Góc, đường song song và nghệ thuật chứng minh
Chuyên đề hình học THCS bằng tiếng Việt: đọc tên góc và tia, phân biệt đối đỉnh với kề bù, dùng phân giác có điều kiện, nhận biết song song và viết chứng…
LUKATO · TOÁN THCS · CHUYÊN ĐỀ 02/02
Góc, đường song song và nghệ thuật chứng minh
Từ đọc đúng một tia đến dựng một chuỗi lập luận hình học lớp 7
Chuyên đề hình học THCS bằng tiếng Việt: đọc tên góc và tia, phân biệt đối đỉnh với kề bù, dùng phân giác có điều kiện, nhận biết song song và viết chứng minh không vòng tròn. Có lời giải đầy đủ cho A4, A8 và B4 của đề gốc, câu hỏi chẩn đoán và bài tập chuyển giao.
5 Ý từ đề gốc · đầy đủ lời giải
12 Câu chẩn đoán · phân tích lựa chọn
6 Bài vận dụng · đổi dữ kiện
3 Mô hình · thử và giải thích
Giải có căn cứ: đọc điều kiện → chọn quy tắc → thử tự làm → đối chiếu từng bước → giải một tình huống mới.
HIỂU BẢN CHẤT · 01
Đọc tên góc trước khi tính
Một hình có nhiều đường nhưng mỗi góc chỉ được xác định bởi một đỉnh và hai tia. Trong tên ∠ X Y Z , chữ ở giữa là đỉnh Y ; hai cạnh là các tia Y X và Y Z . Đổi thứ tự hai chữ ngoài vẫn chỉ cùng góc thông thường, còn đổi chữ giữa có thể tạo một góc hoàn toàn khác. Khi đọc một bài hình, hãy đặt bút tại đỉnh, rồi lần theo từng tia đến điểm được gọi tên.
Các điểm thẳng hàng chưa đủ để hai tia trùng nhau. Nếu E nằm giữa A và B , hai tia A E và A B trùng nhau, nhưng E A và EB đối nhau. Vì vậy có thể thay ∠ E A F bằng ∠ B A C khi F nằm giữa A và C ; không thể tự ý thay ∠ A EF bằng ∠ BEF .
Dấu phẩy cũng thuộc tên điểm hoặc tia. Trong A8, B c hướng lên trái còn B c ′ hướng xuống phải. Trước khi áp dụng định lí, khoanh tên góc cần tìm và viết hai tia của nó. Thói quen nhỏ này ngăn một lời giải đúng về tính toán nhưng trả lời sai góc.
- Xác định đỉnh trước, chưa nhìn vào số đo.
- Kiểm tra điểm nào nằm giữa hai điểm nào trên cùng đường.
- Phân biệt dữ kiện bằng lời, dấu hình học trên hình và điều chỉ có vẻ đúng khi nhìn.
HIỂU BẢN CHẤT · 02
Ba quan hệ góc dễ bị lẫn
Hai góc kề nhau có một cạnh chung và phần trong không chồng lên nhau. Hai góc kề bù còn phải có hai cạnh không chung là hai tia đối nhau; tổng số đo bằng 18 0 ∘ . Chỉ nói “cùng đỉnh” hoặc “có một cạnh chung” chưa chứng minh được kề bù. Ngược lại, hai góc bất kỳ có tổng 18 0 ∘ có thể ở hai vị trí khác nhau, nên không nhất thiết kề nhau.
Hai góc đối đỉnh xuất hiện khi hai đường thẳng cắt nhau: mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh góc kia. Chúng bằng nhau. Nếu O A đối OB và O D đối OC , thì ∠ A O D = ∠ BOC . Có thể chứng minh bằng cách lấy cả hai góc cùng bù với ∠ A OC , thay vì dựa vào hình trông cân đối.
Một cặp góc đối đỉnh không có cạnh chung. Vì thế, khi thấy hai góc cùng có tia Ot , hãy nghĩ đến góc kề hoặc quan hệ phân giác, không gọi chúng là đối đỉnh. Với số đo 5 0 ∘ , góc đối đỉnh bằng 5 0 ∘ còn góc kề bù bằng 13 0 ∘ . Hai kết quả phục vụ hai quan hệ khác nhau.
Hình dựng lại cho câu A4. ∠ A O D = 5 0 ∘ ; hai cung trong ∠ COB đánh dấu hai góc bằng nhau. Kích thước các đoạn không phải dữ kiện của bài.
HIỂU BẢN CHẤT · 03
Phân giác là một điều kiện hình học
Tia Ot là tia phân giác của ∠ COB khi nó nằm bên trong góc đó và tạo hai góc bằng nhau: ∠ COt = ∠ tOB . Kết hợp phép cộng góc ta có ∠ COt = ∠ tOB = 2 1 ∠ COB . Không nên chỉ viết “chia đôi” mà quên nêu góc lớn đang được chia đôi là góc nào.
