Điểm di động, cấu trúc bất biến

Chuyên đề hình học THCS: nhận diện đồng dạng, hai cát tuyến, trực tâm và đường trung bình qua một điểm D di động; 3 thí nghiệm và 24 câu tự kiểm tra.

Cập nhật: 2026-10-04

Môn: Toán · Tài liệu THCS

LUKATO CHUYÊN ĐỀ TƯ DUY HÌNH HỌC

Điểm di động, cấu trúc bất biến

Từ hai góc vuông đến ba lần đổi tam giác: học cách nhìn ra hình ẩn, nối từng lí do và giữ chặt điều kiện khi D chuyển động.

8 phần học sâu 3 thí nghiệm tương tác 24 câu tự kiểm tra

Học theo thứ tự, dự đoán rồi mới thử. Mỗi kết luận đều có điều kiện.

01

Đọc hình và giữ đúng điều kiện

Một bài hình học dài thường khó vì em chưa thấy những tam giác cần dùng. Chuyên đề này theo dõi một điểm D chuyển động và giữ lại ba cấu trúc: hai tam giác đồng dạng, hai tích đoạn thẳng bằng nhau, một đường trung bình luôn vuông góc với cạnh cố định.

Đích đến của bài học

Dành cho THCS, trọng tâm lớp 8 và lớp 9. Em sẽ đọc đúng các đường kéo dài, lập tỉ số theo thứ tự tương ứng, dùng đồng dạng để chuyển góc, nhận ra trực tâm và đường trung bình, rồi giải thích vì sao một kết luận còn đúng khi D thay đổi. Phần đường tròn là một cách nhìn mở rộng; không cần nó để hoàn thành lời giải chính.

Thiết lập dùng xuyên suốt: tam giác ABC vuông tại A, AB>AC>0. Chọn D nằm trong đoạn AC, khác A và C. Qua C kẻ đường vuông góc với BD, chân vuông góc là E. Đặt M=CE\cap AB và N=AE\cap BC, trong đó AB, BC, BD, CE, AE đều được hiểu là đường thẳng khi lấy giao điểm.

Hình mẫu chính xác với AB = 12, AC = 9, AD = 4. Thứ tự điểm: M, A, B; M, E, C; B, D, E; A, E, N; B, C, N.

01

Đọc giao điểm trước, kéo dài sau

Quy tắc. Vẽ đường thẳng đầy đủ rồi xác định đúng giao điểm. Trong cấu hình này, M nằm trên phần kéo dài AB qua A, N nằm trên phần kéo dài BC qua C.

Vì sao đúng? CE vuông góc với BD nên CE dốc lên về phía C và cắt AB dưới A. Với AB>AC và D ở trong AC, AE cắt BC ở phía ngoài C; bài sẽ chứng minh thứ tự này bằng cấu trúc và kiểm tra bằng thí nghiệm.

Điều kiện. AB>AC>0, 0<AD<AC; E là chân trên đường thẳng BD, không nhất thiết trên đoạn BD.

Khi nào không dùng được? Nếu D trùng A thì M và E trùng A, đường AE không xác định. Nếu D trùng C thì E và N trùng C: tam giác NEC suy biến và hình bình hành BICD cũng bị thu về một hình suy biến.

Ví dụ 1. Bắt đầu từ phần tính góc và cạnh

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}, BC=20\ \mathrm{cm}. Tìm \angle ABC và AC.

• Nhận diện cạnh. BC là cạnh huyền. Đối với góc B, AB là cạnh kề và AC là cạnh đối.
• Dùng tỉ số lượng giác. \cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{10\sqrt{3}}{20}=\frac{\sqrt{3}}{2}. Vì B là góc nhọn, B=30^\circ.
• Tính cạnh còn lại. AC=BC\sin B=20\cdot\frac12=10\ \mathrm{cm}.
• Kiểm tra độc lập. AB^2+AC^2=300+100=400=BC^2.

