Từ đời sống đến đơn thức, đa thức
Học cách biến tình huống đời sống thành mô hình đại số: đọc biến và đơn vị, gom đồng dạng, tính diện tích và dung tích, mở gói hàng và kiểm tra điều kiện vận…
LUKATO · TOÁN THCS · CHUYÊN ĐỀ 01/02
Từ đời sống đến đơn thức, đa thức
Diện tích, thể tích, chi phí và tổng vận tốc
Học cách biến tình huống đời sống thành mô hình đại số: đọc biến và đơn vị, gom đồng dạng, tính diện tích và dung tích, mở gói hàng và kiểm tra điều kiện vận tốc. Sáu bài gốc được giải đầy đủ, kèm chẩn đoán lỗi và bài vận dụng có lời giải.
12 Ý từ đề gốc · đầy đủ lời giải
12 Câu chẩn đoán · phân tích lựa chọn
6 Bài vận dụng · đổi dữ kiện
3 Mô hình · thử và giải thích
Giải có căn cứ: đọc điều kiện → chọn quy tắc → thử tự làm → đối chiếu từng bước → giải một tình huống mới.
HIỂU BẢN CHẤT · 01
Đọc đại lượng trước khi viết biểu thức
Một chữ trong bài toán không chỉ là chỗ trống để thay số: nó có một vai trò. Trước khi tính, hãy ghi rõ chữ biểu thị số đo độ dài, giá tiền hay số lượng. Trong bài hình học, nếu cạnh được viết là x m , thì x là giá trị số đo theo mét . Khi hai cạnh có số đo x và y theo mét, diện tích có số đo x y theo mét vuông.
Trong bài mua sắm, nếu một quyển vở có giá x đồng thì 5 x là giá của năm quyển, không phải số quyển. Cùng chữ x có thể mang vai trò khác ở bài khác; không được chuyển ý nghĩa từ bài trước sang bài sau.
Tình huống · Vai trò của biến · Đại lượng cần tìm
Hình chữ nhật · x , y : số đo hai cạnh theo mét · x y m 2
Vở và bút · x , y : giá một món theo đồng · ( 5 x + 3 y ) đồng
Phần quà · x : số gói bánh mỗi phần; y : số phần · Tổng chi phí theo nghìn đồng
Câu hỏi định hướng: “Mình đang đếm cái gì? Mỗi cái bao nhiêu? Kết quả đo bằng gì?” Hãy trả lời trước khi chọn phép tính. Điều kiện cũng đi cùng vai trò: cạnh của một bể thực phải dương; số phần quà nguyên vẹn là số nguyên không âm; giá tiền trong mô hình không nhất thiết được giả định là số nguyên.
HIỂU BẢN CHẤT · 02
Đơn thức, đa thức và bậc: nhìn vào cấu trúc
Đơn thức là một số hoặc tích của một số với các biến có số mũ nguyên không âm. Ví dụ 14 , 4 x y , − π r 2 , x 3 đều là đơn thức; trong bài hình tròn, π là hằng số. Một tổng các đơn thức là đa thức. Khi xét 3 x h − π r 2 theo các biến x , h , r , ta có hai hạng tử.
Trong 14 , 4 x y , hệ số là 14 , 4 , phần biến là x y ; bậc của đơn thức là 1 + 1 = 2 . Trong 3 x y 2 , hệ số là 3 , bậc là 1 + 2 = 3 . Không lấy hệ số làm bậc, cũng không chỉ nhìn một số mũ lớn nhất khi có nhiều biến.
Bậc của đa thức khác không là bậc lớn nhất trong các hạng tử còn lại sau thu gọn. Chẳng hạn 3 x y 2 + 4 x 2 y có bậc 3 . Đa thức 5 x + 3 y có bậc 1 , dù có hai biến. Đa thức 3 x h − π r 2 có bậc 2 , vì mỗi hạng tử đều có tổng số mũ bằng 2 .
Biểu thức x 10 không phải đơn thức theo x trong nghĩa trên: biến ở mẫu tương ứng số mũ âm và biểu thức không xác định tại x = 0 . Khi gọi tên biểu thức, hãy kiểm tra cấu trúc thay vì chỉ đếm số chữ.
HIỂU BẢN CHẤT · 03
Thu gọn đồng dạng: giữ phần biến, cộng hệ số
Hai đơn thức đồng dạng khi có cùng phần biến sau khi sắp xếp các thừa số. Vì phép nhân giao hoán, x y 2 và y 2 x là cùng một phần biến. Tuy nhiên x y 2 và x 2 y khác nhau: số mũ của từng biến phải khớp.
