Toán · 05/06 · Hình học · Đo đúng, tính chắc
Tư duy nền tảng · Từ đếm hình đến chi phí thực tế: dùng danh sách, đơn vị và kiểm tra ngược để giữ mỗi bước lập luận rõ ràng.
LUKATO · MATHEMATICS STUDIO
TOÁN · TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ · BÀI 05
Hình học · Đo đúng, tính chắc
Từ đếm hình đến chi phí thực tế: dùng danh sách, đơn vị và kiểm tra ngược để giữ mỗi bước lập luận rõ ràng.
- Đọc dữ kiện
- Dựng mô hình
- Kiểm tra kết luận
01
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Từ nét vẽ đến phép tính
Một đoạn thẳng có thể là cạnh, đường chéo hoặc chiều cao. Trước khi dùng công thức, hãy nói rõ đoạn thẳng ấy đóng vai trò gì.
Đếm đúng đối tượng
Đếm tam giác cần quy định đỉnh được phép dùng. Cộng chu vi nhiều hình cần liệt kê từng hình, kể cả các hình nằm bên trong một hình lớn.
Đúng loại đại lượng
Chu vi đo độ dài đường bao. Diện tích đo phần mặt phẳng được phủ. Số viên gạch là số nguyên, còn tiền bằng số lượng nhân đơn giá.
Kiểm tra dữ kiện
Hình minh họa không thay thế dữ kiện. Nếu hình và lời đề mâu thuẫn, cần nêu rõ cách hiểu được dùng để giải, thay vì âm thầm trộn hai bộ số.
Mục tiêu học tập
Sau bài học, em có thể phân loại các hình để đếm không trùng; đổi đơn vị độ dài và diện tích; tính phần diện tích còn lại; đọc đúng đáy và chiều cao; giải bài toán chi phí, độ dài dây và diện tích bị cắt đi.
Trong công thức hình bình hành, chiều cao vuông góc với đáy đã chọn. Các độ dài phải cùng đơn vị trước khi nhân hoặc cộng.
Đổi đơn vị diện tích
Vì , một hình vuông cạnh một mét có ô vuông cạnh một xentimét. Do đó . Hệ số đổi diện tích là bình phương hệ số đổi độ dài.
02
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Đếm tam giác đều bằng một danh sách
Một cách đếm đáng tin cậy luôn cho thấy các nhóm hình nào đã được tính và tại sao danh sách đã đầy đủ.
Đề bài gốc
Tam giác nào được phép đếm?
Trọng tâm: Tam giác đều; phân loại và đếm hình · Mức vừa · Gợi ý thời gian: 5 phút.
Trong hình lục giác đều với tâm , đã vẽ tất cả các đoạn nối hai đỉnh của lục giác. Có bao nhiêu tam giác đều có cả ba đỉnh thuộc bảy điểm đã ghi tên ?
Các chấm đỏ có tên là những đỉnh được phép dùng trong câu hỏi đã làm rõ điều kiện.
A. 6
B. 8
C. 10
D. 1
Lời giải từng bước
Bước 1 — Tam giác có đỉnh ở tâm. Sáu bán kính bằng nhau. Mỗi góc ở tâm giữa hai đỉnh kề nhau bằng . Do đó cạnh của lục giác đều bằng bán kính, và có sáu tam giác đều:
Bước 2 — Tam giác không có đỉnh ở tâm. Để ba cạnh bằng nhau, ba đỉnh phải chia sáu đỉnh của lục giác thành ba khoảng cách đều nhau quanh đường tròn. Ta chọn cách một đỉnh, thu được đúng hai tam giác:
Vì sao không còn loại nào? Ba đỉnh bất kỳ trên một đường tròn tạo thành tam giác đều chỉ khi các cung nhỏ liên tiếp giữa chúng bằng nhau. Trong sáu vị trí cách đều, ba khoảng phải cùng chứa hai bước. Nếu có tâm, hai đỉnh còn lại phải kề nhau để khoảng cách giữa chúng bằng bán kính. Hai trường hợp đã xét phủ hết khả năng.
Chọn B. A chỉ đếm sáu hình quanh tâm; D bỏ qua phần lớn các hình; C không tương ứng với một phân loại đầy đủ theo điều kiện đã nêu.
