Trung điểm, hình chiếu, phân giác: dựng cầu nối để chứng minh

Tìm cấu trúc ẩn qua trung điểm, hình chữ nhật, đối xứng và đường tròn; chứng minh vuông góc và góc 45 với điều kiện đầy đủ, 3 thí nghiệm và 24 câu tự kiểm…

Cập nhật: 2026-10-04

Môn: Toán · Tài liệu THCS

LUKATO CHUYÊN ĐỀ TƯ DUY TOÁN HỌC

Trung điểm, hình chiếu, phân giác: dựng cầu nối để chứng minh

Đừng đuổi theo mọi đường trong hình. Tìm một cầu nối, chứng minh từng mắt xích và giữ đúng điều kiện của mỗi kết luận.

8 phần học sâu 3 thí nghiệm tương tác 24 câu tự kiểm tra

Học theo thứ tự, dự đoán rồi mới thử. Mỗi kết luận đều có điều kiện.

01

Đọc hình bằng các quan hệ đã cho

Một hình có nhiều đường vuông góc chưa chắc khó. Điều khó thường là tìm một cầu nối : trung điểm biến tỉ số thành đoạn bằng nhau; hình chiếu tạo góc vuông; đường tròn biến góc vuông thành quan hệ góc. Bài học này luyện cách chọn cầu nối, rồi chứng minh từng mắt xích thay vì đuổi theo mọi đường trong hình.

Đích đến và cách đọc hình

Dành cho tư duy hình học THCS: đường trung bình, hình chữ nhật, tam giác đồng dạng, phân giác, đường tròn và hệ thức lượng trong tam giác vuông. Các tam giác đều không suy biến. Kí hiệu một tích đoạn thẳng dùng độ dài không âm. “Đường thẳng” được kéo dài; “đoạn thẳng” chỉ gồm hai đầu mút và phần ở giữa. Ba thí nghiệm dùng tọa độ để kiểm tra, còn lời chứng minh hình học là cơ sở của kết luận.

01

Đọc giả thiết trước khi đọc dáng hình

Quy tắc. Ghi rõ điểm nào là trung điểm, điểm nào là hình chiếu và giao điểm thuộc đường hay đoạn. Từ hai đường cùng vuông góc với một đường, suy ra chúng song song; dùng ba góc vuông để nhận diện hình chữ nhật.

Vì sao đúng? Mỗi quan hệ là một lí do độc lập. Một hình chiếu xuống cạnh của góc vuông tạo đường song song với cạnh còn lại, nên một bài về hình chiếu có thể chuyển thành bài về đường trung bình.

Điều kiện. Hai cạnh tạo góc vuông phải có độ dài dương. Để có một hình chữ nhật thực sự, hai cạnh kề phải khác 0.

Khi nào không dùng được? Nếu một điểm chạy đến đỉnh A thì hai chân chiếu có thể trùng A: không còn đường nối hai chân để nói song song. Không suy ra độ dài hay góc bằng nhau chỉ vì hình trông cân đối.

Ví dụ 1. Trung điểm của cạnh huyền tạo một hình chữ nhật

Tam giác ABC vuông tại A. E là trung điểm BC. Hạ ED\perp AB và EH\perp AC. Chứng minh ADEH là hình chữ nhật và D,H là trung điểm hai cạnh góc vuông.

• Vì AB\perp AC và ED\perp AB, có ED\parallel AC. Tương tự, EH\parallel AB. Tứ giác ADEH có hai cặp cạnh đối song song và góc A vuông nên là hình chữ nhật.
• Trong tam giác BCA, đường qua trung điểm E của BC và song song CA cắt BA tại D. Định lí đường trung bình cho AD=DB=AB/2.
• Đường qua E song song AB cắt AC tại H, nên AH=HC=AC/2. Hai kết luận trung điểm đến từ giả thiết E, không phải chỉ từ hình chữ nhật.

Kết luận và kiểm tra

AD=AB/2,\quad AH=AC/2,\quad AE=DH=BC/2. Đẳng thức cuối còn dùng tính chất trung điểm cạnh huyền hoặc hai đường chéo hình chữ nhật.

Ví dụ 2. Cùng kiểu hình chiếu, chưa chắc cùng trung điểm

Giữ AB=8,\ AC=6. Lấy điểm P trong góc A, cách A theo hai phương AB, AC lần lượt là 2 và 3. Các hình chiếu xuống AB, AC có tự động là trung điểm không?

