Góc nhìn, đường cao và chứng minh hình học
Đọc góc nâng và góc hạ, tính chiều cao ăng-ten, tìm góc tại trung điểm của HC và chứng minh một hệ thức tang bằng phép chiếu. Bốn ý tự luận gốc được giải…
LUKATO · TOÁN THCS · CHUYÊN ĐỀ 02/02
Góc nhìn, đường cao và chứng minh hình học
Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông · Từ đo chiều cao đến hệ thức tổng quát
Đọc góc nâng và góc hạ, tính chiều cao ăng-ten, tìm góc tại trung điểm của HC và chứng minh một hệ thức tang bằng phép chiếu. Bốn ý tự luận gốc được giải từng bước, kèm mười hai câu chẩn đoán và sáu bài vận dụng có lời giải.
4 Ý từ đề gốc · đầy đủ lời giải
12 Câu chẩn đoán · phân tích lựa chọn
6 Bài vận dụng · đổi dữ kiện
3 Mô hình · thử và giải thích
Giải có căn cứ: đọc điều kiện → chọn quy tắc → thử tự làm → đối chiếu từng bước → giải một tình huống mới.
HIỂU BẢN CHẤT · 01
Đọc một tam giác vuông theo góc đang xét
Mục tiêu: nhận diện cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền để chọn đúng tỉ số lượng giác. Cạnh huyền luôn đối diện góc vuông, nhưng cạnh đối và cạnh kề thay đổi khi ta đổi góc nhọn đang xét. Vì vậy, trước một phép tính, hãy đánh dấu góc cần dùng rồi mới gọi tên các cạnh.
Trong tam giác A BC vuông tại A , xét góc C : cạnh đối là A B , cạnh kề là A C , cạnh huyền là BC . Ba tỉ số cơ bản là:
sin C = BC A B , cos C = BC A C , tan C = A C A B .
Nếu chuyển sang góc B , thì A B trở thành cạnh kề và A C trở thành cạnh đối. Chẳng hạn, cùng một tam giác có A B = 6 , A C = 8 , ta được tan B = 3 4 nhưng tan C = 4 3 . Không có mâu thuẫn: hai góc khác nhau dùng hai tỉ số nghịch đảo.
Với một góc nhọn, sin và cos nằm giữa 0 và 1 ; tang dương nhưng có thể lớn hơn 1 . Nếu tính ra cos C = 1 , 5 , hãy kiểm tra vị trí cạnh huyền. Nếu tang lớn hơn 1 , góc đang xét lớn hơn 4 5 ∘ ; đây là dấu hiệu hình học hữu ích, không phải lỗi.
Quy trình thực hành: xác định góc vuông; khoanh góc nhọn; ghi tên ba cạnh; chọn tỉ số chứa đúng cạnh đã biết và cạnh cần tìm. Phép tính chỉ bắt đầu sau bốn việc đó.
HIỂU BẢN CHẤT · 02
Từ tỉ số đến độ dài, rồi kiểm tra bằng hình học
Mục tiêu: biến công thức lượng giác thành phương trình độ dài và kiểm tra kết quả bằng một cách độc lập. Khi biết góc và cạnh huyền, sin tìm cạnh đối, cos tìm cạnh kề. Khi biết góc và cạnh kề, tang tìm cạnh đối.
đ o ˆ ˊ i = huy e ˆ ˋ n ⋅ sin θ , k e ˆ ˋ = huy e ˆ ˋ n ⋅ cos θ , đ o ˆ ˊ i = k e ˆ ˋ ⋅ tan θ .
Với góc 3 0 ∘ , ta có sin 3 0 ∘ = 2 1 , cos 3 0 ∘ = 2 3 , tan 3 0 ∘ = 3 3 . Do đó, cạnh huyền dài 18 cm tạo ra cạnh đối dài 9 cm và cạnh kề dài 9 3 cm . Giữ căn thức cho phép tính tiếp theo; chỉ đổi sang số gần đúng khi yêu cầu làm tròn.
Kiểm tra độc lập bằng định lí Pythagore: 9 2 + ( 9 3 ) 2 = 81 + 243 = 324 = 1 8 2 . Cạnh huyền lớn hơn từng cạnh góc vuông. Hơn nữa, cạnh đối diện góc 3 0 ∘ ngắn hơn cạnh đối diện góc 6 0 ∘ . Ba kiểm tra cùng củng cố lựa chọn công thức.
Đơn vị không đi vào tỉ số: 18 cm 9 cm = 2 1 . Nhưng độ dài cuối cùng vẫn phải có đơn vị. Nếu cạnh đã biết dùng mét, cạnh tìm được qua phép nhân với sin, cos hoặc tang cũng dùng mét.
