BCNN: khi các nhịp gặp lại
Hiểu BCNN từ số mũ nguyên tố đến mẫu chung, đếm theo khoảng, chu kì cùng mốc và số vòng bánh răng; 3 thí nghiệm tương tác, 24 câu tự kiểm tra.
LUKATO CHUYÊN ĐỀ TƯ DUY SỐ HỌC
BCNN: khi các nhịp gặp lại
Tìm lượng vừa đủ cho mọi yêu cầu. Dự đoán, thử nghiệm và giải thích vì sao lần gặp ấy là lần đầu tiên.
8 phần học sâu 3 thí nghiệm tương tác 24 câu tự kiểm tra
Học theo thứ tự, dự đoán rồi mới thử. Mỗi kết luận đều có điều kiện.
01
Bội chung và lần đầu dương
Hai nhịp đều đặn có thể chạy rất khác nhau mà vẫn gặp lại. Muốn tìm lần gặp đầu tiên, ta không cộng hai chu kì: ta tìm một lượng vừa đủ cho tất cả các điều kiện chia hết. BCNN là ngôn ngữ của bài toán đó.
Đích đến và phạm vi
Dành cho THCS, trọng tâm lớp 6 và vận dụng tư duy số học. Em sẽ giải thích được vì sao chọn số mũ lớn nhất, đếm đúng bội chung trong một khoảng, chọn mẫu chung, và đọc đúng số vòng của bánh răng. Các số lấy BCNN trong bài đều là số nguyên dương. Khi nói “bội tự nhiên”, ta dùng các số nguyên không âm, gồm cả 0.
01
Bội chung phải qua mọi cửa; BCNN phải dương
Quy tắc. Với a,b>0, một số nguyên không âm x là bội chung khi a\mid x và b\mid x. BCNN là bội chung dương nhỏ nhất .
Vì sao đúng? Số 0 chia hết cho mọi số nguyên dương vì 0=a\cdot0. Nếu cho 0 tranh vị trí nhỏ nhất thì mọi bài toán đều kết thúc ở 0; chữ “dương” loại thời điểm xuất phát để tìm lần lặp lại.
Điều kiện. Các số a, b là số nguyên dương; x nằm trong các số nguyên không âm. Kí hiệu a\mid x nghĩa là x chia hết cho a.
Khi nào không dùng được? Không thay “và” bằng “hoặc”. Không bỏ chữ “dương” khi định nghĩa BCNN. Bài này không mở rộng định nghĩa BCNN sang đầu vào 0 hay số âm.
Ví dụ 1. Một số có thể chung mà chưa nhỏ nhất
Tìm các bội chung tự nhiên của 6 và 8 nhỏ hơn 60. Trong đó, đâu là BCNN?
- Các bội của 6 là 0,6,12,18,24,30,36,42,48,54. Chỉ giữ những số cũng chia hết cho 8.
- Ta giữ 0,24,48. Số 36 chia hết cho 6 nhưng không chia hết cho 8, nên bị loại.
- Trong các số giữ lại, 24 là số dương nhỏ nhất. 48 cũng là bội chung nhưng không phải BCNN.
Kết luận và kiểm tra
\operatorname{BCNN}(6,8)=24. Kiểm tra 24=6\cdot4=8\cdot3. Số 0 thuộc tập bội chung, không phải đáp án cho lần gặp lại đầu tiên.
Một phép thử đúng chưa đủ
Cách nghĩ dễ sai: “18 chia hết cho 6, vậy 18 là bội chung của 6 và 8.”
Sửa lại: Bội chung phải thỏa từng điều kiện cùng lúc.
Kiểm tra bằng một ví dụ: 18 không chia hết cho 8; 24 thì chia hết cho cả 6 và 8.
02
Số mũ: gom đủ từng yêu cầu
Phân tích thừa số nguyên tố giúp đọc một số như một danh sách yêu cầu. Một bội của 2^3\cdot3 phải có ít nhất ba thừa số 2 và một thừa số 3. Ta ghép các yêu cầu, không ghép nguyên xi các số.
