Hình cầu & Tổng hợp · Bài 3/3
Công thức thể tích, diện tích hình cầu và bán cầu; bài toán tổng hợp nhiều khối hình học không gian.
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Chủ đề: Hình cầu & Tổng hợp
Bài 3/3 · Công thức hình cầu & bài toán kết hợp nhiều khối
Chuyên đề · Hình học không gian
Hình Cầu
& Bài Toán Tổng Hợp
Nắm vững công thức thể tích, diện tích hình cầu và bán cầu, đồng thời rèn luyện kỹ năng giải bài toán tổng hợp — kết hợp nhiều khối hình học không gian đã học trong cả 3 bài.
Thời lượng
45 phút
Độ khó
Trung bình
Dạng bài
4 dạng cốt lõi
Yêu cầu
Hình hộp, hình trụ, hình nón
BÀI 1
Hộp chữ nhật & lập phương
V, S_tp, S_xq · đường chéo không gian
BÀI 2
Hình trụ & hình nón
Thể tích, diện tích xung quanh, toàn phần
BÀI 3
Hình cầu & tổng hợp
Công thức hình cầu · bài toán kết hợp nhiều khối
P3
Bán cầu & bán kính R
Công thức V, S bán cầu — nửa hình cầu
P4
2 phương pháp giải
Tính V, S hình cầu · bài toán tổng hợp
P5
4 dạng bài tập
Hình cầu · bán cầu · tỉ số thể tích · tổng hợp
Mục tiêu bài học
01
Nắm công thức thể tích, diện tích của hình cầu V=4/3\pi R^{3}, S=4\pi R^{2}.
02
Nắm công thức bán cầu — nửa hình cầu, phân biệt với hình cầu đầy đủ.
03
Giải bài toán tỉ số thể tích giữa các khối có cùng bán kính.
04
Vận dụng vào bài toán tổng hợp : vật thể chìm trong nước, khối ghép nhiều hình.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hình học không gian · Bài 3
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Chủ đề: Hình cầu & Tổng hợp
Bài 3/3 · Công thức hình cầu & bài toán kết hợp nhiều khối
ĐỊNH NGHĨA
Công thức hình cầu & bán cầu
Hình cầu bán kính R — không có cạnh, không có mặt phẳng
Hình cầu bán kính R
V = 3 4 \pi R 3
S = 4 \pi R 2
Hình cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách đều tâm O một khoảng R (bán kính). Hình cầu không có cạnh, không có đỉnh, chỉ có một mặt cong duy nhất. Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng qua tâm, ta được hai bán cầu bằng nhau, mỗi bán cầu có một mặt cong và một mặt đáy phẳng hình tròn.
Loại 1
Hình cầu
V=4/3\pi R^{3}
S=4\pi R^{2}
V là thể tích khối cầu, S là diện tích toàn bộ mặt cầu.
VD: R=3 \implies V=36\pi cm^{3}
Loại 2
Bán cầu
V=⅔\pi R^{3}
S_tp=3\pi R^{2}
S_tp gồm mặt cong (2\pi R^{2}) cộng mặt đáy phẳng hình tròn (\pi R^{2}).
VD: R=6 \implies S_tp=108\pi cm^{2}
Loại 3
Bài toán tổng hợp
V_tổng=\Sigma V_khối
Khối ghép từ nhiều hình: cộng (nối liền) hoặc trừ (khoét rỗng) thể tích từng phần.
VD: trụ + bán cầu \implies V=90\pi cm^{3}
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hình học không gian · Bài 3
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Chủ đề: Hình cầu & Tổng hợp
Bài 3/3 · Công thức hình cầu & bài toán kết hợp nhiều khối
HÌNH CẦU
Bán kính R quyết định toàn bộ hình cầu
Ví dụ: R=6cm \implies V=288\pi cm^{3}, S=144\pi cm^{2}
Quy tắc 01
Chỉ một tham số R
R=6
Khác với hình hộp (3 kích thước) hay hình trụ/nón (2 kích thước), hình cầu chỉ cần biết R.
