Toán · 06/06 · Mô hình, lũy thừa và chứng minh
Tư duy nền tảng · Từ ngân sách và bèo nhân đôi đến phần dư, số nhỏ nhất và lập luận bao quát mọi trường hợp.
LUKATO · MATHEMATICS STUDIO
TOÁN · TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ · BÀI 06
Mô hình, lũy thừa và chứng minh
Từ ngân sách và bèo nhân đôi đến phần dư, số nhỏ nhất và lập luận bao quát mọi trường hợp.
- Đọc dữ kiện
- Dựng mô hình
- Kiểm tra kết luận
01
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Bài toán có lời văn: chọn phép tính bằng ý nghĩa
Mục tiêu: nhận ra dữ kiện cần dùng, dựng phép tính có đơn vị và quyết định làm tròn dựa trên câu hỏi. Mức cơ bản đến vận dụng · khoảng 20 phút.
Đại lượng
Ta đếm quyển vở, chỗ ngồi, toa tàu hay chữ số? Tên đại lượng quyết định cách hiểu thương và số dư.
Ràng buộc
Tiền không được vượt ngân sách; chỗ ngồi phải đủ cho mọi người. Cùng là phép chia nhưng hai ràng buộc đi theo hai hướng.
Kiểm tra kề cận
Thử thêm một quyển hoặc bớt một toa. Nếu kết quả vi phạm điều kiện thì đáp án đã đạt đúng ngưỡng.
Đề bài gốc
Ngân sách hữu hạn: mua nhiều nhất
Một quyển vở 200 trang có giá 18 nghìn đồng. Với số tiền 350 nghìn đồng, bạn Huyền mua được nhiều nhất bao nhiêu quyển vở?
A. 15 quyển
B. 19 quyển
C. 20 quyển
D. 18 quyển
Lời giải từng bước
Khái niệm: phép chia có dư và giới hạn ngân sách. Gọi là số quyển mua được. Vì số quyển là số nguyên không âm và tổng tiền không được vượt số tiền có sẵn, ta cần khi tính tiền bằng nghìn đồng.
Vì vậy mua 19 quyển hết 342 nghìn đồng, còn 8 nghìn đồng. Quyển thứ 20 làm tổng giá thành 360 nghìn đồng, lớn hơn 350 nghìn đồng. Chọn B, mua nhiều nhất 19 quyển.
Vì sao các lựa chọn khác không đúng? 15 và 18 quyển vẫn mua được nhưng chưa phải nhiều nhất; 20 quyển vượt ngân sách. Dữ kiện 200 trang mô tả loại vở, không thay đổi giá của một quyển nên không tham gia phép tính này.
Bẫy cần tránh
Không làm tròn thương lên 20. Phần tiền dư chưa đủ để mua thêm một quyển; cũng không chia ngân sách cho số trang.
Đề bài gốc
Tìm tiền đã trả rồi tìm giá một quyển
Mẹ cho Lan 100 000 đồng để mua 6 quyển vở. Sau khi mua, Lan còn thừa 52 000 đồng.
a) Lan mua 6 quyển vở hết bao nhiêu tiền?
b) Giá tiền một quyển vở là bao nhiêu? Giả sử sáu quyển có cùng giá.
Lời giải từng bước
Khái niệm: bảo toàn tổng tiền và chia đều. Số tiền lúc đầu bằng tiền đã trả cộng tiền còn lại. Do đó tiền đã trả phải được tính trước:
Giá một quyển bằng tổng giá của sáu quyển chia cho sáu:
Đáp số: a) 48 000 đồng; b) 8 000 đồng một quyển. Kiểm tra: sáu quyển giá 8 000 đồng tạo thành 48 000 đồng; cộng 52 000 đồng tiền còn lại được đúng 100 000 đồng.
Ở đây việc chia đều cần giả thiết các quyển cùng giá. Nếu mỗi quyển có giá khác nhau thì chỉ tìm được giá trung bình, chưa xác định riêng từng quyển.