Kết luận và kiểm tra

\angle ABC=30^\circ và AC=10\ \mathrm{cm}. Không lấy AB/BC làm sin B: AB là cạnh kề.

Nhịp học nên thử

Đọc hình và tự đánh dấu hai góc vuông. Dự đoán trong thí nghiệm rồi mới bấm kiểm tra. Sau mỗi ví dụ, che lời giải và nói lại bằng một câu: mình đã nhận ra cấu trúc nào?

02

Hai góc mở cặp đồng dạng đầu tiên

Bắt đầu từ hai góc vuông, không bắt đầu từ những cạnh có vẻ bằng nhau. Tam giác MEB và MAC cùng có đỉnh M; đường MB cũng chính là đường MA, đường ME cũng chính là đường MC.

\angle MEB=\angle MAC=90^\circ,\qquad \angle EMB=\angle CMA.

Do đó \triangle MEB\sim\triangle MAC theo góc - góc. Thứ tự tương ứng là M với M, E với A, B với C . Viết tên tam giác đúng thứ tự sẽ bảo vệ các tỉ số sau đó.

\frac{ME}{MA}=\frac{EB}{AC}=\frac{MB}{MC}.

02

Góc vuông và một góc chung mở khóa đồng dạng

Quy tắc. Hai tam giác có một cặp góc vuông và một cặp góc bằng nhau thì đồng dạng theo góc - góc; phải ghi rõ từng đỉnh tương ứng.

Vì sao đúng? Tổng ba góc trong tam giác bằng 180^\circ, nên khi hai cặp góc bằng nhau thì cặp còn lại cũng bằng nhau. Đây là đồng dạng, chưa phải hai tam giác bằng nhau.

Điều kiện. Các tam giác phải có diện tích khác 0. Ở đây 0<AD<AC bảo đảm M khác A, E khác M và E khác C.

Khi nào không dùng được? Một góc chung đơn lẻ chưa đủ. Ghép sai E với C sẽ làm sai tỉ số dù kết luận đồng dạng ban đầu là đúng.

Ví dụ 2. Từ lời chứng minh đến độ dài mới

Trong cấu hình chung, lấy AB=12\ \mathrm{cm},\ AC=9\ \mathrm{cm},\ AD=4\ \mathrm{cm}. Chứng minh cặp tam giác ở trên đồng dạng và tính ME, EB.

• Tìm MA từ một cặp nhỏ khác. \triangle AMC\sim\triangle ADB vì cùng vuông tại A và \angle ACM=\angle ABD là hai góc có các cạnh tương ứng vuông góc. Suy ra \frac{MA}{AD}=\frac{AC}{AB}=\frac34, nên MA=3\ \mathrm{cm}.
• Chọn đúng cặp chính. Hai góc vuông tại E và A, góc M chung cho \triangle MEB\sim\triangle MAC.
• Tính cạnh huyền. MB=MA+AB=15 và MC=\sqrt{MA^2+AC^2}=3\sqrt{10} (đơn vị cm).
• Lập tỉ số theo đúng đỉnh. ME=MA\cdot\frac{MB}{MC}=\frac{3\sqrt{10}}2\ \mathrm{cm}; EB=AC\cdot\frac{MB}{MC}=\frac{9\sqrt{10}}2\ \mathrm{cm}.
• Kiểm tra. ME^2+EB^2=\frac{90}{4}+\frac{810}{4}=225=MB^2.

Kết luận và kiểm tra

Cả hai tam giác vuông được kiểm tra bằng định lí Pythagore. Trong ví dụ riêng này ME=MC/2, nhưng đẳng thức ấy không đúng với mọi vị trí D.

PHÒNG THÍ NGHIỆM

D di chuyển, cặp tam giác nào vẫn đồng dạng?

Giữ tam giác vuông, thay đổi D bằng thanh trượt. Màu vàng là đường CE; E luôn là chân vuông góc trên đường BD kéo dài. Đọc các tỉ số chứ đừng đo bằng mắt.