• Hai hình chiếu vẫn tạo một hình chữ nhật với A và P vì hai cạnh AB, AC vuông góc.
• Trung điểm AB cách A một đoạn 4, trong khi chân chiếu thứ nhất cách A 2. Nó không là trung điểm.
• Chân chiếu thứ hai cách A 3 nên riêng chân này là trung điểm AC. Một kết luận đúng không làm kết luận còn lại tự đúng.

Kết luận và kiểm tra

Muốn cả hai là trung điểm, cần thêm cấu trúc phù hợp, chẳng hạn P là trung điểm BC. Hãy ghi rõ giả thiết nào sinh ra mỗi kết luận.

02

Điểm trên trung tuyến: một tỉ số chung

Khi điểm chạy trên trung tuyến xuất phát từ góc vuông, hai hình chiếu không chạy tùy ý. Chúng cùng nhân với một tỉ số. Nhờ đó đường nối hai chân chiếu luôn giữ phương của cạnh huyền, còn độ dài thay đổi theo một quy luật đơn giản.

02

Điểm trên trung tuyến mang cùng một tỉ số sang hai cạnh

Quy tắc. Trong tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm BC. Với D\in AM,\ D\ne A, hạ DE\perp AB và DF\perp AC. Đặt t=AD/AM. Khi 0<t\le 1, AE/AB=AF/AC=t/2 và EF=t\,BC/2.

Vì sao đúng? Gọi U,V là hình chiếu của M: U,V là trung điểm AB,AC. Vì DE\parallel MU, tam giác ADE đồng dạng AMU; tương tự ADF đồng dạng AMV. Vậy E,F cùng tỉ số trên AB,AC, nên EF\parallel BC và tam giác AEF đồng dạng ABC.

Điều kiện. D thuộc đoạn AM, khác A; hai cạnh AB,AC dương. Tỉ số t là tỉ số độ dài nên không có đơn vị.

Khi nào không dùng được? Tại t=0, E,F,A trùng nhau: EF=0 vẫn đúng về độ dài nhưng “EF song song BC” không có nghĩa vì EF không xác định một đường. Nếu D ở đường AM ngoài đoạn, phải xét lại tỉ số và vị trí.

PHÒNG THÍ NGHIỆM

Điểm chạy trên trung tuyến: đường nối chân chiếu giữ nguyên phương

Nhập hai cạnh góc vuông nguyên từ 1 đến 20. Để các điểm và nhãn phân biệt được trên màn hình, thí nghiệm nhận các giá trị theo bước 0,05 trong 0.05\le t\le 1. Lời chứng minh vẫn áp dụng cho mọi 0<t\le1. Hình dùng cùng một tỉ lệ cho hai trục: góc vuông và độ dài không bị kéo méo. E,F là hình chiếu của D; M là trung điểm BC. Số liệu đo hiển thị gần đúng, còn các công thức tỉ số là chính xác.

Độ dài AB (1 đến 20) Độ dài AC (1 đến 20) Tỉ số AD / AM (từ 0,05 đến 1) Chọn kết luận đúng với mọi cấu hình hợp lệ

Chọn một kết luận tổng quát rồi bấm kiểm tra.

Trên màn hình hẹp, vuốt ngang sơ đồ để đọc đầy đủ các nhãn.

Sơ đồ và tỉ số sẽ cập nhật theo dữ liệu.

Thử trước khi đọc lời giải:

• Thử t bằng 1: D trùng M, nhưng E và F vẫn khác nhau. Vì sao EF bằng nửa BC?
• Thử t bằng 0,5 rồi 0,8: chiều của EF có đổi không? Độ dài thay đổi theo hệ số nào?
• Thử t bằng 0: ứng dụng từ chối cấu hình song song suy biến. Phân biệt đẳng thức độ dài còn đúng với một góc hoặc đường không còn được định nghĩa.

Ví dụ 3. Tìm vị trí thay vì đo hình

Với cấu hình ở thí nghiệm 1, tìm D để BC=4EF.

• Chuyển điều kiện thành EF/BC=1/4.
• Quy luật vừa chứng minh cho t/2=1/4, nên t=1/2.
• Vì AD/AM=1/2 và D thuộc đoạn AM, D là trung điểm AM. Giá trị này nằm trong 0<t\le1.

Kết luận và kiểm tra

D là trung điểm AM. Nếu chỉ nói “D là trung điểm một đoạn nào đó”, chưa đủ: phải nêu đúng đoạn AM.

Ví dụ 4. Từ tỉ số đến một độ dài

Cho AB=8,\ AC=6,\ AD/AM=3/5. Tính EF.