Quy tắc 02
Thể tích hình cầu
V = 3 4 \pi ⋅ 6 3 = 288 \pi
Thay R=6 vào V=4/3\pi R^{3}, được thể tích 288\pi cm^{3}.
Quy tắc 03
Diện tích mặt cầu
S = 4 \pi ⋅ 6 2 = 144 \pi
Thay R=6 vào S=4\pi R^{2}, được diện tích 144\pi cm^{2}.
Quy tắc 04
Không có công thức S_xq
S = S_toàn phần
Hình cầu chỉ có một mặt cong duy nhất nên S chính là diện tích toàn phần, không cần phân biệt xung quanh.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hình học không gian · Bài 3
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Chủ đề: Hình cầu & Tổng hợp
Bài 3/3 · Công thức hình cầu & bài toán kết hợp nhiều khối
PHƯƠNG PHÁP
2 phương pháp cốt lõi
Từ tính V, S hình cầu — bán cầu đến giải bài toán tổng hợp nhiều khối
Phương pháp 1
Tính V, S hình cầu & bán cầu
B1
Xác định bán kính R và xác định là hình cầu hay bán cầu.
B2
Áp dụng công thức V=4/3\pi R^{3}, S=4\pi R^{2} (cầu) hoặc V=⅔\pi R^{3}, S_tp=3\pi R^{2} (bán cầu).
B3
Thay số , tính toán cẩn thận với phân số 4/3 và ⅔.
B4
Đối chiếu đơn vị đề bài yêu cầu.
Ví dụ minh họa
Một quả bóng hình cầu có bán kính r=6cm. Tính thể tích quả bóng.
V=4/3\pi r^{3}=4/3\pi\cdot 6^{3} (công thức thể tích)
V=4/3\pi\cdot 216 (thay số)
Đáp số: V = 3 4 \pi ⋅ 6 3 = 288 \pi cm^{3}
Phương pháp 2
Bài toán tổng hợp — vật thể chìm trong nước
B1
Xác định hình dạng bình chứa (thường là hình trụ) và vật thể thả vào (hình cầu).
B2
Nguyên lý : thể tích nước tràn ra bằng thể tích phần vật thể chìm trong nước.
B3
Tính thể tích vật thể chìm bằng công thức hình cầu (nếu chìm hoàn toàn).
B4
Kết luận thể tích nước tràn hoặc mực nước mới.
Ví dụ minh họa
Một cốc hình trụ chứa đầy nước có bán kính đáy R=3cm, chiều cao 10cm. Người ta thả vào cốc một viên bi sắt hình cầu có đường kính bằng bán kính đáy cốc, chìm hoàn toàn. Tính thể tích nước tràn ra.
d=R=3 \implies bán kính viên bi r=1,5cm (xác định kích thước bi)
V_tràn=4/3\pi\cdot 1,5^{3} (thể tích bi = thể tích nước tràn)
Đáp số: V tran = 3 4 \pi ⋅ 1. 5 3 = 2 9 \pi cm^{3}
Lưu ý
Với bài toán tổng hợp: luôn tách khối phức tạp thành các khối cơ bản đã học (hộp, trụ, nón, cầu), xác định rõ là cộng (ghép nối) hay trừ (khoét rỗng) thể tích.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hình học không gian · Bài 3
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Chủ đề: Hình cầu & Tổng hợp
Bài 3/3 · Công thức hình cầu & bài toán kết hợp nhiều khối
LUYỆN TẬP
4 dạng bài tập cốt lõi
Từ tính V, S hình cầu — bán cầu đến tỉ số thể tích và bài toán tổng hợp
Dạng 1 · Hình cầu
Tính thể tích hình cầu
Cho hình cầu có bán kính R=3cm. Tính thể tích của hình cầu.