AB (cm) AC (cm) AD bằng bao nhiêu phần trăm AC? Dự đoán trước khi thử

Chọn dự đoán, thay đổi dữ liệu rồi giải thích điều em thấy.

Trên màn hình hẹp, vuốt ngang sơ đồ để đọc đầy đủ các nhãn.

Đang chuẩn bị các tỉ số tương ứng.

Thử trước khi đọc lời giải:

• Chọn dự đoán trước. Thử D ở 20%, 50%, 80% của AC.
• So sánh ME/MA, EB/AC và MB/MC. Cái gì bằng nhau ở một thời điểm? Cái gì thay đổi giữa các thời điểm?
• Giải thích bằng hai cặp góc. Ba tỉ số bằng nhau không có nghĩa giá trị chung luôn cố định.

03

Ba cặp tam giác nối thành một chứng minh

Đồng dạng đầu tiên chưa trực tiếp tạo ra tích NC\cdot NB. Ta cần một chiếc cầu: chuyển tỉ số thành đồng dạng cạnh - góc - cạnh, rồi chuyển đồng dạng thành một góc tại E.

\frac{ME}{MA}=\frac{MB}{MC}\quad\Longrightarrow\quad\frac{MA}{MC}=\frac{ME}{MB}.

Trong hai tam giác MAE và MCB, các tỉ số vừa viết là của hai cạnh kề góc M. Vì góc M chung, \triangle MAE\sim\triangle MCB theo cạnh - góc - cạnh. Chú ý: đây là cặp tam giác mới , không phải viết lại tên cặp trước.

\angle MEA=\angle MBC=\angle ABN.

03

Dùng tỉ số để chuyển một góc sang nơi cần đến

Quy tắc. Sau khi có ME/MA=MB/MC, biến đổi thành MA/MC=ME/MB để nhìn thấy \triangle MAE\sim\triangle MCB.

Vì sao đúng? Hai cạnh MA, ME kề góc AME; hai cạnh MC, MB kề góc CMB. Các tia MA, MB trùng nhau và các tia ME, MC trùng nhau, nên góc xen giữa bằng nhau.

Điều kiện. Phải dùng góc xen giữa hai cạnh đang so sánh và phải giữ đúng thứ tự M - A - E tương ứng M - C - B.

Khi nào không dùng được? Hai tỉ số bằng nhau cùng một góc không xen giữa không tự động cho đồng dạng cạnh - góc - cạnh. Đảo riêng một tỉ số cũng làm hỏng lập luận.

Ví dụ 3. Hoàn thành đẳng thức hai tích

Với cấu hình chung và các điều kiện ban đầu, chứng minh NC\cdot NB=NE\cdot NA.

• Lấy tỉ số từ cặp đầu. \triangle MEB\sim\triangle MAC cho MA/MC=ME/MB.
• Tạo chiếc cầu. Góc AME bằng góc CMB nên \triangle MAE\sim\triangle MCB. Suy ra \angle MEA=\angle MBC.
• Chuyển sang hai tam giác chứa N. E là giao của MC và AN nên \angle NEC=\angle MEA là hai góc đối đỉnh. B, A, M thẳng hàng và B, C, N thẳng hàng nên \angle MBC=\angle ABN.
• Ghép cặp cuối. Vì \angle ENC=\angle BNA và \angle NEC=\angle NBA, ta được \triangle NEC\sim\triangle NBA. Đỉnh tương ứng: N với N, E với B, C với A.
• Nhân chéo. \frac{NE}{NB}=\frac{NC}{NA} nên NE\cdot NA=NC\cdot NB.

Kết luận và kiểm tra

Không có bước nào cần giả sử D là trung điểm. Kết quả là một đẳng thức luôn đúng khi D di chuyển hợp lệ, không phải một giá trị số luôn cố định.