Điều kiện làm thay đổi đáp án
Câu hỏi ngắn “trong hình có bao nhiêu tam giác đều?” chưa xác định rõ đỉnh có thể là giao điểm chưa ghi tên hay không. Nếu cho phép mọi giao điểm của các đoạn đã vẽ, hình này có 14 tam giác đều: tám hình vừa liệt kê và sáu hình nhỏ có đỉnh chưa ghi tên. Đáp án 8 chỉ dùng khi giới hạn đỉnh ở bảy điểm đã ghi tên.
Bẫy cần tránh
Không đếm theo cảm giác về kích thước. Không tự coi một giao điểm chưa ghi tên là đỉnh được phép dùng khi câu hỏi đã giới hạn tập đỉnh. Hình phải là lục giác đều; một lục giác bất kỳ không bảo đảm các tam giác trên là đều.
Tự giải thích bằng lời
Vì sao không phải tam giác đều? Hai cạnh là bán kính, nhưng hai đỉnh không kề nhau. Đoạn dài hơn bán kính. Có hai cạnh bằng nhau mới chỉ đủ để gọi tam giác cân.
03
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Chu vi của một hình và tổng chu vi nhiều hình
Hai câu hỏi có thể dùng cùng một hình vẽ nhưng yêu cầu hai phép tính khác nhau.
Đề bài gốc
Cộng chu vi của tất cả các hình vuông
Trọng tâm: Liệt kê hình vuông; phân biệt tổng chu vi và đường bao · Mức cơ bản · Gợi ý thời gian: 3 phút.
Mỗi ô vuông trong lưới dưới đây có cạnh . Tổng chu vi của tất cả các hình vuông trong hình là bao nhiêu?
Có bốn hình vuông nhỏ và một hình vuông lớn.
A.
B.
C.
D.
Lời giải từng bước
Nhóm theo cạnh. Có bốn hình vuông cạnh một xentimét. Mỗi hình có chu vi , nên nhóm này đóng góp . Có một hình vuông lớn cạnh , chu vi .
Chọn D. B bỏ hình vuông lớn; C chỉ đo đường bao ngoài. A có thể xuất phát từ việc chỉ cộng thêm một phần đường bao lớn, nên không có danh sách các hình phù hợp.
Các cạnh chung có được tính lại không? Có, vì đề hỏi tổng chu vi của từng hình. Một đoạn nằm trên chu vi hai hình khác nhau được tính một lần cho mỗi hình đó. Nếu đề hỏi tổng độ dài các nét trong hình hoặc chu vi vùng hợp, quy tắc sẽ khác.
Bẫy cần tránh
Tổng chu vi của năm hình là ; chu vi vùng ngoài chỉ là ; tổng chiều dài các nét của lưới là . Đọc đúng danh từ sau chữ “tổng” trước khi tính.
Đề bài gốc
Đường chéo được dùng làm cạnh hình mới
Trọng tâm: Hình thoi; chu vi; nhận diện vai trò đoạn thẳng · Mức cơ bản · Gợi ý thời gian: 2 phút.
Cho hình chữ nhật có đường chéo . Vẽ một hình thoi có cạnh bằng đường chéo của hình chữ nhật đó. Tổng độ dài các cạnh của hình thoi là bao nhiêu?
Hình minh họa chỉ dùng tính chất bốn cạnh bằng nhau, không cần biết góc của hình thoi.
A.
B.
C.
D.
Lời giải từng bước
Đường chéo của hình chữ nhật có độ dài sáu xentimét. Đề quy định độ dài ấy trở thành cạnh của hình thoi. Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau:
Chọn D. B mới tính hai cạnh, C mới tính ba cạnh. A không dùng đúng độ dài cạnh đã cho. Ta không cần tính chiều dài, chiều rộng hay diện tích của hình chữ nhật ban đầu.
Bẫy cần tránh
Không dùng công thức chu vi hình chữ nhật khi đang tính chu vi hình thoi. Một đoạn thẳng chuyển sang hình mới có thể đổi vai trò; đây là cạnh hình thoi, không phải đường chéo hình thoi.
04
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Từ diện tích nền đến số viên gạch
Chia hai diện tích cùng đơn vị để tìm số lượng, rồi kiểm tra có thể xếp gạch theo các cạnh hay không.
Đề bài gốc
Lát một căn phòng
Trọng tâm: Đổi đơn vị; diện tích hình vuông; chi phí · Mức vừa · Gợi ý thời gian: 5 phút.
