Số dư: đổi điều kiện, lọc đúng nghiệm

Chuyên đề Toán lớp 6: cùng số dư, cùng phần thiếu, các số dư khác nhau, chu kì BCNN, cận mở và lọc chia hết; 3 phòng thí nghiệm và 24 câu tự kiểm tra.

Cập nhật: 2026-10-04

Môn: Toán · Tài liệu THCS

LUKATO CHUYÊN ĐỀ TƯ DUY SỐ HỌC

Số dư: đổi điều kiện, lọc đúng nghiệm

Từ phép chia có dư đến một dãy ứng viên đầy đủ: đổi đúng điều kiện, giữ đúng biên và giải thích vì sao còn không, một hay nhiều nghiệm.

8 phần học sâu 3 thí nghiệm tương tác 24 câu tự kiểm tra

Học theo thứ tự, dự đoán rồi mới thử. Mỗi kết luận đều có điều kiện.

01

Đọc phép chia và giữ số dư hợp lệ

Một số thỏa điều kiện chia có dư chưa chắc là bội chung của các số chia. Ta phải đổi điều kiện thành một dạng dễ kiểm tra, tìm đủ ứng viên, rồi lọc bằng mọi điều kiện còn lại. Chuyên đề này dành cho lớp 6: chỉ cần phép chia, bội chung và bội chung nhỏ nhất (BCNN).

Đích đến và quy ước

Em sẽ phân biệt cùng số dư với cùng số còn thiếu; thử các số dư khác nhau có hệ thống; giải thích vì sao nghiệm lặp lại; tìm đầy đủ nghiệm trong một khoảng và kiểm tra tính duy nhất. Trong bài, \mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}; nếu cần số dương, đề sẽ nói rõ.

x=dq+r,\qquad d>0,\quad q\in\mathbb N,\quad 0\le r<d.

Số chia là d, thương là q, số dư là r. Thương có thể bằng không: nếu x<d thì số dư chính là x. Cụm “chia hết” nghĩa là số dư bằng không.

01

Kiểm tra số dư trước khi tính BCNN

Quy tắc. Một điều kiện “chia cho d dư r” hợp lệ khi d>0 và 0\le r<d.

Vì sao đúng? Nếu r\ge d, ta vẫn tách thêm được một nhóm đủ d đơn vị, nên đó chưa phải số dư của phép chia. Mỗi số tự nhiên có đúng một thương và một số dư theo quy tắc này.

Điều kiện. Ở đây số chia, số dư và số cần tìm đều là số nguyên; số chia dương.

Khi nào không dùng được? Không được nhận số dư bằng số chia. Không được bỏ số không hoặc thương không khi đề chỉ nói “số tự nhiên”.

Ví dụ 1. Cùng một đẳng thức, chỉ một số dư đúng

Bạn Lan viết 31=6\cdot4+7 và kết luận chia 31 cho 6 dư 7. Em sửa thế nào?

• Đọc điều kiện số dư. 7\ge6 nên cách viết của Lan chưa phải phép chia có dư chuẩn.
• Tách thêm một nhóm. 31=6\cdot5+1.
• Kiểm tra. 0\le1<6; thương là 5, số dư là 1.

Kết luận và kiểm tra

Đẳng thức ban đầu đúng về tính toán, nhưng nhãn “số dư” sai. Nếu chia 1 cho 6 thì thương bằng không và số dư bằng 1.

02

Cùng số dư: trừ phần chung

Nếu nhiều phép chia cùng dư r, hãy bỏ phần dư chung. Phần còn lại chia hết cho từng số chia. Đặt L=\operatorname{BCNN}(a,b,\ldots).

Kí hiệu L\mid y nghĩa là y chia hết cho L.

L\mid(x-r)\quad\Longleftrightarrow\quad x=r+Lk,\qquad k\in\mathbb N.