Bẫy cần tránh
Không lấy 52 000 chia cho 6: đó là tiền chưa dùng, không phải tổng giá vở. Theo dõi cùng một người mua trong toàn bộ bài toán.
Đề bài gốc
Cân bằng lượng nước trong mô hình cho trước
Trong mô hình của bài toán, lượng nước mất trong một ngày gồm: 450 ml qua da (mồ hôi), 550 ml qua hít thở, 150 ml qua đại tiện, 350 ml qua trao đổi chất và 1 500 ml qua tiểu tiện.
a) Tổng lượng nước mất là bao nhiêu?
b) Nếu lượng nước hấp thụ qua thức ăn, đồ uống đã nêu là 1 000 ml, còn cần bổ sung bao nhiêu ml để cân bằng lượng mất theo mô hình này?
Lời giải từng bước
Khái niệm: cộng các phần và tìm phần còn thiếu. Tất cả dữ kiện đang cùng đơn vị ml, nên cộng trực tiếp:
Vậy tổng lượng nước mất theo dữ kiện là 3 000 ml, tương đương 3 lít. Phần cần bổ sung là tổng lượng mất trừ lượng đã hấp thụ:
Đáp số theo mô hình: a) 3 000 ml; b) 2 000 ml, tương đương 2 lít. Kiểm tra .
Đây là bài tính cân bằng trên các số liệu giả định. Kết quả không xác lập một lượng nước uống cố định cho mọi người: nhu cầu thực tế phụ thuộc nhiều điều kiện không có trong đề.
Bẫy cần tránh
Chỉ cộng các khoản mất một lần; không cộng thêm lượng đã hấp thụ vào tổng mất. Đổi ml sang lít bằng cách chia cho 1 000, không chia cho 100.
Đề bài gốc
Đủ chỗ cho tất cả: số toa ít nhất
Một tàu hỏa cần chở 980 khách. Mỗi toa tàu có 11 khoang, mỗi khoang có 8 chỗ. Hỏi cần dùng ít nhất bao nhiêu toa tàu để chở hết khách? Mỗi khách cần một chỗ ngồi, các toa có cùng sức chứa.
Lời giải từng bước
Khái niệm: sức chứa và ngưỡng tối thiểu. Trước hết tính số chỗ trên một toa:
Chia số khách cho sức chứa một toa:
Mười một toa chỉ có 968 chỗ, còn 12 khách chưa có chỗ. Phải dùng thêm một toa, dù toa cuối không kín khách. Mười hai toa có 1 056 chỗ, đủ chở 980 khách. Cần ít nhất 12 toa tàu.
Hai kiểm tra đồng thời chứng minh 12 toa là đủ và 11 toa chưa đủ. Không cần làm tròn số thập phân; phép chia có dư đã cho toàn bộ lập luận.
Bẫy cần tránh
Không bỏ số dư 12 rồi trả lời 11 toa. So với bài mua vở: tiền dư làm ta dừng mua, khách còn dư làm ta tăng số toa.
Cùng phép chia, hai quyết định khác nhau
Trong bài mua vở, đáp án là số nguyên lớn nhất không vượt ngân sách. Trong bài chở khách, đáp án là số nguyên nhỏ nhất đạt đủ sức chứa. Đừng học một quy tắc “luôn làm tròn lên” hoặc “luôn làm tròn xuống”; hãy đọc ràng buộc.
Đề bài gốc
Đếm chữ số: chia theo độ dài số trang
Lan có một quyển sổ tay 256 trang. Lan đánh số trang từ 1 đến 256, mỗi trang được viết số một lần, không thêm số 0 ở đầu. Hỏi Lan đã viết bao nhiêu chữ số?
Lời giải từng bước
Khái niệm: phân nhóm theo số chữ số. Mỗi số trang không dùng cùng một lượng chữ số. Chia thành ba nhóm:
Nhóm trang · Số trang · Chữ số mỗi trang · Số chữ số
1 đến 9 · 9 · 1 · 9
10 đến 99 · 90 · 2 · 180
100 đến 256 · 157 · 3 · 471
Lan viết 660 chữ số. Nhóm cuối có trang. Cộng số trang ba nhóm: ; đây là phép kiểm tra để phát hiện bỏ sót ranh giới.