Khi công thức có dạng một phân số, hãy nhân chéo trước khi bấm máy. Cách này giảm nguy cơ đặt nhầm phép chia và giúp người đọc thấy vì sao cạnh cần tìm được nhân hay chia cho một tỉ số.
HIỂU BẢN CHẤT · 03
Góc nâng, góc hạ và đường ngang qua mắt
Mục tiêu: chuyển quan sát thực tế thành hai tam giác vuông. Góc nâng đo từ tia ngang qua mắt lên tia nhìn một điểm cao hơn; góc hạ đo từ tia ngang xuống tia nhìn một điểm thấp hơn. Hai góc đều cần đường ngang làm mốc. Chúng không tự động là góc với mặt đất hay góc giữa hai tia nhìn.
Hai góc cùng đo từ phương ngang; chiều cao cần tìm gồm cả phần trên và phần dưới đường ngang qua mắt.
Ở hình trên, B D nằm ngang, EC thẳng đứng và D nằm giữa E và C . Vì vậy, B D ⊥ EC . Tam giác B D E vuông tại D dùng góc nâng để tìm D E ; tam giác B D C vuông tại D dùng góc hạ để tìm D C .
D E = B D tan EB D , D C = B D tan D BC , EC = D E + D C .
Việc cộng hai đoạn đến từ thứ tự điểm trên một đường thẳng, không đến từ việc thấy hai góc trên hình. Nếu cả hai điểm quan sát đều ở phía trên đường ngang, có thể cần lấy hiệu hai độ cao. Hãy ghi thứ tự điểm trước khi chọn phép cộng hay phép trừ.
Khoảng cách ngang là cạnh kề, không phải độ dài tia nhìn. Khi đề cho khoảng cách ngang, tang thường là lựa chọn trực tiếp nhất. Nếu đề cho khoảng cách theo tia nhìn, sin hoặc cos có thể phù hợp hơn.
HIỂU BẢN CHẤT · 04
Đường cao trong tam giác vuông: ba tam giác đồng dạng
Mục tiêu: tìm các đoạn trên cạnh huyền bằng đồng dạng, không nhầm chúng với các cạnh góc vuông. Trong tam giác A BC vuông tại A , đường cao A H cắt cạnh huyền BC tại H . Các tam giác A B H , A C H và A BC đều có một góc vuông và có các cặp góc nhọn bằng nhau; chúng đồng dạng.
A B 2 = B H ⋅ BC , A C 2 = H C ⋅ BC , A H 2 = B H ⋅ H C .
Chẳng hạn, từ △ A B H ∼ △ CB A , với các đỉnh tương ứng A ↔ C , B ↔ B , H ↔ A , ta có BC A B = A B B H = A C A H . Hai hệ thức đầu cho A B 2 = B H ⋅ BC ; hệ thức còn lại cho A H = BC A B ⋅ A C .
Cách dùng diện tích cũng kiểm tra đường cao: diện tích tam giác là 2 1 A B ⋅ A C đồng thời là 2 1 BC ⋅ A H . Suy ra A H = BC A B ⋅ A C . Đây là cách tính khác, còn đồng dạng cho biết cấu trúc tỉ lệ sâu hơn.
Trong tam giác có hai cạnh góc vuông 6 và 8 , cạnh huyền 10 , ta tính được B H = 5 18 , H C = 5 32 , A H = 5 24 . Kiểm tra B H + H C = 10 và A H 2 = B H ⋅ H C . Các đoạn chiếu không thể tùy ý lấy bằng nửa cạnh huyền.
Trước khi vận dụng một hệ thức, đọc thành lời: “bình phương cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân hình chiếu của chính cạnh đó”. Cách đọc này giúp chọn đúng BH hay HC.
HIỂU BẢN CHẤT · 05
Trung điểm trên HC và góc tại E
Mục tiêu: theo đúng vị trí trung điểm để tạo một tam giác vuông mới. Nếu E là trung điểm của H C , thì H , E , C thẳng hàng và H E = EC = 2 H C . Vì A H ⊥ BC , cũng có A H ⊥ H E . Tam giác A H E vuông tại H .
E là trung điểm của HC. E không nằm trên đường cao AH.
Góc cần tìm là A E H , có đỉnh ở E . Trong tam giác A H E , cạnh đối với góc ấy là A H , cạnh kề là H E . Do đó:
tan A E H = H E A H = H C 2 A H .