02

Cùng số dư: trừ đúng một phần chung

Quy tắc. Với số dư chung hợp lệ, mọi nghiệm tự nhiên là x=r+Lk với k\in\mathbb N.

Vì sao đúng? Mỗi phép chia có dạng x=aq+r nên x-r=aq. Ngược lại, cộng r vào bội chung sẽ trả lại đúng số dư vì r nhỏ hơn mọi số chia.

Điều kiện. 0\le r<\min(a,b,\ldots); mọi số chia dương; miền tìm là số tự nhiên.

Khi nào không dùng được? Nếu các số dư khác nhau, không thể tự ý trừ một số dư duy nhất. Nếu đề đòi x>\max(a,b,\ldots) hoặc một khoảng, phải lọc thêm; không tự ý bắt k\ge1.

Ví dụ 2. Nghiệm nhỏ nhất không luôn chứa BCNN

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 4 và 6 đều dư 3. Sau đó tìm số nhỏ nhất thỏa thêm x>6.

• Đổi điều kiện. x-3 chia hết cho cả 4 và 6.
• Tìm nhịp. L=\operatorname{BCNN}(4,6)=12, nên x=3+12k với k\in\mathbb N.
• Giữ thương không. k=0 cho x=3, hợp lệ vì chia cho cả hai số đều có thương không, dư 3.
• Lọc điều kiện bổ sung. x>6 loại 3; giá trị tiếp theo là 15.

Kết luận và kiểm tra

Đáp án lần lượt là 3 và 15. Kiểm tra 15=4\cdot3+3=6\cdot2+3.

Ví dụ 3. Đề bài có một cận dưới

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn 9, chia cho 7 và 9 đều dư 4.

• Bỏ phần dư. x-4 là bội chung của 7 và 9.
• Viết toàn bộ dạng nghiệm. x=4+63k với k\in\mathbb N.
• Xét từ đầu dãy. 4 bị loại bởi cận dưới; 67 là giá trị kế tiếp.
• Thử lại. 67=7\cdot9+4=9\cdot7+4 và 67>9.

Kết luận và kiểm tra

Số cần tìm là 67. Không lấy riêng 63: nó chia hết, không dư 4.

Tự động bỏ trường hợp đầu tiên

Cách nghĩ dễ sai: Cứ cùng số dư thì đáp án nhỏ nhất là L+r.

Sửa lại: Xét k=0 trước, rồi dùng đúng cận dưới của đề.

Kiểm tra bằng một ví dụ: Với cùng dư 3 khi chia cho 4 và 6, số tự nhiên nhỏ nhất là 3.

03

Cùng phần thiếu: cộng để vừa đủ

“Thiếu c để chia hết” có nghĩa là cộng thêm c vào số đang xét thì chia hết. Khi 1\le c\le d, số dư tương ứng là d-c. Số dư có thể khác nhau dù phần còn thiếu giống nhau.

L\mid(x+c)\quad\Longleftrightarrow\quad x=Lk-c,\qquad k\ge1.

03

Cùng số còn thiếu: cộng để vừa đủ

Quy tắc. Nếu mỗi phép chia đều thiếu cùng một số nguyên dương c để đến bội kế tiếp, hãy xét x+c. Nghiệm nhỏ nhất trong số tự nhiên là L-c.

Vì sao đúng? Với số chia d, x=dq+(d-c) nên x+c=d(q+1). Vì 1\le c\le\min(a,b,\ldots)\le L, lấy k=1 đã cho x\ge0.

Điều kiện. 1\le c\le\min(a,b,\ldots); các số dư là a-c,b-c,\ldots; “bội kế tiếp” được hiểu là bội lớn hơn x.

Khi nào không dùng được? Nếu phần thiếu khác nhau, không dùng một phép cộng chung. Khi L=c, nghiệm tự nhiên nhỏ nhất bằng không; nếu đề yêu cầu dương, phải lấy nghiệm tiếp theo. “Thiếu không” là chia hết và phải xét riêng.