Quy tắc cốt lõi là a M + b M = ( a + b ) M , trong đó M là phần biến chung. Ví dụ:
3 x y 2 + 2 x 2 y + 2 x 2 y = 3 x y 2 + ( 2 + 2 ) x 2 y = 3 x y 2 + 4 x 2 y .
Hãy gom theo từng “ngăn”: một ngăn dành cho x y 2 , một ngăn dành cho x 2 y . Không cộng hệ số giữa hai ngăn. Đơn thức có hệ số âm vẫn đi vào đúng ngăn: 3 x y 2 − 2 x y 2 = ( 3 − 2 ) x y 2 = x y 2 .
Vì sao x + y không thể thu gọn thành 2 x y ? Với x = 2 , y = 3 , vế thứ nhất bằng 5 , vế thứ hai bằng 12 . Một phép biến đổi đúng phải giữ giá trị với mọi bộ số thuộc điều kiện đang xét. Ví dụ số giúp bác bỏ một quy tắc sai; một lần thay số đúng không đủ chứng minh hai biểu thức luôn bằng nhau.
Thói quen hữu ích: sắp phần biến theo thứ tự chữ, khoanh số mũ, rồi cộng hệ số. Cuối cùng rà dấu âm và kiểm tra xem còn hai hạng tử nào đồng dạng hay không.
HIỂU BẢN CHẤT · 04
Từ câu văn đến tổng, hiệu và tích
Không chọn phép tính chỉ vì thấy một từ quen thuộc. “Tổng chi phí” có thể chứa nhiều phép nhân trước khi cộng: số món nhân giá mỗi món. “Diện tích còn lại” là diện tích toàn bộ trừ phần bị khoét, chứ không phải trừ bán kính.
Ba mô hình nền tảng:
- Gộp các lượng cùng loại: T = A + B , như tổng lượng nước trong hai bể.
- Lấy phần còn lại: R = A − B , với A và B cùng là diện tích hoặc cùng là tiền.
- Lặp lại một phần giống nhau: T = n C , như n phần quà, mỗi phần trị giá C .
Nếu có hai tầng đóng gói, hãy đi từ trong ra ngoài. Năm xấp vở, mỗi xấp mười quyển, tạo thành 5 ⋅ 10 = 50 quyển. Giá trị tương ứng là 50 x , không phải 5 x + 10 . Ba hộp bút, mỗi hộp hai mươi chiếc, có giá 3 ⋅ 20 y = 60 y .
Chú ý quan hệ hơn là thứ tự đọc. Một phần quà có x ki-lô-gam gạo và x gói bánh: hai vật khác loại dùng cùng một giá trị số lượng, nhưng đơn vị đếm vẫn khác nhau. Sau khi nhân với đơn giá, cả hai trở thành tiền và mới có thể cộng. Đây là lý do biểu thức 10 x + 30 x hợp lệ trong mô hình tiền, còn “ki-lô-gam cộng gói” thì không phải phép cộng đại lượng có nghĩa.
HIỂU BẢN CHẤT · 05
Công thức hình học phải đi cùng tên hình và đơn vị
Hình · Chu vi · Diện tích
Hình vuông cạnh a · 4 a · a 2
Hình chữ nhật cạnh a , b · 2 ( a + b ) · ab
Hình bình hành: đáy a , cạnh bên b , chiều cao h · 2 ( a + b ) · ah
Hình thang: hai đáy a , b , hai cạnh bên c , d , chiều cao h · a + b + c + d · 2 ( a + b ) h
Các chiều dài trong một công thức phải dùng cùng đơn vị. Nếu đo cạnh theo mét thì chu vi tính theo mét, diện tích theo mét vuông. Chiều cao là khoảng cách vuông góc với đáy; cạnh bên nghiêng không thể tự động thay cho chiều cao.
Hình thoi là trường hợp hình bình hành có bốn cạnh bằng nhau. Khi a = b , công thức 2 ( a + b ) trở thành 4 a ; tên “hình thoi” đòi hỏi điều kiện bằng nhau này. Đối với hình bình hành nói chung, hai cạnh kề có thể khác nhau.
Hình tròn bán kính r có diện tích π r 2 . Khi khoét một lỗ tròn nằm hoàn toàn trong tấm hình thang, phần vật liệu còn lại là hiệu hai diện tích. Điều kiện “lỗ nằm trong tấm” là điều kiện về vị trí và kích thước; chỉ kiểm tra diện tích lỗ nhỏ hơn diện tích tấm chưa đủ để khẳng định lỗ đặt vừa.
Minh họa theo bộ số của Ví dụ 1b: đáy lớn 10 m , đáy nhỏ 5 m , chiều cao 3 , 5 m , bán kính 0 , 3 m . Vị trí lỗ trong hình chỉ là một cách bố trí phù hợp.
