Toán 9 · Thống Kê — Từ Bảng Số Liệu Thô Đến Biểu Đồ Tần Số Ghép Nhóm
Lập bảng tần số ghép nhóm, đọc biểu đồ, bài toán tỉ lệ phần trăm thực tế, so sánh hai tập dữ liệu và 4 bẫy thường gặp.
Toán 9 · Thống Kê — Từ Bảng Số Liệu Thô Đến Biểu Đồ Tần Số Ghép Nhóm
5 dạng bài cốt lõi, mỗi dạng một bài toán thực tế giải chi tiết từng bước
Mục tiêu bài học
- Lập được bảng tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm từ một mẫu số liệu thô.
- Đọc và khai thác thông tin từ biểu đồ tần số ghép nhóm, biểu đồ cột kép.
- Vận dụng tần số tương đối để giải các bài toán tỉ lệ phần trăm trong thực tế (quyên góp, khảo sát, so sánh).
- Nhận diện và tránh 4 lỗi sai phổ biến nhất khi làm dạng bài này.
1. Từ số liệu thô đến bảng tần số ghép nhóm
Khi mẫu số liệu có nhiều giá trị khác nhau (ví dụ: thời gian, cân nặng, số tiền), ta không liệt kê từng giá trị mà ghép chúng thành các nhóm có độ rộng bằng nhau, thường viết dưới dạng nửa khoảng [a; b) — tức là bao gồm a nhưng không bao gồm b. Với mỗi nhóm, tần số ghép nhóm là số giá trị rơi vào nhóm đó, còn tần số tương đối ghép nhóm là tỉ lệ phần trăm của nhóm đó so với tổng thể:
f_i = \dfrac{n_i}{N} \times 100\%
trong đó n_i là tần số của nhóm i và N là tổng số giá trị (cỡ mẫu).
Công thức cốt lõi
Tần số tương đối f_i = \dfrac{n_i}{N}\times 100\%. Luôn kiểm tra: tổng tất cả tần số bằng N, và tổng tất cả tần số tương đối bằng 100\%.
Ví dụ
Khảo sát thời gian tự học buổi tối (đơn vị: phút) của 36 học sinh lớp 9A, người ta thu được mẫu số liệu sau:
22, 28, 31, 35, 38, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 58, 61, 63, 66, 68, 71, 74, 77, 79, 33, 36, 42, 45, 53, 57, 62, 67, 72, 75, 26, 39, 48, 59, 64, 69.
Hãy chia số liệu thành 6 nhóm, mỗi nhóm rộng 10 phút, nhóm đầu tiên là [20; 30), rồi lập bảng tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm.
Đếm số giá trị rơi vào mỗi nửa khoảng:
[20;30): 22, 28, 26 → 3 giá trị.
[30;40): 31, 35, 38, 33, 36, 39 → 6 giá trị.
[40;50): 41, 44, 47, 49, 42, 45, 48 → 7 giá trị.
[50;60): 52, 55, 58, 53, 57, 59 → 6 giá trị.
[60;70): 61, 63, 66, 68, 62, 67, 64, 69 → 8 giá trị.
[70;80): 71, 74, 77, 79, 72, 75 → 6 giá trị.
Kiểm tra tổng: 3+6+7+6+8+6 = 36 = N ✓.
Tần số tương đối từng nhóm: \dfrac{3}{36}\approx 8{,}3\%; \dfrac{6}{36}\approx 16{,}7\%; \dfrac{7}{36}\approx 19{,}4\%; \dfrac{6}{36}\approx 16{,}7\%; \dfrac{8}{36}\approx 22{,}2\%; \dfrac{6}{36}\approx 16{,}7\%. Tổng =100{,}0\% ✓.
2. Đọc biểu đồ tần số ghép nhóm
Biểu đồ hoá bảng tần số ở trên giúp nhìn ra ngay nhóm nào đông nhất, nhóm nào ít nhất mà không cần đọc từng số. Nhiều bài toán thường cho sẵn biểu đồ (không cho bảng số liệu thô) rồi hỏi ngược lại thông tin — kỹ năng cần là đọc đúng trục và đúng đơn vị .
Biểu đồ tần số ghép nhóm — thời gian tự học buổi tối của 36 học sinh lớp 9A.
Ví dụ
Dựa vào bảng tần số ở Ví dụ 1: (a) Có bao nhiêu học sinh tự học từ 60 phút trở lên? Chiếm bao nhiêu phần trăm? (b) Có bao nhiêu học sinh tự học dưới 40 phút? Chiếm bao nhiêu phần trăm?