02
Mỗi số nguyên tố lấy số mũ lớn nhất
Quy tắc. Phân tích từng số. Với mỗi số nguyên tố xuất hiện, lấy số mũ lớn nhất ở các phân tích; số không chứa nguyên tố ấy có số mũ 0.
Vì sao đúng? Muốn chia hết cho từng số, số mũ của mỗi nguyên tố phải không nhỏ hơn mọi yêu cầu. Mức thấp nhất thỏa tất cả chính là số mũ lớn nhất. Tích tạo ra chia hết cho các số đã cho và chia hết mọi bội chung.
Điều kiện. Dùng phân tích nguyên tố đầy đủ của các số nguyên dương. Số 1 không có thừa số nguyên tố và không đặt thêm yêu cầu.
Khi nào không dùng được? Số mũ nhỏ nhất dùng cho ƯCLN, không dùng cho BCNN. Cộng các số mũ thường đếm lặp thừa số và tạo bội chung lớn hơn cần thiết.
Ví dụ 2. Ghép ba danh sách yêu cầu
Tìm \operatorname{BCNN}(12,18,20) và giải thích từng số mũ.
- 12=2^2\cdot3, 18=2\cdot3^2, 20=2^2\cdot5.
- Với 2, cần lớn nhất trong 2, 1, 2: lấy 2. Với 3, cần lớn nhất trong 1, 2, 0: lấy 2. Với 5, cần lớn nhất trong 0, 0, 1: lấy 1.
- Suy ra L=2^2\cdot3^2\cdot5=180. Hạ số mũ của 2 thì không còn chia hết cho 12; hạ số mũ của 3 thì không còn chia hết cho 18; bỏ 5 thì không còn chia hết cho 20.
Kết luận và kiểm tra
180 là mức vừa đủ: 180/12=15, 180/18=10, 180/20=9. Mọi bội chung đều cần các thừa số của 180, nên đều chia hết cho 180.
PHÒNG THÍ NGHIỆM
Bảng số mũ: vì sao mức lớn nhất là vừa đủ?
Nhập hai hoặc ba số nguyên từ 1 đến 120. Mỗi hàng là một số nguyên tố; ô vàng là yêu cầu lớn nhất. Dự đoán quy tắc rồi thay đổi dữ liệu.
Số lượng số cần ghép Số thứ nhất (1 đến 120) Số thứ hai (1 đến 120) Số thứ ba (1 đến 120) Quy tắc nào đúng với mọi dữ liệu hợp lệ?
Chọn quy tắc đúng với mọi dữ liệu hợp lệ, không chỉ bộ số đang hiển thị, rồi bấm kiểm tra.
Trên màn hình hẹp, vuốt ngang sơ đồ để đọc đầy đủ các nhãn.
Bảng tự cập nhật khi thay đổi các số.
Thử trước khi đọc lời giải:
- Đổi số thứ ba từ 20 thành 5. Số mũ của 2 có cần giảm không? Vì sao?
- Thử ba số 1. Không có nguyên tố nào, vậy BCNN phải là bao nhiêu?
- Thử 8 và 12 ở chế độ hai số. Chỉ giữ nguyên tố chung có bỏ sót yêu cầu nào không?
03
Yêu cầu thừa và công thức hai số
Trước khi phân tích dài, hãy tìm các yêu cầu đã được một số khác bao trùm. Một số chia hết cho số kia thì đã mang đủ thừa số của nó. Đây là cách rút gọn bài toán, không phải phép đoán theo số lớn nhất.
03
Bỏ yêu cầu thừa; dùng công thức hai số đúng phạm vi
Quy tắc. Nếu a\mid b thì \operatorname{BCNN}(a,b)=b. Với đúng hai số nguyên dương, \operatorname{BCNN}(a,b)=ab/\operatorname{UCLN}(a,b).
