Toán · 01/06 · Tập hợp, chữ số và cách đếm
Tư duy nền tảng · Đọc đúng điều kiện · Phân biệt giá trị hàng · Xếp chữ số có hệ thống · Kiểm tra tính duy nhất
LUKATO · MATHEMATICS STUDIO
TOÁN · TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ · BÀI 01
Tập hợp, chữ số và cách đếm
Đọc đúng điều kiện · Phân biệt giá trị hàng · Xếp chữ số có hệ thống · Kiểm tra tính duy nhất
- Đọc dữ kiện
- Dựng mô hình
- Kiểm tra kết luận
01
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Từ một điều kiện đến một danh sách chính xác
Một kí hiệu nhỏ có thể thay đổi cả đáp án. Bài học này rèn ba thói quen: đọc đúng điều kiện, liệt kê có hệ thống và kiểm tra từng phần tử.
Mục tiêu 1
Đọc và viết tập hợp
Phân biệt phần tử với tập hợp; chuyển qua lại giữa hình vẽ, cách liệt kê và điều kiện xác định.
Mục tiêu 2
Hiểu cấu tạo thập phân
Phân biệt chữ số ở một hàng với số nhóm trăm trọn vẹn; giải thích vì sao chữ số đầu tiên không thể bằng 0.
Mục tiêu 3
Kiểm soát khả năng
Dựng nhánh theo hàng, loại trường hợp vi phạm và kiểm tra tính duy nhất khi nhiều điều kiện cùng xuất hiện.
Điểm xuất phát · 60–80 phút
Cần biết thứ tự các số tự nhiên, hàng đơn vị–chục–trăm–nghìn và phép cộng, trừ. Các câu nền tảng thường cần 1–3 phút; bài chuyển giao tổng hợp cần 4–7 phút. Có thể học hai lượt: khái niệm và đề bài trước, phòng thí nghiệm và tự kiểm sau.
Quy ước trước khi tính
Trong bài học, và . Một số tự nhiên có ba chữ số nằm từ đến . Dấu chấm phẩy ngăn các phần tử, không phải phép toán.
Tập hợp chỉ ghi mỗi phần tử một lần. Thứ tự liệt kê không thay đổi tập hợp: . Trái lại, thứ tự chữ số làm đổi số: .
1 · ĐỌC Khoanh từ “sai”, “khác nhau”, “đồng thời”; xác định các đầu mút.
2 · DỰNG Đặt từng điều kiện vào bảng, hình hoặc cây nhánh.
3 · KIỂM Thế từng kết quả vào mọi điều kiện ban đầu.
02
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Tập hợp: thuộc, không thuộc và vùng bên trong
Không đọc hình bằng khoảng cách gần tên chữ. Một điểm thuộc tập hợp khi điểm ấy nằm bên trong đường bao của tập hợp đó.
Mệnh đề về một phần tử
nghĩa là “ là một phần tử của ”. nghĩa là “ không là một phần tử của ”. Hãy đổi kí hiệu thành một câu tiếng Việt rồi đối chiếu danh sách.
Điều kiện mô tả tập hợp
yêu cầu ba điều cùng đúng: là số tự nhiên, lớn hơn và không vượt quá . Không được chọn chỉ một trong hai bất đẳng thức.
Đề bài gốc
Tìm phát biểu sai
Cho tập hợp . Khẳng định nào sau đây là sai ?
A.
B.
C.
D.
Lời giải từng bước
Khái niệm: quan hệ thuộc tập hợp. Trước tiên xác định đề cần phát biểu sai, rồi kiểm tra từng lựa chọn.
- xuất hiện trong danh sách nên A đúng.
- không xuất hiện; phát biểu “không thuộc” ở B đúng.
- xuất hiện nên C đúng.
- không xuất hiện; phát biểu “thuộc” ở D sai.
Chọn D. Việc là số tự nhiên không làm nó tự động trở thành phần tử của mọi tập hợp số tự nhiên.
Bẫy cần tránh
Đề hỏi phát biểu sai. Khoanh A vì thấy số 1 trong tập hợp là trả lời ngược yêu cầu; đọc như cũng dẫn đến nhầm B.
Đề bài gốc
Giữ đúng hai đầu mút
Cho . Tập hợp viết dưới dạng liệt kê là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải từng bước
Khái niệm: bất đẳng thức nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt.
- loại số ; số tự nhiên nhỏ nhất được nhận là .
- nhận ; không nhận .
- Liệt kê liên tiếp từ đến : .
Chọn D. A nhận thừa ; B nhận thừa và bỏ ; C bỏ .