HIỂU BẢN CHẤT · 06
Diện tích kính và dung tích là hai câu hỏi khác nhau
Bể hình lập phương cạnh x cm có dung tích lí tưởng x ⋅ x ⋅ x = x 3 c m 3 . Để tính kính, đếm các mặt cần dùng: bể không có nắp gồm một đáy và bốn thành, tổng cộng năm mặt hình vuông.
S k ı ˊ nh = 5 x 2 c m 2 , V = x 3 c m 3 .
Mô hình coi bề dày kính không đáng kể và kích thước cho phép tính phần chứa nước; không cộng phần nối kính hay hao hụt gia công. Nếu đề hỏi “các đại lượng trên”, phải thay số vào cả diện tích kính lẫn dung tích.
Mỗi mặt kính là hình vuông cạnh x cm . Tính diện tích kính bằng số mặt cần dùng; tính dung tích bằng tích ba kích thước.
Đối với bể hình hộp chữ nhật, thể tích là diện tích đáy nhân độ sâu. Khi hai kích thước đáy cùng gấp ba, diện tích đáy gấp 3 ⋅ 3 = 9 lần. Muốn kết luận thể tích gấp 27 lần thì cả độ sâu cũng phải gấp ba; không thể lấy quy tắc đó cho hai bể có độ sâu 1 , 4 m và 1 , 6 m .
Đáy đầu có diện tích x y m 2 ; đáy sau có diện tích ( 3 x ) ( 3 y ) = 9 x y m 2 . Sơ đồ mặt bằng giữ đúng tỉ lệ ba ở cả hai hướng.
HIỂU BẢN CHẤT · 07
Tổng vận tốc: đọc đúng điều được yêu cầu
Hai ca nô cùng chiều có thể dẫn đến những câu hỏi khác nhau. Nếu đề hỏi tổng hai vận tốc , ta tính v 1 + v 2 . Nếu hỏi mức thay đổi khoảng cách khi hai chiếc cùng chạy trên một đường và chiếc sau nhanh hơn, ta phải xét hiệu vận tốc phù hợp. Thông tin “cùng chiều” không biến mọi câu hỏi thành phép trừ.
Trong Ví dụ 2, đề chỉ yêu cầu tổng. Ở câu b, thu gọn rồi nhận dạng:
( 2 yz + y 2 ) + z 2 = y 2 + 2 yz + z 2 = ( y + z ) 2 .
Ta không đổi tổng thành y 2 + z 2 , vì mất hạng tử 2 yz . Các chữ x , y , z ở đây là tham số số học dùng trong biểu thức vận tốc; không mặc định mỗi chữ tự mang đơn vị vận tốc. Toàn bộ biểu thức đã được cho là số đo theo km/h .
Phép thu gọn đại số đúng với các tham số thực. Để mô tả hai ca nô đang chạy, từng biểu thức vận tốc phải dương. Đặc biệt ở câu d, dù x , y dương, x 2 y − 2 x y 2 = x y ( x − 2 y ) vẫn có thể không dương. Với x , y > 0 , cần thêm x > 2 y để vận tốc chiếc thứ hai dương. Hãy phân biệt “biến đổi đúng” và “bộ số phù hợp tình huống”.
HIỂU BẢN CHẤT · 08
Một quy trình để tự kiểm tra mô hình
- Đọc: liệt kê biến và vai trò, dữ kiện và đại lượng cần tìm.
- Mô hình: chọn công thức, đếm số mặt hoặc số món, đặt phép cộng hay phép trừ theo quan hệ thực.
- Thu gọn: nhân các hệ số, gom các hạng tử đồng dạng, giữ đúng dấu và số mũ.
- Thay số: dùng cùng đơn vị; tính lũy thừa và tích trước khi cộng, trừ.
- Đối chiếu: kiểm tra điều kiện thực tế, đơn vị và cỡ lớn của kết quả; chỉ làm tròn ở bước cuối theo yêu cầu.
Ở bài tấm chắn, diện tích hình thang là 26 , 25 m 2 ; lỗ tròn chỉ khoảng 0 , 28 m 2 . Phần còn lại phải gần 26 m 2 . Một kết quả khoảng 13 m 2 không hợp với phép trừ một lỗ nhỏ như vậy.
Ở bài bể, dung tích được đo bằng c m 3 , diện tích kính bằng c m 2 . Đổi sang lít chỉ dành cho dung tích: 1 L = 1000 c m 3 . Không đổi một diện tích thành lít.