Cặp tam giác · Điều kiện được dùng · Điều thu được

MEB\sim MAC · Hai góc vuông và góc M · MA/MC=ME/MB

MAE\sim MCB · Tỉ số hai cạnh, góc M xen giữa · \angle MEA=\angle MBC

NEC\sim NBA · Góc tại N và góc vừa chuyển · NE/ NB=NC/NA

Tự kể lại lời giải trong 20 giây

Hai góc vuông tạo đồng dạng thứ nhất. Tỉ số mở đồng dạng thứ hai. Góc tại E mở đồng dạng thứ ba. Cặp cuối mới cho phép nhân chéo ra hai tích.

04

Hai tích bằng nhau, giá trị vẫn thay đổi

Dù hai tích bằng nhau, chúng vẫn đổi khi D đổi. Thí nghiệm dưới đây tách rõ hai ý: đẳng thức là bất biến , còn giá trị của mỗi tích phụ thuộc vị trí D . Độ dài NC phải đo từ N đến C, không phải từ A đến C.

04

Một điểm ngoài, hai cặp đoạn thẳng

Quy tắc. Khi dùng \triangle NEC\sim\triangle NBA, ghép đoạn gần N với đoạn xa N trên mỗi đường: NC\cdot NB=NE\cdot NA.

Vì sao đúng? Thứ tự B, C, N cho NB=NC+BC; thứ tự A, E, N cho NA=NE+AE. Hai đường đều bắt đầu từ cùng điểm N.

Điều kiện. N phải là giao điểm thực sự của AE và BC. Trong cấu hình chính, N nằm ngoài tam giác, phía sau C, E nằm giữa A và N.

Khi nào không dùng được? Không thay NB bằng BC, hoặc NA bằng AE. Không kết luận hai tích là hằng số chỉ vì chúng bằng nhau ở mọi hình.

Ví dụ 4. Kiểm tra tích bằng những độ dài cụ thể

Cho AB=8\ \mathrm{cm},\ AC=6\ \mathrm{cm},\ AD=\frac83\ \mathrm{cm}. Tính NC, NB, NA, NE rồi đối chiếu hai tích.

• Dựng thước kiểm tra đơn giản. MA=AC\cdot AD/AB=2\ \mathrm{cm}. Suy ra MB=10 và MC=2\sqrt{10} (cm). Tỉ số đồng dạng cho ME=\sqrt{10}=MC/2, nên E là trung điểm MC trong ví dụ này.
• Đặt hệ trục để kiểm tra hình. Chọn A làm gốc, AC là hướng ngang dương và AB là hướng đứng dương. Khi đó A=(0,0),\ B=(0,8),\ C=(6,0),\ M=(0,-2),\ E=(3,-1). Do đó AE có phương trình y=-x/3 và BC có phương trình y=8-4x/3.
• Tìm giao điểm. Giải -x/3=8-4x/3 được N=(8,-8/3). Đo trên đường BC: BC=10, NC=10/3, NB=40/3 (cm).
• Tính trên đường còn lại. AE=\sqrt{10}, NA=8\sqrt{10}/3. Vì A, E, N theo thứ tự ấy, NE=NA-AE=5\sqrt{10}/3 (cm).
• So sánh. NC\cdot NB=\frac{400}{9}\ \mathrm{cm}^2 và NE\cdot NA=\frac{400}{9}\ \mathrm{cm}^2.

Kết luận và kiểm tra

Các số thỏa đẳng thức và đúng đơn vị diện tích. Cách dùng tọa độ chỉ để kiểm tra một hình cụ thể; lời chứng minh ở phần 3 áp dụng cho mọi D hợp lệ.

PHÒNG THÍ NGHIỆM

Hai cát tuyến cùng xuất phát từ N

Nhập ba độ dài. Sơ đồ giữ nguyên tỉ lệ theo cả hai chiều và hiển thị N trên phần kéo dài BC qua C. Trong lần thử mặc định, hai tích đều bằng 100 cm bình phương.