(a) Tự học từ 60 phút trở lên gồm 2 nhóm [60;70) và [70;80): 8+6=14 học sinh. Tỉ lệ: \dfrac{14}{36}\times 100\%\approx 38{,}9\%.
(b) Tự học dưới 40 phút gồm 2 nhóm [20;30) và [30;40): 3+6=9 học sinh. Tỉ lệ: \dfrac{9}{36}\times 100\%=25\%.
3. Tần số tương đối trong bài toán tỉ lệ phần trăm thực tế
Nhiều bài toán không cho sẵn số liệu thô mà cho thẳng tỉ lệ phần trăm (giống một biểu đồ hình quạt) rồi yêu cầu suy ra số lượng thực tế, hoặc ngược lại. Chìa khoá vẫn là công thức n_i = f_i \times N.
Ví dụ
Trường THCS X phát động phong trào "Tủ sách yêu thương", quyên góp được tổng cộng 1250 quyển sách từ 4 khối lớp. Biết khối 6 đóng góp 24% tổng số sách, khối 7 đóng góp 22%, khối 8 đóng góp 26%, còn lại là khối 9. Tính số quyển sách mỗi khối đã đóng góp.
Tỉ lệ khối 9: 100\% - 24\% - 22\% - 26\% = 28\%.
Số sách từng khối: khối 6: 1250\times 24\% = 300 quyển; khối 7: 1250\times 22\% = 275 quyển; khối 8: 1250\times 26\% = 325 quyển; khối 9: 1250\times 28\% = 350 quyển.
Kiểm tra: 300+275+325+350 = 1250 ✓.
4. So sánh hai tập dữ liệu bằng biểu đồ cột kép
Biểu đồ cột kép đặt hai (hoặc nhiều) tập dữ liệu cạnh nhau theo từng nhóm, dùng để so sánh sự thay đổi — ví dụ giữa hai lần kiểm tra, hai lớp, hai năm.
So sánh phân bố điểm Toán khối 9 giữa Giữa kỳ I và Cuối kỳ II (40 học sinh).
Ví dụ
Biểu đồ trên thống kê điểm kiểm tra Toán của 40 học sinh khối 9 ở hai thời điểm. Nhóm điểm giỏi được quy định là [8;10]. Hỏi số học sinh đạt điểm giỏi và tỉ lệ tương đối đã thay đổi như thế nào giữa hai kỳ?
Giữa kỳ I: số học sinh giỏi =8+4=12 học sinh, tỉ lệ \dfrac{12}{40}\times100\%=30\%.
Cuối kỳ II: số học sinh giỏi =12+7=19 học sinh, tỉ lệ \dfrac{19}{40}\times100\%=47{,}5\%.
Vậy số học sinh giỏi tăng thêm 19-12=7 học sinh, tỉ lệ tương đối tăng thêm 47{,}5\%-30\%=17{,}5 điểm phần trăm.
5. Bẫy thường gặp
Nhầm tần số và tần số tương đối
Tần số n_i là một số nguyên đếm được (đơn vị: học sinh, sản phẩm...). Tần số tương đối f_i luôn có đơn vị \%. Đề thường hỏi xen kẽ hai đại lượng này để bẫy thí sinh trả lời nhầm đơn vị.
Biên phải của nửa khoảng không được tính
Nhóm [60;70) không chứa giá trị 70. Nếu dữ liệu có giá trị đúng bằng 70, giá trị đó phải xếp vào nhóm tiếp theo [70;80). Đây là lỗi đếm sai phổ biến nhất.
Sai số làm tròn phần trăm
Khi N không chia hết đẹp cho số nhóm, tần số tương đối làm tròn từng nhóm có thể khiến tổng lệch khỏi 100\% một chút (ví dụ 99{,}9\% hoặc 100{,}1\%). Đây là hiện tượng bình thường do làm tròn, không phải bài toán sai — không cố "chỉnh" số liệu gốc để ép tổng đúng 100\%.
Đọc nhầm đơn vị trục biểu đồ
Trục đứng của biểu đồ có thể biểu diễn số lượng tuyệt đối (học sinh, sản phẩm) hoặc tần số tương đối (%). Luôn đọc chú thích trục trước khi lấy số liệu.
Checklist trước khi nộp bài
- Đã kiểm tra tổng tần số bằng N và tổng tần số tương đối bằng 100\% chưa?
- Đã xác định đúng nhóm chứa từng giá trị biên chưa (đặc biệt giá trị trùng đầu mút)?
- Đã đọc đúng đơn vị trên trục biểu đồ (số lượng hay phần trăm) chưa?
- Với bài suy ngược từ %, đã dùng đúng công thức n_i = f_i \times N chưa?
LUKATO THCS AI · Chuyên đề Toán 9
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.