Gia đình bác Thành mua gạch men hình vuông cạnh để lát căn phòng hình chữ nhật rộng , dài . Mỗi viên gạch giá 80 000 đồng. Tính số tiền cần trả để mua gạch. Trong mô hình này, bỏ qua mạch gạch, phần hao hụt và gạch dự phòng.
Lời giải từng bước
Bước 1 — Thống nhất đơn vị. Cạnh viên gạch là . Diện tích một viên gạch:
Bước 2 — Diện tích nền và số viên.
Bước 3 — Kiểm tra xếp theo hàng. Dọc cạnh năm mét có viên; dọc cạnh sáu mét có viên. Tích xác nhận rằng các viên xếp nguyên vẹn phủ kín nền theo mô hình.
Kết luận: cần 120 viên, tiền mua gạch là 9 600 000 đồng. Cách giải bằng xentimét cũng đúng: nền rộng , dài ; chia cho vẫn được 120.
Bẫy cần tránh
Không chia diện tích cho cạnh . Đơn vị mét vuông chia cho cm không cho số viên. Chỉ số đổi thành ; diện tích viên gạch là , không phải .
Khi diện tích chưa đủ để quyết định số viên
Nếu kích thước nền không chia hết cho cạnh gạch, phép chia diện tích chỉ cho cận dưới về vật liệu. Số viên thực tế còn tùy cách cắt, tận dụng mảnh thừa và yêu cầu lát. Trong bài đã cho, cả hai cạnh đều chia hết nên kết quả 120 được xác nhận bằng bố trí hàng và cột.
05
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Tỉ số là dữ kiện, không phải nhãn gọi
Một hình mang tên “tỉ lệ vàng” vẫn cần được phân biệt giữa giá trị chính xác và giá trị gần đúng dùng trong bài.
Đề bài gốc
Dựng hình theo tỉ số 1,6
Trọng tâm: Tỉ số chiều dài và chiều rộng; dựng hình chữ nhật · Mức cơ bản · Gợi ý thời gian: 4 phút.
Bài toán gọi một hình chữ nhật có tỉ số chiều dài và chiều rộng bằng là hình chữ nhật “tỉ lệ vàng”. Hãy vẽ hình theo tỉ số được cho, với chiều dài .
Lời giải từng bước
Gọi chiều rộng là , với . Vì tỉ số chiều dài trên chiều rộng bằng 1,6:
Cách dựng bằng thước và êke. Vẽ đoạn dài . Dựng hai đoạn và dài , cùng phía với và cùng vuông góc với . Nối . Hình có các cạnh đối song song và bốn góc vuông, nên là hình chữ nhật cần dựng.
Hình vẽ tỉ lệ đúng 8 : 5. Khi dựng trên giấy, dùng thước để đo các cạnh.
Chính xác và gần đúng
Tỉ lệ vàng chính xác là . Số 1,6 là giá trị gần đúng, được dùng làm dữ kiện tính toán của bài này. Hình có tỉ số chính xác bằng 1,6; không có tỉ số chính xác bằng . Không cần dùng căn bậc hai để giải bài theo dữ kiện đã cho.
Bẫy cần tránh
Không nhân 8 với 1,6 để tìm chiều rộng. Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng và tỉ số dài/rộng lớn hơn một, chiều rộng phải nhỏ hơn .
06
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Sơn phần tường còn lại
Một phần không sơn phải bị trừ khỏi diện tích tường. Nhiều cửa bằng nhau cần được tính đủ số lượng.
Đề bài gốc
Diện tích sơn và tiền sơn
Trọng tâm: Diện tích phần bù; số lượng cửa; đơn giá theo diện tích · Mức vừa · Gợi ý thời gian: 5 phút.
Nhà bạn Cường sơn mặt ngoài một bức tường hình chữ nhật dài , rộng . Trên tường có hai cửa sổ hình chữ nhật, mỗi cửa dài , rộng , và một cửa chớp hình vuông cạnh . Giá sơn là 50 000 đồng cho một mét vuông. Tính tiền sơn, chỉ sơn phần tường ngoài các cửa.
Tường và các cửa được vẽ cùng tỉ lệ. Vị trí các cửa chỉ để minh họa, không ảnh hưởng diện tích phải trừ.
Lời giải từng bước
Tổng diện tích tường:
Tổng diện tích các phần không sơn: hai cửa chữ nhật, thêm một cửa vuông.
Diện tích cần sơn:
Nhân đơn giá:
Kiểm tra nhanh: tiền sơn toàn bộ tường là 3 000 000 đồng. Phần không sơn tiết kiệm đồng. Lấy cũng được 2 717 500 đồng.