Công thức
V=4/3\pi R^{3}
Thay số
V=4/3\pi\cdot 3^{3}=4/3\pi\cdot 27
Kết luận: V=36\pi cm^{3}
Dạng 2 · Bán cầu
Tính diện tích toàn phần bán cầu
Cho bán cầu có bán kính R=6cm. Tính diện tích toàn phần của bán cầu (bao gồm mặt cong và mặt đáy phẳng).
Công thức
S_tp=3\pi R^{2}
Thay số
S_tp=3\pi\cdot 6^{2}=3\pi\cdot 36
Kết luận: S_tp=108\pi cm^{2}
Dạng 3 · Tỉ số thể tích
So sánh thể tích hình trụ và hình cầu
Cho một hình trụ và một hình cầu cùng có bán kính R=3cm. Chiều cao hình trụ bằng đường kính hình cầu (h=2R). Tính tỉ số thể tích V_trụ/V_cầu.
Hình trụ
V_trụ=\pi R^{2}\cdot 2R=2\pi R^{3}
Hình cầu
V_cầu=4/3\pi R^{3} \implies tỉ số=2\div 4/3
Kết luận: V_trụ/V_cầu=3/2
Dạng 4 · Bài toán tổng hợp
Tính thể tích khối ghép trụ và bán cầu
Một khối gồm một hình trụ bán kính đáy R=3cm, chiều cao h=8cm, phía trên gắn liền một bán cầu cùng bán kính R=3cm. Tính tổng thể tích của khối.
Thể tích trụ
V_trụ=\pi\cdot 3^{2}\cdot 8=72\pi
Thể tích bán cầu
V_bc=⅔\pi\cdot 3^{3}=18\pi
Kết luận: V = \pi ⋅ 3 2 ⋅ 8 + 3 2 \pi ⋅ 3 3 = 90 \pi cm^{3}
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hình học không gian · Bài 3
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO
TOÁN 9 · HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Chủ đề: Hình cầu & Tổng hợp
Bài 3/3 · Công thức hình cầu & bài toán kết hợp nhiều khối
TỔNG KẾT
Ghi nhớ & luyện tập
Ôn lại toàn bộ kiến thức cốt lõi của chuyên đề Hình học không gian
Bảng công thức cốt lõi
Khối · Thể tích · Diện tích
Hộp chữ nhật · V=abc · S_tp=2(ab+bc+ca)
Hình trụ · V=\pi R^{2}h · S_tp=2\pi R(R+h)
Hình nón · V=⅓\pi R^{2}h · S_tp=\pi R(R+l)
Hình cầu · V=4/3\pi R^{3} · S=4\pi R^{2}
3 lỗi sai thường gặp
01
Nhầm hệ số 4/3 và ⅔ — hình cầu dùng 4/3\pi R^{3}, bán cầu chỉ bằng nửa nên dùng ⅔\pi R^{3}.
02
Quên mặt đáy khi tính S_tp bán cầu — S_tp bán cầu = 2\pi R^{2} (mặt cong) + \pi R^{2} (đáy) = 3\pi R^{2}.
03
Sai khi ghép khối tổng hợp — cần xác định đúng là cộng (ghép nối) hay trừ (khoét rỗng) thể tích các phần.
Hoàn thành
Chuyên đề Hình học không gian
Bạn đã hoàn thành cả 3 bài: hình hộp chữ nhật & lập phương, hình trụ & hình nón, hình cầu & tổng hợp. Hãy ôn tập lại toàn bộ 3 bài trước khi chuyển sang chuyên đề tiếp theo.
Quét mã để luyện tập thêm
THCS AI LUKATO
Tự động tạo 200+ câu hỏi áp dụng Bài 3 — Hình cầu & Tổng hợp. Lời giải tiếng Việt cấp giáo viên chuyên ngay tức thì.
thcs.lukatoai.kr
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Hình học không gian · Bài 3
thcs.lukatoai.kr
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.