Kiểm tra nhanh: có phần tử. Chỉ khi hai đầu mút đều được nhận mới dùng công thức “cuối trừ đầu cộng một” trên đoạn đã xác định.
Bẫy cần tránh
Dấu loại đầu mút; dấu nhận đầu mút. Tập hợp các số tự nhiên không chứa dù số ấy nằm giữa 4 và 9.
Đề bài gốc
Một điểm trong M cũng nằm trong K
Cho hình vẽ sau đây. Tập hợp viết dưới dạng liệt kê là:
Đường bao lớn biểu diễn K; đường bao nhỏ biểu diễn M. Chỉ đọc vị trí của chấm, không đọc vị trí chữ ghi tên.
A.
B.
C.
D.
Lời giải từng bước
Khái niệm: đọc tập hợp từ sơ đồ lồng nhau.
- Đi trong đường bao lớn và ghi .
- Đường bao nhỏ nằm hoàn toàn trong đường bao lớn, nên các điểm cũng thuộc .
- và nằm ngoài đường bao lớn, nên loại chúng.
Chọn C. A đưa vào và bỏ nhiều điểm; B đưa vào hai điểm ngoài hình; D giữ điểm nhưng đưa thêm và bỏ sáu phần tử của .
Đọc sâu: . Mỗi phần tử của đều là phần tử của ; viết . Kí hiệu này liên hệ hai tập hợp , khác liên hệ một phần tử và một tập hợp .
Bẫy cần tránh
Không loại các điểm bên trong M khỏi K. Đường bao M không tạo một “lỗ” trong K. Tên tập hợp K, M viết hoa; điểm k viết thường là một phần tử khác.
Phòng thí nghiệm 1 · Điểm thuộc vùng nào? DỰ ĐOÁN · ĐỐI CHIẾU
Chọn một điểm, dự đoán hai quan hệ thuộc, rồi mở kết luận. Thử điểm nằm trong M, điểm chỉ nằm trong K và điểm ở ngoài K để kiểm tra ba tình huống khác nhau.
Điểm cần kiểm tra Dự đoán
Điểm a đang được đánh dấu. Chọn dự đoán rồi kiểm tra.
Hình cố định; chỉ điểm đang xét thay đổi. Không có trường hợp ở trong M mà ngoài K vì đường bao M nằm hoàn toàn trong K.
03
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Chữ số, giá trị hàng và số nhóm trọn vẹn
Trong 9753, chữ số hàng trăm là 7, nhưng số trăm trọn vẹn là 97. Cùng một số, hai câu hỏi khác nhau.
Phân tích số 9753 theo hàng
Hàng · Nghìn · Trăm · Chục · Đơn vị
Chữ số · 9 · 7 · 5 · 3
Giá trị đóng góp · 9000 · 700 · 50 · 3
Một chữ số ở một hàng
Chữ số hàng trăm là . Nó đóng góp vào số . Đây là thông tin vị trí trong cách viết thập phân.
Số trăm trọn vẹn
. Có nhóm trăm trọn vẹn và còn đơn vị. Số trăm là thương nguyên khi chia cho .
Đề bài gốc
Phân biệt số trăm và chữ số hàng trăm
Cho số tự nhiên có bốn chữ số . Phát biểu nào sau đây sai ?
A. Chữ số hàng chục là .
B. Số trăm là .
C. .
D. Là số tự nhiên lớn nhất có chữ số.
Lời giải từng bước
Khái niệm: cấu tạo thập phân và giá trị lớn nhất theo số chữ số.
- Hàng chục chứa , nên A đúng.
- , với , nên B đúng.
- Cộng các giá trị theo hàng được , nên C đúng.
- Số tự nhiên lớn nhất có bốn chữ số là , không phải , nên D sai.
Chọn D. Kiểm tra cực đại bằng một phản ví dụ cũng đủ: và vẫn có bốn chữ số.
Bẫy cần tránh
“Số trăm” không phải “chữ số hàng trăm”. Không chọn B vì nhầm 97 với 7. Số có chữ số đầu là 9 chưa chắc đã lớn nhất; phải xét các hàng tiếp theo.
Tự giải thích, không học thuộc
Nếu thay bằng , chữ số hàng trăm vẫn là , số trăm vẫn là , nhưng chữ số hàng chục trở thành . Giá trị của một hàng có thể bằng 0 mà số vẫn có bốn chữ số.
04
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Xếp chữ số: tránh số 0 đứng đầu và đếm hai lần
Một danh sách đáng tin cậy phải có quy tắc tạo ra nó. Ta chia theo chữ số hàng trăm, rồi xét hai thứ tự còn lại.
Đề bài gốc
Ba chữ số 0, 6, 8 tạo được bao nhiêu số?
