\pm\sqrt{2} hoặc x=\pm\sqrt{2}/2 (4 nghiệm phân biệt)
Lưu ý
Với phương trình trùng phương, luôn kiểm tra điều kiện t\ge 0 trước khi suy ra x — nghiệm t<0 phải bị loại vì x^{2} không thể âm.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ phương trình · Bài 2
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chủ đề: Phương trình & Hệ phương trình
Bài 2/3 · Hệ đối xứng & phương trình quy về bậc hai
LUYỆN TẬP
4 dạng bài tập cốt lõi
Từ hệ đối xứng đến phương trình chứa căn & trị tuyệt đối
Dạng 1 · Hệ đối xứng — tính tích xy
Tính giá trị biểu thức đối xứng
Cho hệ x + y = 7 và x^{2} + y^{2} = 25. Tính giá trị của tích xy.
Đặt S=7
x^{2}+y^{2}=S^{2}-2P \implies 25=49-2P
Giải P
2P=24 \implies P=12
Kết luận: xy = 12
Dạng 2 · Hệ đối xứng — tính x^{4}+y^{4}
Tính giá trị biểu thức bậc cao
Cho hệ x^{2} + y^{2} = 10 và xy = 3. Tính giá trị biểu thức x^{4} + y^{4}.
Bình phương x^{2}+y^{2}
x^{4}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(xy)^{2}
Thay số
=10^{2}-2\cdot 3^{2}=100-18=82
Kết luận: x^{4}+y^{4} = 82
Dạng 3 · Phương trình chứa căn thức
Giải phương trình chứa hai căn thức
Giải phương trình: \sqrt{x+1} + \sqrt{x+6} = 5.
ĐK & đặt ẩn phụ
x\ge-1; đặt a=\sqrt{x+1}, b=\sqrt{x+6} \implies b^{2}-a^{2}=5
Giải a, b
a+b=5, b-a=1 \implies a=2 \implies x+1=4 \implies x=3
Kết luận: x = 3 (thỏa điều kiện)
Dạng 4 · Phương trình chứa trị tuyệt đối
Tính tích các nghiệm
Tính tích các nghiệm của phương trình: |x-2| + |x+1| = 5.
Xét 3 khoảng
x<-1: được x=-2 · -1\le x\le 2: vô nghiệm · x>2: được x=3
Tính tích
(-2)\cdot 3=-6
Kết luận: Tích các nghiệm = -6
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ phương trình · Bài 2
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chủ đề: Phương trình & Hệ phương trình
Bài 2/3 · Hệ đối xứng & phương trình quy về bậc hai
TỔNG KẾT
Ghi nhớ & luyện tập
Ôn lại toàn bộ kiến thức cốt lõi của Bài 2 — Hệ đối xứng & phương trình quy về bậc hai
Bảng công thức cốt lõi
Khái niệm · Công thức / Kí hiệu · Ghi chú
Hệ đối xứng loại 1 · S=x+y, P=xy · x,y là nghiệm t^{2}-St+P=0
x^{2}+y^{2} theo S,P · S^{2}-2P · Biểu thức đối xứng bậc 2
x^{3}+y^{3} theo S,P · S^{3}-3PS · Biểu thức đối xứng bậc 3
Phương trình trùng phương · đặt t=x^{2} (t\ge 0) · Loại nghiệm t<0
3 lỗi sai thường gặp
01
Quên điều kiện t\ge 0 — khi đặt t=x^{2} trong phương trình trùng phương, quên loại nghiệm t âm dẫn đến nghiệm ảo.
02
Quên điều kiện xác định — không đặt điều kiện mẫu\neq 0 hoặc biểu thức trong căn\ge 0 trước khi biến đổi, dẫn đến nghiệm ngoại lai.
03
Bỏ sót khoảng xét dấu — khi giải phương trình chứa trị tuyệt đối, thiếu một khoảng hoặc quên đối chiếu nghiệm với khoảng đang xét.
Tiếp theo
Bài 3 · Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Bài tiếp theo sẽ khai thác định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai một ẩn: tổng-tích nghiệm, biểu thức đối xứng của nghiệm và tìm tham số theo điều kiện cho trước.
Quét mã để luyện tập thêm
THCS AI LUKATO
Tự động tạo 200+ câu hỏi áp dụng Bài 2 — Hệ đối xứng & phương trình quy về bậc hai. Lời giải tiếng Việt cấp giáo viên chuyên ngay tức thì.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hệ phương trình · Bài 2
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.