Từ đồng dạng △ A H C ∼ △ B A C , suy ra H C A H = A C A B . Vì thế, một công thức gọn áp dụng cho mọi tam giác vuông là tan A E H = A C 2 A B . Công thức này giải thích tại sao lấy trung điểm của HC làm góc tại E lớn hơn góc tại C: cạnh kề giảm một nửa, cạnh đối không đổi.
Không được đổi điều kiện thành “E là trung điểm của AH”. Khi đó A, E, H thẳng hàng; góc AEH sẽ không còn là góc nhọn trong tam giác AHE. Một từ sai về vị trí trung điểm làm thay đổi toàn bộ cấu hình, dù các chữ vẫn giống nhau.
Khi đề có nhiều đoạn, hãy đọc điều kiện trung điểm bằng hai câu: điểm thuộc đoạn nào, hai đoạn nhỏ nào bằng nhau. Chỉ sau đó mới đánh dấu và viết tỉ số.
HIỂU BẢN CHẤT · 06
Tìm góc và làm tròn đúng thời điểm
Mục tiêu: dùng hàm lượng giác ngược với đúng chế độ độ và tách giá trị chính xác khỏi giá trị gần đúng. Nếu đã tính được tang của một góc nhọn, dùng arctan để tìm góc. Với góc nhọn, tang tăng liên tục nên một tỉ số dương xác định duy nhất một góc trong khoảng từ không đến chín mươi độ.
tan θ = t > 0 ⟹ θ = arctan t , 0 ∘ < θ < 9 0 ∘ .
Ví dụ t = 3 2 3 cho θ ≈ 49 , 106 6 ∘ . Làm tròn đến độ được 4 9 ∘ . Nếu thay t bằng 1 , 15 quá sớm, ta đã thay bài toán bằng một bài gần đúng khác. Hãy lưu giá trị đầy đủ trong máy và chỉ làm tròn kết quả cuối.
Chế độ DEG cho kết quả theo độ. Nếu máy đang ở RAD, cùng phép arctan sẽ xuất hiện một số tính theo radian. Kiểm tra cỡ góc giúp phát hiện lỗi: tang lớn hơn 1 phải ứng với một góc lớn hơn 4 5 ∘ , nên một kết quả khoảng 0 , 8 6 ∘ không hợp lí.
Với độ dài, làm tròn đến hàng phần mười nghĩa là giữ một chữ số sau dấu phẩy. Chẳng hạn 161 , 8350 m trở thành 161 , 8 m , vì chữ số hàng phần trăm là 3 . Dấu = dùng cho biểu thức đúng chính xác; dấu ≈ dùng cho giá trị xấp xỉ.
Một lời giải rõ ràng ghi biểu thức lượng giác chính xác, giá trị máy có đủ chữ số để kiểm tra và kết quả làm tròn theo yêu cầu. Nếu số đo đầu vào là số đo thực nghiệm, kết quả vẫn thuộc mô hình hình học mà đề đã cho.
HIỂU BẢN CHẤT · 07
Kéo dài AB và chứng minh bằng phép chiếu
Mục tiêu: biến điều kiện B là trung điểm của A D thành các đoạn bằng nhau có ích. Điều kiện này nghĩa là A , B , D thẳng hàng theo thứ tự đó và A B = B D . D nằm trên tia AB, ở phía ngoài B. Không đặt D ở phía đối diện B qua A.
= HK DK
A B = B D
Hình minh họa vị trí các điểm. Chứng minh bên dưới áp dụng cho mọi tam giác ABC vuông tại A; không thay số đo của các câu trước.
Kẻ DK ⊥ BC với K trên đường thẳng BC . Vì D nằm trên phần kéo dài AB, K nằm trên tia đối của tia BH, nên thứ tự điểm là K , B , H , C . Hai tam giác vuông A B H và D B K có cạnh huyền A B = B D ; góc A B H bằng góc D B K vì chúng là hai góc đối đỉnh. Hai tam giác bằng nhau, cho B K = B H và DK = A H .
HK = H B + B K = 2 B H , tan B HD = HK DK = 2 B H A H .
Tại H, tia HB và tia HK trùng nhau, nên B HD = KHD . Đây là lý do ta được dùng tam giác vuông HDK để tính tang của đúng góc mà đề yêu cầu. Không được thay góc BHD bằng góc BDH; hai góc có tỉ số nghịch đảo.
Cuối cùng, từ △ A B H ∼ △ CB A , ta có B H A H = A B A C . Kết hợp với A B = B D , suy ra tan B HD = 2 B D A C . Mỗi bước chỉ dùng tính vuông, đường cao và trung điểm; không dùng số đo góc hay độ dài của các câu trước.