Kiểm tra ngược: với một phần quà có gạo giá 10 x nghìn đồng và bánh giá 30 x nghìn đồng, tổng mỗi phần phải là 40 x nghìn đồng. Nhân với y phần mới được 40 x y . Nếu công thức chỉ còn 40 x , số phần chưa được tính; nếu thành 40 x + y , phép nhân lặp lại đã bị thay nhầm bằng phép cộng.
Học theo mục tiêu, không theo tốc độ của người khác
Lần học đầu: đọc các quy tắc và tự giải đề gốc. Chỉ mở gợi ý khi chưa xác định được bước tiếp theo. Lần học sau: làm 12 câu chẩn đoán, thử mô hình và chọn một bài vận dụng. Quay lại phần lý thuyết tương ứng khi em chưa giải thích được vì sao một bước đúng.
Bộ bài gốc gồm 5 ví dụ và 8 bài tự luyện, với 21 ý: chuyên đề thứ nhất có 12 ý; chuyên đề thứ hai có 9 ý. Các bài vận dụng và mô hình là phần được biên soạn thêm, được ghi riêng; không làm thay đổi yêu cầu của đề.
ĐỀ GỐC · LỜI GIẢI ĐƯỢC PHÁT TRIỂN
Tự làm trước, đối chiếu sau
Giữ dữ kiện và yêu cầu của đề đã cung cấp. Các lỗi chép lại trong phần giải được ghi rõ tại câu liên quan. Bảng tự kiểm giúp em xem lại điều kiện, mô hình, phép biến đổi và đơn vị; không phải thang điểm chính thức.
ĐỀ GỐC · V1
Ví dụ 1 · Tấm chắn có lỗ tròn
Yêu cầu và dữ kiện
Một nhà hàng lắp tấm chắn phòng hình thang có đáy lớn 4 x , đáy nhỏ 2 x , chiều cao h . Trên tấm có một ô tròn bán kính r làm ô thoáng; các chiều dài tính theo mét.
- Viết biểu thức biểu thị diện tích tấm chắn, không tính phần ô thoáng.
- Tính diện tích đó khi x = 2 , 5 , h = 3 , 5 , r = 0 , 3 ; lấy π = 3 , 14 và làm tròn đến hàng phần trăm.
Dữ kiện hình học và yêu cầu làm tròn được giữ nguyên. Kết quả làm tròn được tính lại đầy đủ.
“Không tính ô thoáng” nghĩa là lấy toàn bộ diện tích hình thang trừ diện tích hình tròn. Các chữ là giá trị số đo theo mét. Điều kiện mô hình: x , h , r > 0 và ô tròn thực sự nằm hoàn toàn trong tấm chắn; vị trí lỗ cũng quan trọng.
Cần thể hiện trong bài làm
- Tìm diện tích hình thang và diện tích lỗ tròn.
- Lập S = 3 x h − π r 2 và ghi m 2 .
- Tính giá trị chưa làm tròn rồi làm tròn đúng hàng phần trăm.
Gợi ý lộ trình — chưa mở đáp số
Hai đáy cộng lại được 6 x . Lấy nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao, sau đó trừ phần hình tròn. Ở câu b, tính riêng từng diện tích để dễ kiểm tra.
Lời giải đầy đủ — xem sau khi tự làm
a) Diện tích toàn tấm hình thang:
S thang = 2 ( 4 x + 2 x ) h = 3 x h m 2 .
Diện tích lỗ là S tr o ˋ n = π r 2 m 2 . Vì lỗ nằm trong tấm, diện tích vật liệu còn lại:
S = ( 3 x h − π r 2 ) m 2 .
b) Thay số: S thang = 3 ⋅ 2 , 5 ⋅ 3 , 5 = 26 , 25 m 2 , còn S tr o ˋ n = 3 , 14 ⋅ ( 0 , 3 ) 2 = 0 , 2826 m 2 .
S = 26 , 25 − 0 , 2826 = 25 , 9674 m 2 ≈ 25 , 97 m 2 .
Chữ số hàng phần nghìn là 7 , nên tăng chữ số hàng phần trăm từ 6 lên 7 . Làm tròn ở cuối giúp tránh tích lũy sai số.
Giải thích quy tắc và điều kiện
Giá trị 12 , 97 m 2 không phải kết quả làm tròn của 25 , 9674 m 2 . Kiểm tra cỡ lớn cũng phát hiện lỗi: chỉ bỏ một ô nhỏ từ tấm có diện tích 26 , 25 m 2 , nên phần còn lại phải gần giá trị đó.
Tự kiểm các bước quan trọng
Tự đánh giá tham khảo: đọc đúng dữ kiện và đại lượng; chọn công thức phù hợp; trình bày các bước; ghi đúng đơn vị và điều kiện. Đây không phải biểu điểm chính thức.