Vì sao đúng? Nếu b chia hết cho a, tức là a\mid b, mọi bội của b đã là bội của a. Với mỗi nguyên tố ở hai số, số mũ nhỏ nhất cộng số mũ lớn nhất bằng tổng hai số mũ, nên ƯCLN nhân BCNN bằng tích hai số.
Điều kiện. Phải kiểm tra đúng chiều chia hết. Công thức tích áp dụng cho hai số dương. Với nhiều số, tính BCNN từng cặp liên tiếp hoặc dùng bảng số mũ.
Khi nào không dùng được? Số lớn nhất chưa chắc chia hết các số còn lại: 10 lớn hơn 6 nhưng BCNN là 30. Không suy ra ƯCLN của ba số nhân BCNN của ba số bằng tích ba số.
Ví dụ 3. Yêu cầu nào đã có sẵn?
Tìm \operatorname{BCNN}(16,24,48).
- Kiểm tra 48=16\cdot3=24\cdot2. Số 48 thỏa cả ba điều kiện.
- Mọi bội chung phải là bội của 48 vì 48 cũng là một số trong danh sách.
- Vì 48 tự thỏa và không bội dương nào của 48 nhỏ hơn 48, đây là BCNN.
Kết luận và kiểm tra
Đáp án 48 đến từ phép kiểm tra chia hết, không đến từ quy tắc “chọn số lớn nhất” vô điều kiện.
Ví dụ 4. Tích hai số và phản ví dụ ba số
Biết \operatorname{UCLN}(18,30)=6. Tìm BCNN, rồi kiểm tra liệu công thức tích có dùng nguyên xi cho 2, 4, 8 được không.
- \operatorname{BCNN}(18,30)=18\cdot30/6=90. Kiểm tra 90 chia hết cho 18 và 30.
- Với 2, 4, 8, ta có ƯCLN là 2 và BCNN là 8.
- Tích ƯCLN và BCNN là 2\cdot8=16, còn tích ba số là 2\cdot4\cdot8=64. Hai kết quả khác nhau.
Kết luận và kiểm tra
Muốn ghép ba số bằng phép tính hai số, dùng \operatorname{BCNN}(\operatorname{BCNN}(a,b),c). Không chia tích ba số cho ƯCLN chung rồi coi đó là BCNN.
Nguyên tố cùng nhau: xét đúng đối tượng
Cách nghĩ dễ sai: “Ba số có ƯCLN chung bằng 1 thì BCNN bằng tích ba số.”
Sửa lại: Với hai số, ƯCLN bằng 1 đủ để BCNN bằng tích. Với ba số, cần các số đôi một nguyên tố cùng nhau nếu muốn dùng tích ngay.
Kiểm tra bằng một ví dụ: \operatorname{UCLN}(6,10,15)=1 nhưng \operatorname{BCNN}(6,10,15)=30, không phải 900.
04
Một dãy bội, nhiều kiểu khoảng
Sau khi tìm được BCNN L, danh sách bội chung không còn là nhiều dãy khó theo dõi. Nó là một dãy duy nhất 0,L,2L,3L,\ldots. Bài toán tìm và đếm trở thành chọn các chỉ số k phù hợp với khoảng.
04
Đếm chỉ số, giữ đúng hai đầu khoảng
Quy tắc. Các bội chung tự nhiên có dạng x=kL với k nguyên không âm. Trong khoảng đóng A\le x\le B với 0\le A\le B, lấy k_{\min}=\lceil A/L\rceil và k_{\max}=\lfloor B/L\rfloor.
Vì sao đúng? Chia hai vế bất đẳng thức cho L dương. Chỉ số đầu tiên là số nguyên không nhỏ hơn A/L; chỉ số cuối là số nguyên không lớn hơn B/L. Số chỉ số là \max(0,k_{\max}-k_{\min}+1).
Điều kiện. L là BCNN dương; khoảng và việc cho phép 0 phải được ghi rõ. Dấu ngoặc sàn làm tròn xuống, dấu ngoặc trần làm tròn lên đến số nguyên.