AB (cm) AC (cm) AD (cm) Dự đoán trước khi thử

Chọn dự đoán, thay đổi dữ liệu rồi giải thích điều em thấy.

Trên màn hình hẹp, vuốt ngang sơ đồ để đọc đầy đủ các nhãn.

Đang chuẩn bị các đoạn trên hai cát tuyến.

Thử trước khi đọc lời giải:

• Chọn dự đoán. Giữ AB = 12 và AC = 9; thử AD = 2, 4, 7.
• Ghi hai tích ở mỗi lần. Phân biệt "bằng nhau trong một hình" với "giữ nguyên qua nhiều hình".
• Thử để ô AD trống hoặc nhập AD bằng AC. Quan sát vì sao không nên giữ hình cũ khi dữ liệu mới không hợp lệ.

Cách đọc điểm N rất xa

Nếu AB chỉ lớn hơn AC một chút và D gần A, N có thể ở rất xa. Khi cần, thí nghiệm dùng hai khung có tỉ lệ riêng: một khung giữ đầy đủ giao điểm N và một khung phóng lớn cụm điểm. Mỗi khung vẫn dùng cùng tỉ lệ ngang và dọc.

Mở rộng: chứng minh N ở phía ngoài C, không chỉ nhìn hình

Đặt A=(0,0),\ B=(0,b),\ C=(c,0),\ D=(t,0) với b>c>0 và 0<t<c. Giao đường BD với đường vuông góc qua C, rồi giao AE với BC, cho:

E=\left(\frac{t(b^2+ct)}{b^2+t^2},\frac{bt(t-c)}{b^2+t^2}\right),\quad \Delta=b^2-c^2+2ct>0.

N=\left(\frac{c(b^2+ct)}{\Delta},\frac{-bc(c-t)}{\Delta}\right).

Vì x_N-c=c^2(c-t)/\Delta>0 và y_N<0, N nằm trên BC ở phía sau C. Mặt khác 0<x_E<c và y_E<0 đặt E giữa M và C; x_E-t=t^2(c-t)/(b^2+t^2)>0 đặt E ở phía sau D trên BD. Cuối cùng \frac{x_N}{x_E}-1=\frac{(c-t)(b^2+ct)}{t\Delta}>0 nên E ở giữa A và N. Đây là kiểm tra tổng quát của thứ tự điểm dùng trong các góc đối đỉnh.

05

Nhận ra trực tâm trong tam giác ẩn

Muốn chứng minh HK vuông góc BC, đừng vội tìm góc tại H. Hãy hỏi: có đường nào đã vuông góc BC và có thể song song với HK không? Đường ấy chính là MD, đường cao còn lại của tam giác MBC.

Trong tam giác MBC, vì MB\perp AC, đường CD đi qua C và vuông góc MB. Vì BD\perp MC, đường BD là đường cao từ B. Hai đường cao cắt nhau tại D, nên D là trực tâm.

BD\perp MC,\qquad CD\perp MB\quad\Longrightarrow\quad MD\perp BC.

05

Hai đường cao đủ để nhận diện trực tâm

Quy tắc. Nhìn tam giác MBC, không chỉ nhìn tam giác ABC. Hai đường BD và CD là hai đường cao; giao điểm D buộc đường MD là đường cao thứ ba.

Vì sao đúng? Ba đường cao của một tam giác không suy biến đồng quy. Đường cao được hiểu là đường thẳng qua đỉnh và vuông góc cạnh đối, có thể nằm ngoài tam giác.

Điều kiện. Phải nêu rõ BD vuông góc MC và CD vuông góc MB. D ở trên AC, nhưng kết luận trực tâm thuộc tam giác MBC.

Khi nào không dùng được? D không phải trực tâm của ABC: ABC vuông tại A nên trực tâm ABC là A. Nếu D trùng A thì M và D cùng là A, nên không có đường thẳng MD xác định bởi hai điểm phân biệt.