Trong A4, dữ kiện trực tiếp là ∠ A O D = 5 0 ∘ , nhưng góc được chia đôi là ∠ COB . Phải chuyển số đo qua cặp đối đỉnh trước, rồi mới dùng phân giác. Chuỗi suy luận đúng có hai cầu nối: đối đỉnh để tìm góc lớn, phân giác để tìm góc nhỏ. Nếu dùng góc kề bù 13 0 ∘ làm góc lớn, ta đã thay sai đối tượng dù phép chia cho 2 vẫn đúng về số học.
Chiều ngược cũng cần cẩn thận: hai góc bằng nhau chỉ chứng minh một tia là phân giác nếu đã biết tia đó nằm trong góc xét và là cạnh chung của hai góc. Trong bài tự dựng, điều kiện vị trí phải được ghi rõ; không yêu cầu người đọc đoán từ một nét vẽ.
HIỂU BẢN CHẤT · 04
Từ vuông góc đến song song
Trong cùng một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. Với A8, a a ′ ⊥ EF và b b ′ ⊥ EF cho a a ′ ∥ b b ′ . Việc hai đường đều nằm ngang trong hình chỉ minh họa; dấu vuông và giả thiết mới là căn cứ.
Từ vuông góc ta biết số đo góc tạo bởi đường đó và EF là 9 0 ∘ . Không được gán 9 0 ∘ cho góc do cát tuyến c c ′ tạo ra, vì không có giả thiết c c ′ ⊥ EF hoặc c c ′ ⊥ a a ′ . Hãy tách vai trò: EF giúp suy ra song song; c c ′ giúp chuyển số đo giữa hai giao điểm.
Hình dựng lại cho câu A8. Các dấu vuông biểu thị a a ′ ⊥ EF và b b ′ ⊥ EF . Cung ở trên là ∠ c A a ′ = 12 0 ∘ ; cung ở dưới là góc cần tìm ∠ FB c ′ . Dấu phẩy ở c ′ làm thay đổi tia được chọn.
Ở hai giao điểm, cát tuyến tạo ra tám góc. Chỉ một vài cặp có vị trí đặc biệt. Muốn chọn đúng cặp, hãy đánh dấu miền nằm giữa hai đường song song, rồi xác định mỗi góc nằm bên trái hay bên phải cát tuyến. Không cần đo góc trên màn hình; ta xác định bằng tia và vị trí.
HIỂU BẢN CHẤT · 05
Đồng vị, so le trong và trong cùng phía
Hai góc đồng vị ở cùng phía cát tuyến và có cùng vị trí tương ứng tại hai giao điểm. Hai góc so le trong nằm trong miền giữa hai đường, ở hai phía khác nhau của cát tuyến. Hai góc trong cùng phía nằm trong miền giữa hai đường và cùng phía cát tuyến. Khi hai đường song song, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc so le trong bằng nhau, còn hai góc trong cùng phía có tổng 18 0 ∘ .
Tên quan hệ phải được xác định trước kết quả. Hai góc bằng nhau chưa chắc đồng vị: chúng có thể đối đỉnh hoặc thuộc một tam giác cân. Cũng không thể gọi mọi góc ở phía trong là so le trong; điều kiện hai phía cát tuyến là thiết yếu. Trong B4, ∠ D A B và ∠ A BC là so le trong theo cát tuyến A B . Trong A8, ∠ c A a ′ và ∠ FB c ′ là so le ngoài; bài học có thể dùng hai bước đồng vị rồi đối đỉnh để tránh nhầm tên.
Cách hai bước cho A8: góc ∠ c BF đồng vị với ∠ c A E nên bằng 6 0 ∘ . Vì B c và B c ′ đối nhau, ∠ FB c ′ = 18 0 ∘ − 6 0 ∘ = 12 0 ∘ . Khi dùng một đường đi dài hơn nhưng dễ xác định vị trí, hãy giữ mỗi bước rõ ràng và có căn cứ.
HIỂU BẢN CHẤT · 06
Dấu hiệu và hệ quả không được đảo tùy ý
Có hai hướng lập luận khác nhau. Dấu hiệu nhận biết bắt đầu từ quan hệ góc để kết luận hai đường song song: một cặp so le trong bằng nhau là đủ. Hệ quả bắt đầu từ hai đường đã song song để suy ra một cặp góc đồng vị hoặc so le trong bằng nhau. Phải biết mình đang sử dụng hướng nào; điều cần chứng minh chưa được dùng như một giả thiết.