HIỂU BẢN CHẤT · 08
Một lời giải đủ sức thuyết phục
Mục tiêu: viết lời giải có điều kiện, lập luận và kiểm tra, để người đọc có thể theo dõi từ hình đến kết quả. Với bài tính, một chuỗi bốn bước thường đủ: dựng tam giác vuông; gọi đúng góc và cạnh; viết tỉ số; tính và kết luận có đơn vị. Với bài chứng minh, phải chỉ rõ vì sao hai góc bằng nhau, vì sao các tam giác đồng dạng hoặc bằng nhau và vì sao các mẫu số khác không.
Tam giác A BC vuông không suy biến nên A B , A C , BC , A H , B H , H C đều dương. Khi E là trung điểm HC, cũng có H E > 0 . Trong cấu hình kéo dài, B D = A B > 0 và HK = 2 B H > 0 . Các phép chia trong hai công thức tang vì thế có nghĩa.
Tách bài gốc và bài tự luyện: bài gốc giữ nguyên dữ kiện, ký hiệu và yêu cầu làm tròn; bài tự luyện thay số hoặc mở rộng một điều kiện để kiểm tra khả năng chuyển cách giải. Không dùng một hình có vẻ đúng thay cho chứng minh. Hình giúp đọc quan hệ, còn kết luận cần chuỗi lập luận.
- Kiểm tra quan hệ điểm: E thuộc H C , A , B , D theo đúng thứ tự, H thuộc cạnh huyền.
- Kiểm tra tỉ số: cạnh đối chia cạnh kề đối với tang; góc có đỉnh đúng chữ ở giữa.
- Kiểm tra kết quả: cạnh huyền dài nhất; tổng các đoạn chiếu bằng cạnh huyền; góc nhọn phù hợp với tỉ số.
- Kiểm tra cách trình bày: giữ giá trị chính xác, dùng ≈ cho xấp xỉ và ghi đơn vị ở kết luận.
Sau khi giải xong, hãy thử nói lại lời giải mà không nhìn dòng số. Nếu không giải thích được vì sao cộng hai độ cao hoặc vì sao xuất hiện hệ số hai, cần quay lại hình và điều kiện thay vì bấm máy thêm lần nữa.
Học theo mục tiêu, không theo tốc độ của người khác
Lần học đầu: đọc các quy tắc và tự giải đề gốc. Chỉ mở gợi ý khi chưa xác định được bước tiếp theo. Lần học sau: làm 12 câu chẩn đoán, thử mô hình và chọn một bài vận dụng. Quay lại phần lý thuyết tương ứng khi em chưa giải thích được vì sao một bước đúng.
Bộ đề đã cung cấp có 6 câu lớn với 10 ý: chuyên đề thứ nhất giải đủ 6 ý về đại số và mô hình; chuyên đề thứ hai giải đủ 4 ý về lượng giác và hình học. Các bài vận dụng và mô hình là phần được biên soạn thêm, được ghi riêng; không làm thay đổi yêu cầu của đề.
ĐỀ GỐC · LỜI GIẢI ĐƯỢC PHÁT TRIỂN
Tự làm trước, đối chiếu sau
Giữ dữ kiện và yêu cầu của đề đã cung cấp. Bảng tự kiểm giúp em xem lại điều kiện, mô hình, phép biến đổi và đơn vị; không phải thang điểm chính thức.
ĐỀ GỐC · C5
Câu 5 · Chiều cao của ăng-ten
Yêu cầu và dữ kiện
Từ nóc một tòa cao ốc tại vị trí B , người ta nhìn thấy đỉnh của một cây ăng-ten tại vị trí E tạo với phương nằm ngang B D một góc nâng 2 7 ∘ , và nhìn thấy chân của cây ăng-ten tại vị trí C tạo với phương nằm ngang B D một góc hạ 4 0 ∘ . Tính chiều cao EC của ăng-ten, biết khoảng cách nằm ngang B D = 120 m . Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét.
Bài tự luận gốc; giữ nguyên dữ kiện và yêu cầu, lời giải được triển khai trong bài học.
E , D , C thẳng hàng theo phương thẳng đứng và D nằm giữa E và C. Hai tam giác BDE và BDC vuông tại D; BD là cạnh kề chung của hai góc quan sát.
Cần thể hiện trong bài làm
- Tính D E bằng góc nâng 2 7 ∘ .
- Tính D C bằng góc hạ 4 0 ∘ .
- Cộng hai đoạn để có EC và làm tròn một lần ở cuối.
Gợi ý lộ trình — chưa mở đáp số