• Theo định lí Pythagore, BC=\sqrt{8^2+6^2}=10.
• Do D trên AM, EF=(3/5)\cdot10/2=3.
• Kiểm tra bằng hai cạnh hình chữ nhật: AE=(3/5)\cdot8/2=12/5 và AF=(3/5)\cdot6/2=9/5. Suy ra EF=\sqrt{(12/5)^2+(9/5)^2}=3.

Kết luận và kiểm tra

EF bằng 3 cùng đơn vị với AB, AC. Tỉ số 3/5 không được coi là một độ dài.

03

Đối xứng và hai đường tròn

Một điểm đối xứng qua trung điểm thường tạo ra tam giác cân. Một hình chiếu thường tạo ra đường tròn đường kính. Ghép đúng hai điều này có thể biến một kết luận vuông góc rất khó nhìn thành hệ thức Pythagore đảo.

03

Đối xứng tạo đoạn bằng nhau; hình chiếu tạo một đường tròn

Quy tắc. Nếu D là trung điểm EF và I là hình chiếu của E lên đường AF, thì DI=DE=DF. Khi I khác E,F, \angle EIF=90^\circ vì A,I,F thẳng hàng, nên I thuộc đường tròn đường kính EF. Nếu I trùng E hoặc F, đẳng thức bán kính đúng ngay từ điểm trùng ấy, không cần gọi góc EIF.

Vì sao đúng? Góc vuông EIF đưa I lên đường tròn đường kính EF. Tâm là trung điểm D, nên DI là một bán kính. Hai đầu E,F cũng thuộc đường tròn; nếu I trùng một đầu, dùng trực tiếp DI=DE hoặc DI=DF.

Điều kiện. E và F khác nhau, A và F khác nhau; I là chân chiếu trên đường thẳng AF. Chỉ gọi góc EIF khi I khác cả E lẫn F. Khi dùng góc khác có I, cũng phải kiểm tra I không trùng điểm tạo góc ấy.

Khi nào không dùng được? Không kết luận I là trung điểm AF: chân đường cao không phải trung điểm nói chung. Cũng không suy ra DI vuông góc IH chỉ từ DI bằng DE; cần thêm một quan hệ chứa H.

Ví dụ 5. Từ điểm đối xứng đến hai kết luận khó

Trong Ví dụ 1, thêm AB>AC. Lấy F sao cho D là trung điểm EF. Hạ EI\perp AF tại I. Chứng minh IH\perp ID và \angle IAD=\angle IHD.

• Đặt \theta=\angle DAF. Vì D là trung điểm EF và AD vuông góc EF, tam giác AEF cân tại A: \angle EAD=\theta. Điều kiện AD>DE cho 0<\theta<45^\circ; I thuộc đoạn AF và không trùng A.
• Hai góc \angle AIE và \angle AHE đều vuông nên A,I,E,H cùng thuộc đường tròn đường kính AE. Suy ra \angle EIH=\angle EAH=90^\circ-\theta. Mặt khác, EI\perp AF và EH\parallel AD cho \angle IEH=90^\circ-\theta. Tam giác EIH cân, nên HI=HE=AD.
• Vì I thuộc đường tròn đường kính EF và D là tâm, DI=DE. Trong tam giác vuông HED, HD^2=HE^2+ED^2=HI^2+ID^2. Pythagore đảo trong tam giác HID cho IH\perp ID.
• Hai góc \angle DAH và \angle DIH đều vuông, nên A,D,I,H cùng thuộc đường tròn đường kính DH. A,H nằm cùng phía đối với đường DI trong cấu hình AB>AC. Hai góc nội tiếp cùng chắn cung ID cho \angle IAD=\angle IHD.

Kết luận và kiểm tra

Cầu nối là hai đường tròn khác nhau: đường kính AE giúp có HI bằng HE; đường kính DH cho góc bằng nhau. Điều kiện AB>AC giữ các góc trong lời chứng minh đúng vị trí, không phải một chi tiết có thể bỏ tùy ý.

Một hình chiếu, nhiều đường tròn: đừng đổi tâm

Cách nghĩ dễ sai: “I thuộc đường tròn đường kính EF nên HI bằng DE.”

Sửa lại: Tâm là D, nên đoạn bán kính là DI. Độ dài HI phải được chứng minh riêng từ tam giác EIH.

Kiểm tra bằng một ví dụ: Với AD=3,\ DE=1, DI=1 nhưng HI=3. Chúng khác nhau dù cùng có đầu mút I.

04

Ba trung điểm và một góc vuông mới

Ba trung điểm không chỉ tạo các đường trung bình. Trong tam giác vuông, chúng tạo một hình chữ nhật nhỏ. Khi thêm chân đường cao, ta còn có hai tam giác vuông với cạnh huyền là hai cạnh góc vuông của hình lớn. Đây là cách tạo hai độ dài bằng một nửa mà không phải tính tọa độ.