Ví dụ 4. Số dư khác, phần thiếu giống

Một số chia cho 5 dư 3, chia cho 8 dư 6. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất.

• Tính phần còn thiếu. 5-3=2 và 8-6=2.
• Cộng cùng phần thiếu. x+2 là bội chung; L=\operatorname{BCNN}(5,8)=40.
• Quay về số ban đầu. x=40k-2 với k\ge1; nhỏ nhất là 38.
• Kiểm tra hai phép chia. 38=5\cdot7+3=8\cdot4+6.

Kết luận và kiểm tra

Đáp án là 38. Trừ 3 chỉ xử lí phép chia cho 5, không xử lí phép chia cho 8.

Ví dụ 5. Số không xuất hiện cả trong dạng “thiếu”

Số x khi chia cho 4 đều thiếu 4 để đến bội kế tiếp. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất và số dương nhỏ nhất.

• Đọc số dư. Số dư là 4-4=0, nên điều kiện chính là chia hết cho 4.
• Dùng phép cộng. x+4=4k với k\ge1, nên x=4k-4.
• Chọn đúng miền. k=1 cho 0; số dương đầu tiên có k=2 và bằng 4.

Kết luận và kiểm tra

Hai câu hỏi có hai đáp án: 0 và 4. Với x=0, bội kế tiếp của 4 là 4.

PHÒNG THÍ NGHIỆM

Phòng 1. Trừ phần dư hay cộng phần thiếu?

Chọn một cách đọc, nhập hai số chia và giá trị chung. Các điểm nằm đúng vị trí số trên trục; hàng cuối là giao của hai điều kiện. Chân trời chỉ giới hạn phần nhìn thấy, không giới hạn dãy nghiệm.

Cách đọc giá trị chung Số chia thứ nhất Số chia thứ hai Số dư chung hoặc phần thiếu chung Chân trời hiển thị, lấy cả hai đầu Dự đoán trước khi thử

Chọn dự đoán rồi bấm kiểm tra.

Trên màn hình hẹp, vuốt ngang sơ đồ để đọc đầy đủ các nhãn.

Đang tìm giao của các điều kiện.

Thử trước khi đọc lời giải:

• Với dữ liệu ban đầu, dự đoán phép đổi điều kiện. Có cần loại x=5 không?
• Chuyển sang “cùng số còn thiếu” và giữ giá trị 5. Đọc hai số dư mới và nghiệm nhỏ nhất.
• Thử số dư bằng một số chia để thấy thông báo điều kiện không hợp lệ; đặt lại để trở về dữ liệu ban đầu.

04

Số dư khác nhau: sinh và lọc

Khi số dư khác nhau và phần thiếu cũng khác nhau, ta không ép bài về một phép cộng hoặc trừ chung. Chọn một phép chia để sinh ứng viên; dùng các phép chia còn lại để kiểm tra.

x=ak+r_a,\qquad k\in\mathbb N.

Thử số dư của từng ứng viên khi chia cho b,c,\ldots.

04

Một điều kiện sinh ứng viên, điều kiện khác lọc

Quy tắc. Viết x=ak+r_a rồi thay lần lượt k bằng các số tự nhiên trong phạm vi cần xét. Giữ chỉ các ứng viên thỏa mọi số dư còn lại.

Vì sao đúng? Mọi số thỏa phép chia đầu đều nằm trong dãy này, nên bước sinh không bỏ sót. Bước kiểm tra trực tiếp bảo đảm không giữ nhầm số chỉ thỏa một điều kiện.

Điều kiện. Tất cả số dư phải hợp lệ. Phải nêu phạm vi thử và lí do phạm vi đó đủ; phần sau dùng một chu kì BCNN để chứng minh tính đầy đủ.

Khi nào không dùng được? Thấy một ứng viên đúng chưa chứng minh nó nhỏ nhất, duy nhất hoặc là tất cả. Số dư khác nhau cũng không tự động có nghĩa bài vô nghiệm.