Dùng ba chữ số để viết số tự nhiên. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số mà các chữ số khác nhau?
A.
B.
C.
D.
Lời giải từng bước
Khái niệm: liệt kê theo nhánh và điều kiện của số có ba chữ số.
- Vì chỉ có ba chữ số cho ba vị trí và các chữ số khác nhau, mỗi số sử dụng đúng một lần.
- Hàng trăm không thể là . Có hai nhánh: bắt đầu bằng hoặc .
- Nhánh cho và . Nhánh cho và .
Chọn C: có bốn số. Mỗi số có đúng một chữ số đầu, nên hai nhánh không trùng. Trong mỗi nhánh, hai chữ số còn lại chỉ đổi được hai thứ tự, nên không thiếu số nào.
Cách đếm ngắn: . A chỉ đếm lựa chọn hàng trăm; B không có một danh sách đầy đủ tương ứng; D thường xuất hiện khi chỉ loại một trong hai chuỗi bắt đầu bằng 0. Cả và đều không biểu diễn số tự nhiên có ba chữ số.
Bẫy cần tránh
Không tính 068 hoặc 086 là số có ba chữ số. Không cho phép 660 vì các chữ số phải khác nhau. Đếm thứ tự chữ số, không chỉ đếm số chữ số.
Phòng thí nghiệm 2 · Cây xếp chữ số TẠO · LỌC · ĐẾM
Đổi bộ chữ số hoặc bộ lọc hàng trăm. Trước khi bấm “Liệt kê”, hãy dự đoán có bao nhiêu số được nhận. Cây chỉ giữ những nhánh có ba chữ số khác nhau và chữ số đầu khác 0.
Bộ chữ số Hàng trăm Số lượng dự đoán
Bộ 0, 6, 8 đã sẵn sàng. Chưa mở kết quả.
Chọn hàng trăm 0 để thấy một nhánh bị loại hoàn toàn. Bộ 1, 2, 3 không chứa 0 nên có nhiều số hơn bộ 0, 6, 8.
Vì sao phép nhân dùng được?
Không phải cứ thấy ba vị trí là nhân ba số tùy ý. Sau khi chọn hàng trăm, ta phải đếm đúng số lựa chọn còn lại. Trong đề này: hai cách cho hàng trăm, hai cách cho hàng chục sau mỗi lựa chọn ấy và một cách cho hàng đơn vị. Số lựa chọn ở mỗi bước ổn định nên phép nhân phù hợp.
Nếu thêm điều kiện “số chẵn”, nhánh cuối và nhánh cuối hoặc có thể có số cách khác nhau. Khi đó nên chia theo chữ số cuối trước, thay vì dùng một tích cho tất cả mà không kiểm tra.
05
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Ba điều kiện đồng thời: tìm nghiệm rồi tính
Đừng tính a + b − c trước khi biết ba số nào được phép. Các giới hạn riêng phải được kết hợp với thứ tự a < b < c.
Đề bài gốc
Ép ba số bằng thứ tự nghiêm ngặt
Ba số tự nhiên đồng thời thỏa mãn , và . Tính .
A.
B.
C.
D.
Lời giải từng bước
Khái niệm: giao các điều kiện và tính rời rạc của số tự nhiên.
- Từ , chỉ có hoặc .
- Nếu , điều kiện cho . Không có số tự nhiên nằm nghiêm ngặt giữa và . Vậy nhánh này bị loại.
- Phải có . Khi đó cần hai số tự nhiên khác nhau giữa và , theo thứ tự tăng: , .
- Thế lại: , , . Tất cả đúng.
Chọn B. A bỏ qua số hạng ; C thường do đặt và làm trùng ; D thường do cho mà không kiểm tra còn chỗ cho .
Cách nhìn khác: mọi số đều thuộc vì . Có ba số phân biệt cần chọn từ đúng ba số này, nên thứ tự duy nhất là .
Bẫy cần tránh
Không chọn a = 14 chỉ vì riêng 11 < a < 15 đúng. Mỗi bộ phải thỏa cả ba điều kiện. “Số tự nhiên” tạo ra bước nhảy nguyên; với số thực, có thể đặt nhiều số giữa 12 và 13.
Khi nào một biểu thức có giá trị duy nhất?
Có thể có đúng một bộ thỏa điều kiện, như đề trên. Cũng có thể có nhiều bộ nhưng mọi bộ cho cùng giá trị biểu thức. Vì vậy phải kiểm tra cả tập nghiệm và giá trị yêu cầu; một bộ tìm được chưa đủ để khẳng định kết quả duy nhất.