Khi nào không dùng được? Khoảng mở phải loại đầu mút nếu nó là bội. Nếu hỏi bội chung dương, loại k bằng 0. Không cộng 1 khi chỉ số đầu đã lớn hơn chỉ số cuối.
Ví dụ 5. Bội chung có ba chữ số
Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 14 và 21?
- 14=2\cdot7 và 21=3\cdot7 nên L=42.
- Ba chữ số nghĩa là 100\le42k\le999. Bội đầu là 42\cdot3=126, vì 42\cdot2=84 chưa đủ ba chữ số.
- Bội cuối là 42\cdot23=966, vì 42\cdot24=1008 đã có bốn chữ số. Chỉ số từ 3 đến 23 có 23-3+1=21 giá trị.
Kết luận và kiểm tra
Có 21 số. Đếm số khoảng cách giữa các chỉ số chỉ cho 20; phải cộng 1 để tính cả số đầu tiên.
Ví dụ 6. Khoảng có thể chọn duy nhất một bội
Một kho sách có số cuốn x, 300<x<500. Xếp bộ 12, 15 hoặc 18 cuốn đều vừa đủ. Tìm x.
- “Đều vừa đủ” nghĩa là x chia hết cho cả 12, 15 và 18. L=2^2\cdot3^2\cdot5=180.
- Các bội gần khoảng là 180, 360, 540. Chỉ 360 nằm giữa 300 và 500.
- Kiểm tra 360/12=30, 360/15=24, 360/18=20 bộ.
Kết luận và kiểm tra
Kho có 360 cuốn. BCNN 180 là bước nhảy của dãy, còn đáp án của bài có thêm điều kiện khoảng nên là 360.
Đọc một thay đổi nhỏ
Với 6 và 8, các bội chung trong khoảng đóng từ 0 đến 48 là 0, 24, 48: có 3 số. Nếu hỏi số dương thì có 2 số. Nếu hỏi 0<x<48 thì chỉ có 24. Một dấu bất đẳng thức có thể đổi số đáp án.
05
Mẫu chung: nhỏ nhất và dùng được
Quy đồng mẫu cũng là ghép yêu cầu chia hết. Nhưng “một mẫu chung” khác “mẫu chung nhỏ nhất”. BCNN giúp tính gọn; nó không cấm ta chọn một bội chung dương khác.
05
BCNN là mẫu chung gọn nhất của các mẫu đang dùng
Quy tắc. Với các phân số có mẫu nguyên dương b và d, BCNN của b và d là số dương nhỏ nhất chia hết cho cả hai mẫu. Mọi bội dương của BCNN đều là mẫu chung dùng được khi nhân cả tử và mẫu với số nguyên dương.
Vì sao đúng? Nếu M chia hết cho b, ta nhân cả tử và mẫu với M/b để giữ nguyên giá trị. Điều tương tự đúng cho mẫu d; vì vậy cần M chia hết cho cả hai mẫu.
Điều kiện. Đang quy đồng theo các mẫu đã chọn và hệ số nhân nguyên dương. Có thể rút gọn trước để thay các mẫu bằng những số nhỏ hơn.
Khi nào không dùng được? BCNN không phải mẫu chung duy nhất. Nếu phân số chưa tối giản, BCNN của các mẫu viết ban đầu có thể lớn hơn mẫu nhỏ nhất dùng được sau khi rút gọn. Mẫu 0 không hợp lệ.
Ví dụ 7. Hai mẫu khác nhau, một kết quả
Tính \frac5{12}+\frac7{18} bằng mẫu 36 và bằng mẫu 72.
- \operatorname{BCNN}(12,18)=36. Nhân phân số thứ nhất với 3/3, phân số thứ hai với 2/2.
- \frac5{12}+\frac7{18}=\frac{15}{36}+\frac{14}{36}=\frac{29}{36}.