Ví dụ 6. Từ một dãy ngắn đến nghiệm đầu tiên

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 4 dư 1, chia cho 6 dư 3.

• Sinh ứng viên. x=4k+1; bắt đầu từ 1,5,9,13,\ldots.
• Thử phép chia thứ hai. Khi chia cho 6, ba số đầu có số dư lần lượt 1,5,3.
• Nhận nghiệm nhỏ nhất. 1 và 5 bị loại; 9 thỏa cả hai điều kiện.
• Kiểm tra. 9=4\cdot2+1=6\cdot1+3.

Kết luận và kiểm tra

Nghiệm nhỏ nhất là 9. Không dùng x-1 làm bội chung: 8 không chia hết cho 6.

Ví dụ 7. Hai số dư hợp lệ nhưng không có nghiệm

Có số tự nhiên nào chia cho 4 dư 1, đồng thời chia cho 6 dư 2 không?

• Nhìn tính chẵn lẻ. x=4k+1 luôn lẻ.
• Đọc điều kiện thứ hai. x=6q+2 luôn chẵn.
• Đối chiếu. Một số không thể vừa chẵn vừa lẻ. Mâu thuẫn xảy ra với mọi thương, không chỉ vài số đã thử.

Kết luận và kiểm tra

Không có nghiệm. Mỗi số dư riêng lẻ đều hợp lệ, nhưng hai điều kiện không tương thích.

Một cách loại nhanh, chỉ dùng như điều kiện cần

Nếu g là ước chung của a và b, từ x=ak+r_a=bq+r_b suy ra r_b-r_a=ak-bq chia hết cho g. Vì vậy, nếu chênh lệch số dư không chia hết cho một ước chung, chắc chắn vô nghiệm. Bài này vẫn dùng thử đầy đủ một chu kì để xác nhận có nghiệm; không yêu cầu học định lí về hệ số dư.

05

Một khối BCNN chứa toàn bộ quy luật

Gọi L là BCNN của mọi số chia. Thêm L vào một số không thay đổi bất cứ số dư nào, vì L chia hết cho từng số chia. Ta có thể kiểm tra toàn bộ bài trong một khối, từ không đến trước L.

05

Thử đủ một chu kì và giải thích vì sao đủ

Quy tắc. Tìm các nghiệm trong 0\le x<L. Nếu có nghiệm t, toàn bộ nghiệm tự nhiên là x=t+Ln với n\in\mathbb N. Nếu khối đó không có nghiệm, toàn bài vô nghiệm.

Vì sao đúng? Chia bất kì nghiệm x cho L: x=Ln+t với 0\le t<L. Vì Ln chia hết cho mọi số chia, t giữ nguyên mọi số dư. Ngược lại, cộng Ln vào nghiệm trong khối vẫn thỏa mọi điều kiện.

Điều kiện. Dùng BCNN của tất cả các số chia đang xét. Khối có đầu trái bằng không, đầu phải không lấy L.

Khi nào không dùng được? Không có nghiệm trong một đoạn ngắn hơn chu kì chưa đủ kết luận vô nghiệm. Trong một hệ số dư cố định, khối đầy đủ có nhiều nhất một nghiệm: hai nghiệm khác nhau có hiệu là bội chung nhỏ hơn L, điều không thể xảy ra.

Ví dụ 8. Ba số dư, một khối kiểm tra

Tìm tất cả số tự nhiên chia cho 5 dư 2, chia cho 7 dư 4, chia cho 9 dư 1.

• Gộp hai phép chia đầu. Thử 2,7,12,17,22,27,32 trong 0\le x<35; chỉ 32 chia cho 7 dư 4. Do đó x=32+35j.
• Lấy đủ khối chung. L=\operatorname{BCNN}(5,7,9)=315. Trong 0\le x<315, các ứng viên hai điều kiện đầu là 32,67,102,137,172,207,242,277,312.
• Lọc phép chia cho chín. Số dư lần lượt là 5,4,3,2,1,0,8,7,6. Chỉ 172 được giữ.
• Thử lại và lặp. 172=5\cdot34+2=7\cdot24+4=9\cdot19+1. Thêm 315 giữ cả ba số dư.