04

Trung điểm cạnh huyền của từng tam giác vuông là một tâm

Quy tắc. Nếu AI\perp BC, M là trung điểm AB và Q là trung điểm AC, thì MI=MA=MB=AB/2 và QI=QA=QC=AC/2.

Vì sao đúng? Tam giác AIB vuông tại I có AB là cạnh huyền: M cách đều A,I,B. Tam giác AIC vuông tại I có AC là cạnh huyền: Q cách đều A,I,C.

Điều kiện. ABC vuông tại A; I là chân đường cao trên BC. M,Q thực sự là trung điểm. I không trùng A,B,C trong một tam giác vuông không suy biến.

Khi nào không dùng được? Đừng dùng BC làm cạnh huyền của tam giác AIB: B,I,C thẳng hàng nhưng C không phải đỉnh của tam giác đang xét. Nếu cần hình thang INQM không suy biến, loại trường hợp AB=AC làm I trùng trung điểm BC.

Ví dụ 6. Hình thang cân nằm trong một tam giác vuông

Tam giác ABC vuông tại A, AB<AC. M,N,Q lần lượt là trung điểm AB,BC,CA. Hạ AI vuông góc BC. Qua A kẻ đường song song BC, cắt đường NQ tại K. Chứng minh AMNQ là hình chữ nhật, AK\parallel MQ và INQM là hình thang cân.

• Các đường trung bình cho MN\parallel AC, NQ\parallel AB. Cùng với góc A vuông, AMNQ là hình chữ nhật.
• MQ là đường trung bình của tam giác ABC nên MQ\parallel BC. Đường AK được dựng song song BC; do đó AK\parallel MQ. Điểm K nằm trên phần kéo dài NQ về phía Q, không phải trong đoạn NQ.
• I,N cùng thuộc BC, nên IN\parallel MQ. M là trung điểm cạnh huyền AB của tam giác vuông AIB, nên IM=AB/2. Đường trung bình NQ cũng có NQ=AB/2. Hai cạnh bên IM,NQ bằng nhau; vì AB<AC, I khác N và hình thang INQM không suy biến.

Kết luận và kiểm tra

INQM là hình thang cân với hai đáy IN,MQ và hai cạnh bên IM,NQ. Không gọi NQ là đáy: nó thuộc cặp cạnh bên trong thứ tự đỉnh đã ghi.

Ví dụ 7. Hai bán kính tạo một góc vuông mới

Giữ M,Q,I của Ví dụ 6. Chứng minh MI\perp QI.

• Hai tam giác vuông AIB và AIC cho MI=AB/2 và QI=AC/2.
• MQ là đường trung bình, nên MQ=BC/2. Pythagore ở ABC cho BC^2=AB^2+AC^2.
• Suy ra MQ^2=MI^2+QI^2. Trong tam giác MIQ, MQ là cạnh đối diện góc MIQ; Pythagore đảo cho góc này vuông.

Kết luận và kiểm tra

MI\perp QI. Kết luận vuông góc này vẫn đúng nếu AB=AC, dù khi đó hình thang của Ví dụ 6 suy biến vì I=N. Phải xét điều kiện cho từng kết luận, không gộp tất cả thành một điều kiện duy nhất.

05

Hình chữ nhật: tìm đúng tâm đối xứng

Hai điểm nằm cách hai đầu cạnh một khoảng bằng nhau gợi ý phép đối xứng qua đường trung trực. Nếu ta tìm được một tâm nằm trên đường trung trực ấy, một điểm có thể đưa điểm còn lại lên cùng đường tròn. Đó là cầu nối để chứng minh góc vuông tại một điểm không phải chân hình chiếu ban đầu.

05

Khoảng cách từ hai đầu bằng nhau là một lời mời tìm đối xứng

Quy tắc. Trong hình chữ nhật ABCD, lấy I,K\in CD sao cho DI=CK. Nếu O thuộc đường trung trực CD thì I,K đối xứng qua đường ấy, nên OI=OK.

Vì sao đúng? Gọi Q là trung điểm CD. Hai khoảng cách DI,CK bằng nhau đặt I,K ở hai vị trí đối xứng quanh Q. Phép đối xứng qua đường vuông góc CD tại Q cố định O, nên bảo toàn khoảng cách đến O.

Điều kiện. I,K thuộc đúng cạnh CD và DI=CK. Để thực hiện đầy đủ cấu hình có tam giác BKM bên dưới, dùng I là điểm trong cạnh CD: 0<DI<DC.