Cách nhìn khác: nếu tạm cho mọi trang đều dùng ba chữ số, ta đếm . Chín trang đầu bị đếm thừa hai chữ số mỗi trang, 90 trang tiếp theo bị đếm thừa một chữ số mỗi trang. Sửa lại được .
Bẫy cần tránh
Không lấy 256 nhân 3 vì các trang dưới 100 dùng ít chữ số hơn. Khi đếm cả hai đầu của một đoạn số nguyên, phải cộng 1.
02
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Tăng gấp đôi: đi ngược từ ngày đầy ao
Mục tiêu: nhận diện tăng trưởng theo phép nhân; phân biệt số cụm ban đầu với thời gian tăng trưởng. Mức vận dụng · khoảng 10 phút.
Đề bài gốc
Tám cụm bèo giúp tiết kiệm bao nhiêu ngày?
Thả một cụm bèo xuống ao thì sau 50 ngày bèo phủ kín mặt ao. Sau mỗi ngày, diện tích bèo tăng gấp đôi. Nếu thả 8 cụm bèo giống nhau vào cùng ao ngay từ đầu, sau bao nhiêu ngày bèo phủ kín mặt ao? Giả sử các cụm có cùng diện tích ban đầu và quy luật tăng gấp đôi áp dụng đến khi đầy ao.
Lời giải từng bước
Khái niệm: lũy thừa của 2 và dịch mốc thời gian. Từ một cụm ban đầu, sau một ngày có diện tích tương đương hai cụm, sau hai ngày tương đương bốn cụm, sau ba ngày tương đương tám cụm:
Vì vậy bắt đầu bằng tám cụm nghĩa là bắt đầu ở trạng thái mà một cụm phải mất ba ngày mới đạt được. Tám cụm không rút thời gian xuống một phần tám; nó rút bớt đúng ba lần tăng gấp đôi.
Đáp số: 47 ngày. Nếu gọi diện tích một cụm ban đầu là , diện tích ao là , thì . Sau 47 ngày từ tám cụm, diện tích là . Sau 46 ngày chỉ bằng nửa ao, nên ngày 47 là mốc đầy đầu tiên.
Đi ngược: với một cụm, ngày 49 là nửa ao, ngày 48 là một phần tư ao, ngày 47 là một phần tám ao. Tăng số cụm ban đầu lên tám lần làm diện tích ở mỗi ngày cũng tăng tám lần.
Bẫy cần tránh
Không tính 50 : 8. Sự tăng trưởng ở đây là nhân đôi từng ngày, không phải tốc độ phủ ao cố định. Quy ước ngày 0 là thời điểm thả bèo; 50 ngày là 50 lần nhân đôi.
Phòng khám phá · Đi trước bao nhiêu ngày? DỰ ĐOÁN · ĐỔI · KIỂM TRA
Ao vẫn có quy mô như bài trên. Chọn số cụm ban đầu là một lũy thừa của 2; quan sát mốc đầy ao và tỉ lệ mặt ao phủ tại ngày đang xem. Hình biểu diễn tỉ lệ diện tích, không mô phỏng hình dạng thực của bèo.
Số cụm lúc đầu
Ngày quan sát
Tự đặt câu hỏi trước khi đổi thanh trượt
Nếu tăng số cụm từ 8 lên 16, mốc đầy ao đổi thế nào? Giảm đúng một ngày vì thêm một lần nhân đôi ở thời điểm đầu. Với 8 cụm, ngày 46 chỉ là nửa ao, ngày 47 đầy ao. Khi mô hình đã đầy, hình giữ ở toàn bộ diện tích ao: phần vượt không được xem như diện tích mặt ao mới.