Kết luận và kiểm tra

Mọi nghiệm là x=172+315n với n\in\mathbb N. Nghiệm nhỏ nhất là 172; không có nghiệm nào bị bỏ qua vì đã xét đủ khối.

PHÒNG THÍ NGHIỆM

Phòng 2. Tìm một khối, lặp cả dãy

Chọn hai hoặc ba phép chia. Sơ đồ đầu thử toàn bộ ứng viên của phép chia thứ nhất trong một khối BCNN; sơ đồ sau lặp nghiệm đến chân trời đã chọn. Một khối không có nghiệm chứng minh vô nghiệm ở mọi số tự nhiên.

Số phép chia Số chia thứ nhất Số dư thứ nhất Số chia thứ hai Số dư thứ hai Số chia thứ ba, chỉ dùng khi chọn ba Số dư thứ ba, chỉ dùng khi chọn ba Chân trời lặp nghiệm, lấy cả hai đầu Dự đoán trước khi thử

Chọn dự đoán rồi bấm kiểm tra.

Trên màn hình hẹp, vuốt ngang sơ đồ để đọc đầy đủ các nhãn.

Đang kiểm tra một khối BCNN.

Thử trước khi đọc lời giải:

• Giữ hai phép chia ban đầu. Vì sao 9 là nghiệm đầu và 21 cũng đúng?
• Đổi số dư thứ hai thành 2. Dự đoán số nghiệm của cả bài trước khi kiểm tra.
• Chọn ba phép chia. Thử các cặp số chia và số dư (5,2),(7,4),(9,1). Khối dài bao nhiêu? Nếu chân trời nhỏ hơn nghiệm đầu, bài có vô nghiệm không?

06

Khoảng đóng, khoảng mở và các chỉ số

Sau khi đã viết được dãy nghiệm, hãy đọc đúng khoảng của đề. “Nhỏ hơn” loại đầu mút; “không lớn hơn” lấy đầu mút. Cận áp dụng cho số cần tìm, không cho số đã cộng hoặc trừ.

06

Biến khoảng của số thành khoảng của chỉ số

Quy tắc. Thay x=t+Lk vào bất đẳng thức của đề, tìm các số nguyên k hợp lệ và liệt kê hết.

Vì sao đúng? Vì L>0, thứ tự tăng được giữ khi chuyển từ k sang x. Mỗi chỉ số hợp lệ cho một nghiệm khác nhau; cách này vừa đếm được vừa không bỏ sót.

Điều kiện. Ghi rõ đầu mút đóng hay mở và k\in\mathbb N. Với số tự nhiên, luôn giữ thêm x\ge0.

Khi nào không dùng được? Một số đúng số dư nhưng bằng cận mở vẫn bị loại. Không làm tròn cận theo thói quen; thử chỉ số ở sát hai biên để kiểm tra.

Ví dụ 9. Hai dấu nhỏ hơn làm mất hai đầu dãy

Tìm tất cả số tự nhiên x chia cho 6 và 8 đều dư 5, thỏa 101<x<173.

• Viết dạng nghiệm. x=5+24k, k\in\mathbb N.
• Thay vào khoảng. 101<5+24k<173 suy ra 96<24k<168, tức 4<k<7.
• Lấy chỉ số nguyên. Chỉ k=5,6; số tương ứng là 125 và 149.
• Kiểm tra biên. 101 và 173 đều đúng số dư nhưng bị loại vì cận mở.

Kết luận và kiểm tra

Tập nghiệm là \{125,149\}. Nếu đổi cả hai cận sang lấy cả đầu mút thì có thêm 101 và 173.