06
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Tám bài chuyển giao có lời giải
Mỗi bài thay đổi một cấu trúc quan trọng: đầu mút, vùng lồng nhau, chữ số 0, điều kiện chẵn hoặc số lượng nghiệm. Hãy thử tự làm trước khi mở lời giải.
Luyện chuyển giao 01
Đầu mút đổi thì danh sách đổi
Nền tảng · 2 phút. Viết dưới dạng liệt kê. Tập hợp có bao nhiêu phần tử?
Mở lời giải
Bước 1: dấu nhận ; dấu loại .
Bước 2: ghi các số tự nhiên .
Bước 3: đếm phần tử. Thế và đều thỏa; và không thỏa. Không liệt kê vì điều kiện loại nó.
Luyện chuyển giao 02
Phần tử nào chỉ thuộc tập lớn?
Nền tảng · 3 phút. Cho và . Mỗi phần tử của đều thuộc . Liệt kê các phần tử thuộc nhưng không thuộc . Có bao nhiêu phần tử thuộc đồng thời cả hai tập?
Mở lời giải
Bước 1: từ danh sách của , bỏ và vì chúng thuộc . Phần còn lại là .
Bước 2: do nằm trong , phần chung chính là , có hai phần tử.
Kiểm tra: ba phần tử chỉ ở và hai phần tử chung tạo đủ năm phần tử của . Không đưa tên tập vào danh sách phần tử vì đề không định nghĩa là một phần tử của .
Luyện chuyển giao 03
Số trăm của một số có chữ số 0
Nền tảng · 3 phút. Với số , tìm chữ số hàng trăm, số trăm trọn vẹn và giá trị của chữ số hàng chục.
Mở lời giải
Bước 1: viết . Chữ số hàng trăm là .
Bước 2: chia thành nhóm trăm: , với . Số trăm trọn vẹn là .
Bước 3: hàng chục chứa , nên giá trị đóng góp là .
Kiểm tra: . Chữ số hàng trăm bằng 0 không đồng nghĩa số trăm bằng 0; bốn nghìn đã tạo thành 40 nhóm trăm.
Luyện chuyển giao 04
Đổi bộ chữ số, giữ cấu trúc đếm
Nền tảng · 3 phút. Dùng các chữ số , mỗi chữ số đúng một lần, để viết các số tự nhiên có ba chữ số. Liệt kê theo thứ tự tăng và tìm số lớn nhất.
Mở lời giải
Bước 1: hàng trăm có thể là hoặc .
Bước 2: hai nhánh cho và . Danh sách tăng là .
Bước 3: số lớn nhất là : đặt chữ số lớn nhất ở hàng trăm, rồi chữ số lớn hơn trong hai chữ số còn lại ở hàng chục.
Kiểm tra: có số; tất cả có ba chữ số, dùng đúng và không lặp. Các chuỗi và bị loại vì bắt đầu bằng 0.
Luyện chuyển giao 05
Thêm điều kiện chẵn: chia theo chữ số cuối
Vận dụng · 5 phút. Dùng bốn chữ số , mỗi chữ số đúng một lần, để viết số tự nhiên có bốn chữ số. Có bao nhiêu số như vậy? Trong đó có bao nhiêu số chẵn?
Mở lời giải
Bước 1 · Tất cả: hàng nghìn có ba lựa chọn . Ba chữ số còn lại có thứ tự. Vậy có số.
Bước 2 · Số chẵn tận cùng 0: ba chữ số đặt trước theo thứ tự, đều hợp lệ.
Bước 3 · Số chẵn tận cùng 4: hàng nghìn chỉ là hoặc , có hai cách; hai chữ số còn lại có hai thứ tự. Có số.
Kết luận: có số chẵn. Hai nhóm tận cùng 0 và tận cùng 4 không trùng và đã phủ hết chữ số chẵn có thể dùng.
Kiểm tra bằng danh sách: nhóm cuối 0 gồm ; nhóm cuối 4 gồm . Không nhân cho phần chẵn vì khi chữ số cuối là 4, số lựa chọn chữ số đầu giảm.
Luyện chuyển giao 06
Tổng các số không cần cộng từng số
Vận dụng · 5 phút. Dùng các chữ số , mỗi chữ số đúng một lần, để viết tất cả các số có ba chữ số. Tính tổng các số đó.
Mở lời giải
Bước 1: không có chữ số 0, nên có số: .
Bước 2: cố định một chữ số ở hàng trăm. Hai chữ số còn lại đổi được hai thứ tự. Vì thế mỗi chữ số xuất hiện đúng hai lần ở hàng trăm; lập luận tương tự cho hàng chục và đơn vị.