Bẫy cần tránh
Hệ số 2 nhân toàn bộ diện tích một cửa chữ nhật, không nhân cửa chớp. Không làm tròn 54,35 thành 54 trước khi tính tiền; đề không yêu cầu làm tròn diện tích.
07
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Dây thép đi quanh hai hình
Dây tạo đường bao nên tính chu vi. Một phần dây còn thừa vẫn thuộc đoạn dây ban đầu.
Đề bài gốc
Hai chu vi và phần còn thừa
Trọng tâm: Chu vi; tổng độ dài; xử lý dữ kiện mâu thuẫn · Mức vừa · Gợi ý thời gian: 4 phút.
Uốn một đoạn dây thép thành hai hình chữ nhật: hình thứ nhất dài , rộng ; hình thứ hai dài , rộng . Sau khi uốn, dây còn thừa . Tính độ dài đoạn dây ban đầu. Mỗi hình dùng một đường dây kín riêng; không có đoạn dây dùng chung.
Kích thước minh họa theo lời đề: hình thứ nhất có chiều rộng , hình thứ hai có chiều dài .
Lời giải từng bước
Chu vi hình thứ nhất:
Chu vi hình thứ hai:
Độ dài ban đầu gồm dây đã dùng và dây còn thừa:
Có thể gộp tính: hai hình có bốn cạnh dài , thêm hai cạnh , hai cạnh và phần thừa .
Đọc dữ kiện nhất quán
Hình minh họa trong đề ban đầu ghi ở một cạnh của hình chữ nhật thứ nhất, trong khi lời đề nói chiều rộng . Lời giải này dùng kích thước ghi trong lời đề và hình được vẽ lại tương ứng. Nếu thay chiều rộng hình thứ nhất bằng , ta đang giải một bài khác và sẽ được .
Bẫy cần tránh
Các đường có thể cắt nhau trên bản vẽ nhưng không vì thế mà trừ một đoạn dây. Chỉ trừ chiều dài nếu đề thực sự cho phép hai hình dùng chung cùng một đoạn vật liệu. Không quên cộng còn thừa.
08
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Diện tích giảm chỉ ra cạnh còn thiếu
Khi giữ nguyên chiều rộng và giảm chiều dài, phần bị bỏ đi là một dải chữ nhật. Dải này cho ta một phương trình rất ngắn.
Đề bài gốc
Dải cắt rộng sáu xentimét
Trọng tâm: Mô hình dải chữ nhật; tìm kích thước từ diện tích · Mức vừa · Gợi ý thời gian: 5 phút.
Một miếng bìa hình chữ nhật được giảm chiều dài và giữ nguyên chiều rộng để trở thành một miếng bìa hình vuông. Diện tích giảm . Tính diện tích miếng bìa ban đầu.
Dải màu vàng là phần diện tích bị bỏ đi. Hình minh họa dùng kích thước suy ra .
Lời giải từng bước
Gọi chiều rộng ban đầu là . Sau khi giảm chiều dài, hình mới là hình vuông nên chiều dài mới cũng bằng . Chiều dài ban đầu bằng .
Cách nhìn trực tiếp: dải bị bỏ đi có một cạnh , cạnh còn lại chính là chiều rộng . Vì diện tích dải là :
Kiểm tra ngược: hình vuông mới có diện tích . Diện tích ban đầu giảm đúng . Chiều dài giảm còn , bằng chiều rộng.
Bẫy cần tránh
Sáu xentimét là phần chiều dài giảm, không phải chiều dài ban đầu. Số 48 là diện tích dải bị bỏ, không phải diện tích hình vuông còn lại.
09
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Lối đi nghiêng nhưng chiều cao thẳng đứng
Hình bình hành dùng đáy nhân chiều cao tương ứng. Độ nghiêng của cạnh bên không tự động làm thay đổi diện tích.
Đề bài gốc
Phần vườn không tính lối đi
Trọng tâm: Diện tích hình bình hành; chiều cao theo đáy; phần bù · Mức vừa · Gợi ý thời gian: 5 phút.
Mảnh vườn hình chữ nhật dài , rộng . Một lối đi hình bình hành nối cạnh trên với cạnh dưới. Đoạn mà lối đi chiếm trên mỗi cạnh nằm ngang dài . Tính diện tích phần vườn không tính lối đi.