Ở B4a, mục tiêu là D A ∥ EF . Dữ kiện đã có ∠ D A B = ∠ A EF = 3 0 ∘ và A , E , B thẳng hàng. Hai góc này là so le trong khi A B cắt D A và EF , vì thế dùng dấu hiệu để kết luận song song. Nếu viết “vì D A ∥ EF nên hai góc bằng nhau, vậy D A ∥ EF ”, lời giải đã quay vòng.
Sau khi kết luận D A ∥ EF , kết hợp giả thiết D A ∥ BC suy ra EF ∥ BC . Lúc đó ta có quyền dùng hệ quả để tìm ∠ A FE . Một cách tự kiểm tra hữu ích là ghi cạnh mỗi dòng “giả thiết”, “đã chứng minh” hoặc tên định lí. Nếu xuất hiện kết luận cần chứng minh trong cột căn cứ trước khi nó được chứng minh, hãy sửa chuỗi lập luận.
HIỂU BẢN CHẤT · 07
Viết một chứng minh có thể kiểm tra
Một lời giải tốt không cần dài, nhưng mỗi kết quả phải có đường đi từ giả thiết. Với bài nhiều ý, hãy đặt các kết quả đã chứng minh vào một danh sách dùng lại. B4 có thể đi theo thứ tự: chứng minh D A ∥ EF , tìm ∠ A BC , suy ra EF ∥ BC để tìm ∠ A FE , cuối cùng dùng tổng ba góc của tam giác A BC .
Hình dựng lại cho B4: D A ∥ BC , ∠ D A B = 3 0 ∘ , ∠ A EF = 3 0 ∘ , ∠ A CB = 6 0 ∘ . A , E , B thẳng hàng, A , F , C thẳng hàng theo hình đề gốc. Vị trí các điểm chỉ minh họa quan hệ; bài không cho độ dài hoặc trung điểm.
Trong một tam giác, tổng ba góc bằng 18 0 ∘ . Sau khi đã có ∠ A BC = 3 0 ∘ và giả thiết ∠ A CB = 6 0 ∘ , suy ra ∠ B A C = 9 0 ∘ . Hai tia A B và A C tạo góc vuông, nên A B ⊥ A C . Không cần giả sử vuông góc trước để tính các góc còn lại.
Hình vẽ có thể được kéo giãn, xoay hoặc chụp nghiêng. Một đoạn trông ngang, hai đoạn trông bằng nhau hay một góc trông vuông không tự trở thành giả thiết. Ta chỉ sử dụng quan hệ được phát biểu, được ký hiệu hoặc được chỉ rõ bởi vị trí điểm trong hình gốc. Vì đề cho E trên A B và F trên A C , ta được thay tia trùng nhau; đề không cho trung điểm nên không được suy ra tỉ số độ dài.
HIỂU BẢN CHẤT · 08
Tia phụ phải đúng gốc và đúng vai trò
Tia phụ giúp chia một góc khó thành các góc đã biết, nhưng tên tia phải phù hợp với đỉnh đang xét. Muốn tạo góc bẹt tại A bằng cạnh A D , phải dựng tia A N đối với A D . Hai tia đối nhau cùng gốc và có hợp là một đường thẳng. Tia D N có gốc D nên không thể thay cho tia có gốc A .
Tia phụ A N đối với tia A D . Ba góc ∠ D A B , ∠ B A C , ∠ C A N ghép thành góc bẹt ∠ D A N = 18 0 ∘ .
Vì A N ∥ BC , cát tuyến A C cho ∠ C A N = ∠ A CB = 6 0 ∘ . Tại A , các tia lần lượt đi từ A D qua A B , A C đến A N , nên ∠ D A B + ∠ B A C + ∠ C A N = 18 0 ∘ . Trừ hai góc đã biết để được ∠ B A C = 9 0 ∘ . Đây là lời giải khác cho B4c, không phải dữ kiện bổ sung của đề.
Khi sửa một lỗi ký hiệu trong tài liệu, hãy tách lời ghi nhầm khỏi lập luận đúng. Bài này ghi rõ chú thích hiệu đính ở phần lời giải: tia cần dựng là A N đối A D . Việc sửa ký hiệu có căn cứ từ gốc chung, hình minh họa và góc bẹt; không làm thay đổi điều kiện hay câu hỏi của đề gốc.
Học theo mục tiêu, không theo tốc độ của người khác
Lần học đầu: đọc các quy tắc và tự giải đề gốc. Chỉ mở gợi ý khi chưa xác định được bước tiếp theo. Lần học sau: làm 12 câu chẩn đoán, thử mô hình và chọn một bài vận dụng. Quay lại phần lý thuyết tương ứng khi em chưa giải thích được vì sao một bước đúng.