- 72 cũng chia hết cho 12 và 18: \frac5{12}+\frac7{18}=\frac{30}{72}+\frac{28}{72}=\frac{58}{72}=\frac{29}{36}.
Kết luận và kiểm tra
Cả hai mẫu đều hợp lệ; 36 giúp các số nhỏ hơn. Không cộng mẫu để có mẫu 30, vì 30 không chia hết cho 12 và 18.
Rút gọn trước có thể tiết kiệm thêm
Cách nghĩ dễ sai: “Với 2/6 và 3/9, mọi cách quy đồng đều phải dùng mẫu ít nhất 18.”
Sửa lại: 18 là BCNN của 6 và 9, nhưng ta được phép rút gọn phân số trước.
Kiểm tra bằng một ví dụ: 2/6=1/3 và 3/9=1/3. Sau rút gọn, mẫu chung 3 đã đủ. Khi đề hỏi “mẫu chung nhỏ nhất”, hãy xem nó đang yêu cầu theo các mẫu ban đầu hay cho phép rút gọn trước.
06
Chu kì: cùng mốc hay lệch mốc?
Một lịch lặp đều chỉ trở thành bài toán BCNN trực tiếp khi các lịch có một lần cùng xảy ra làm mốc. Đo thời gian từ mốc ấy, mỗi lần gặp lại phải là bội của từng chu kì.
06
Có cùng mốc mới lấy BCNN làm lần gặp lại đầu tiên
Quy tắc. Nếu hai hoặc ba sự kiện cùng xảy ra ở thời điểm 0, lặp đều theo các chu kì nguyên dương cùng đơn vị, lần cùng xảy ra tiếp theo là BCNN các chu kì.
Vì sao đúng? Tại thời gian t, sự kiện chu kì a xuất hiện khi t là bội của a. Cùng xuất hiện nghĩa là t là bội chung; “tiếp theo” yêu cầu t dương nhỏ nhất.
Điều kiện. Phải có mốc chung và chu kì cố định, cùng đơn vị. Số lần xuất hiện thêm sau mốc của nhịp a đến thời gian t là t/a khi t là bội của a; nếu tính cả mốc, cộng 1.
Khi nào không dùng được? Nếu một lịch bắt đầu muộn hơn, không dùng BCNN như thời gian chờ ngay từ thời điểm 0. Độ lệch có thể đổi lần gặp đầu hoặc khiến hai lịch không bao giờ gặp. Mốc dưới của cửa sổ quan sát trong thí nghiệm không phải độ lệch lịch.
Ví dụ 8. Chu kì và số lần là hai câu hỏi
Ba đèn cùng nháy tại thời điểm 0, rồi lặp mỗi 6, 8 và 12 giây. Lần cùng nháy tiếp theo ở đâu? Mỗi đèn đã nháy thêm mấy lần?
- \operatorname{BCNN}(6,8,12)=24 giây; thêm chu kì 12 không đổi kết quả vì 24 đã chia hết cho 12.
- Sau mốc, đèn thứ nhất nháy tại 6, 12, 18, 24: thêm 4 lần. Đèn thứ hai thêm 24/8=3 lần, đèn thứ ba thêm 24/12=2 lần.
- Nếu tính cả lần nháy ở mốc 0, các số lần tương ứng là 5, 4, 3.
Kết luận và kiểm tra
Lần gặp lại là sau 24 giây, không phải sau 6+8+12=26 giây. Hãy ghi rõ có tính sự kiện tại mốc hay không.
PHÒNG THÍ NGHIỆM
Dòng thời gian: hai hoặc ba nhịp cùng xuất phát
Mọi nhịp bắt đầu ở 0. Chu kì là số nguyên từ 1 đến 30 giây. Đầu cửa sổ từ 0 đến 360 giây; cuối cửa sổ từ 1 đến 360 giây và không nhỏ hơn đầu. Vạch xanh là lúc mọi nhịp cùng xuất hiện; bộ đếm lấy cả hai đầu cửa sổ.