Đề gốc được chia giữa hai chuyên đề: phần số và biểu thức có 15 ý, phần hình học có 5 ý. Các bài vận dụng và mô hình là phần được biên soạn thêm, được ghi riêng; không làm thay đổi yêu cầu của đề.
ĐỀ GỐC · LỜI GIẢI ĐƯỢC PHÁT TRIỂN
Tự làm trước, đối chiếu sau
Giữ dữ kiện và yêu cầu của đề đã cung cấp. Các lỗi chép lại trong phần giải được ghi rõ tại câu liên quan. Điểm tối đa lấy theo đầu mục của đề; bảng tự kiểm là gợi ý luyện tập, không phải cách chia điểm từng bước của một trường.
ĐỀ GỐC · A4 · 0,25 ĐIỂM
Câu A4 — Góc đối đỉnh rồi phân giác
Yêu cầu và dữ kiện
Cho hình vẽ, biết tia Ot là tia phân giác của ∠ COB , ∠ A O D = 5 0 ∘ . Số đo ∠ COt là bao nhiêu?
- A. 5 0 ∘
- B. 2 5 ∘
- C. 10 0 ∘
- D. 7 5 ∘
Hình dựng lại cho câu A4. ∠ A O D = 5 0 ∘ ; hai cung trong ∠ COB đánh dấu hai góc bằng nhau. Kích thước các đoạn không phải dữ kiện của bài.
Bài gốc: phần trắc nghiệm, câu 4. Biểu điểm nguồn ghi mỗi câu phần này 0 , 25 điểm. Các mục tự đánh giá dưới đây là gợi ý học tập, không phải phân chia điểm theo bước.
Hai đường A B và C D cắt nhau tại O . A , O , B thẳng hàng và D , O , C thẳng hàng. Tia Ot nằm trong ∠ COB . Đề cho góc ở phía dưới trái, hỏi góc nhỏ ở phía trên phải.
Cần thể hiện trong bài làm
- Xác định đúng cặp góc đối đỉnh.
- Dùng giả thiết phân giác sau khi tìm được góc lớn.
- Chọn đúng phương án của đề.
Gợi ý lộ trình — chưa mở đáp số
- Chuyển số đo từ ∠ A O D sang ∠ COB .
- Chia số đo của ∠ COB thành hai phần bằng nhau.
Lời giải đầy đủ — xem sau khi tự làm
Vì O A và OB là hai tia đối nhau, O D và OC là hai tia đối nhau, nên ∠ A O D và ∠ COB là hai góc đối đỉnh. Do đó ∠ COB = ∠ A O D = 5 0 ∘ .
Tia Ot là phân giác của ∠ COB , nên ∠ COt = 2 1 ∠ COB = 2 5 0 ∘ = 2 5 ∘ . Chọn B.
Giải thích quy tắc và điều kiện
Bước đối đỉnh không sử dụng giả thiết phân giác. Bước chia đôi phải nhắc đúng góc ∠ COB , thay vì chỉ viết “lấy một nửa góc đã cho”. Hai căn cứ khác nhau tạo thành lời giải.
Tự kiểm các bước quan trọng
- Tự đánh giá: giải thích được vì sao hai góc lớn đối đỉnh.
- Tự đánh giá: nêu đúng điều kiện và kết quả phân giác.
- Tự đánh giá: giữ ký hiệu đỉnh O và trả lời 2 5 ∘ .
Sửa một cách làm sai thường gặp
Nếu sai, hãy vẽ lại hai đường cắt nhau, tô một màu cho cặp đối đỉnh rồi thêm tia phân giác bằng màu khác. Viết hai dòng căn cứ riêng; đừng điều chỉnh số chỉ để khớp một phương án.
Điểm dễ nhầm
- Chọn 5 0 ∘ : mới tìm góc lớn, chưa dùng phân giác.
- Chọn 10 0 ∘ : nhân đôi thay vì chia đôi.
- Chọn 7 5 ∘ : kết quả này đòi hỏi góc được chia đôi bằng 15 0 ∘ , trái với ∠ COB = 5 0 ∘ ; không có căn cứ từ giả thiết.
ĐỀ GỐC · A8 · 0,25 ĐIỂM
Câu A8 — Giữ đúng dấu phẩy của tia
Yêu cầu và dữ kiện
Cho hình vẽ, biết a a ′ ⊥ EF , b b ′ ⊥ EF , ∠ c A a ′ = 12 0 ∘ . Tìm số đo ∠ FB c ′ .
Hình dựng lại cho câu A8. Các dấu vuông biểu thị a a ′ ⊥ EF và b b ′ ⊥ EF . Cung ở trên là ∠ c A a ′ = 12 0 ∘ ; cung ở dưới là góc cần tìm ∠ FB c ′ . Dấu phẩy ở c ′ làm thay đổi tia được chọn.