Tổng quát trong giới hạn mô hình
Nếu một cụm đầy ao sau ngày và ban đầu có cụm, với , thì thời gian đầy ao là ngày. Số ngày tiết kiệm là số lần nhân đôi tương ứng, không phải chính số cụm. Với số cụm không phải lũy thừa của 2, cần xác định quy ước tăng trưởng và mốc quan sát trước khi kết luận.
03
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Chia hết: nhóm hạng và thiết kế chữ số
Mục tiêu: biến biểu thức lớn thành các khối nhỏ; dùng điều kiện phần dư để thu hẹp các chữ số. Mức vận dụng đến nâng cao · khoảng 20 phút.
Ba cách mở khóa
Nhóm hạng: tìm một nhóm lặp lại có tổng chia hết cho số cần chứng minh. Viết theo giá trị hàng: số có hai chữ số là mười lần chữ số hàng chục cộng chữ số hàng đơn vị. Chuyển phần dư thành chữ số: điều kiện khi chia cho 2 và 5 kiểm soát hàng đơn vị; chia hết cho 9 kiểm soát tổng chữ số.
Đề bài gốc
Mười hai lũy thừa, bốn khối chia hết
Cho . Chứng minh rằng chia hết cho 7.
Lời giải từng bước
Khái niệm: đặt nhân tử chung theo nhóm. Vì chia hết cho 7, hãy chia 12 hạng tử thành bốn nhóm, mỗi nhóm gồm ba số mũ liên tiếp:
Biểu thức trong ngoặc là số nguyên, nên là bội của 7. Điều cần chứng minh đã được xác lập. Bốn nhóm bao phủ các số mũ từ 1 đến 12 đúng một lần.
Kiểm tra độc lập bằng giá trị: cộng các hạng tử cho . Việc tính ra giá trị này xác nhận đáp án, còn cách nhóm giải thích vì sao cấu trúc ba hạng tử tạo ra thừa số 7.
Cách khác: nhân tổng với 2 rồi trừ tổng ban đầu, các hạng giữa triệt tiêu, được . Vì và , vẫn có thừa số 7.
Bẫy cần tránh
Không chỉ viết “có nhiều lũy thừa của 2 nên chia hết cho 7”. Phải chỉ ra thừa số 7 hoặc từng nhóm là bội của 7. Không nhầm nhóm ba số mũ với ba số hạng bất kỳ.
Đề bài gốc
Đảo chữ số: tổng luôn có thừa số 11
Cho và là hai số có hai chữ số, với . Chứng minh chia hết cho 11.
Lời giải từng bước
Khái niệm: biểu diễn theo giá trị hàng. Kí hiệu gạch trên đầu chỉ một số viết bằng hai chữ số, không phải phép nhân . Ta có:
Vì là số nguyên, tổng là một bội của 11. Chứng minh hoàn tất. Chẳng hạn . Ví dụ giúp kiểm tra cách viết, nhưng không thay thế biểu thức chứng minh cho mọi chữ số.
Nếu cho phép và hiểu số đảo dạng 03 là số 3, đẳng thức vẫn đúng về giá trị. Tuy nhiên để cả hai đều thực sự là số có hai chữ số, phải nêu như phát biểu ở đây.
Bẫy cần tránh
Không xem số hai chữ số là tích hai chữ số. Chứng minh bằng một ví dụ duy nhất chưa bao quát mọi trường hợp.
Đề bài gốc
Số nhỏ nhất thỏa nhiều điều kiện
Viết vào bên phải số 205 một số có ba chữ số để được số nhỏ nhất có sáu chữ số khác nhau. Số nhận được khi chia cho 2 và cho 5 đều dư 1, đồng thời chia hết cho 9.
Lời giải từng bước
Khái niệm: hàng đơn vị, tổng chữ số và thứ tự từ trái sang phải. Viết số cần tìm là , trong đó vì phần thêm là một số có ba chữ số.
Bước 1 — Khóa chữ số cuối. Chia cho 5 dư 1 nên chữ số cuối là 1 hoặc 6. Chia cho 2 dư 1 nên số phải lẻ. Vậy . Bốn chữ số đã dùng là 2, 0, 5, 1; và phải khác nhau và khác các chữ số này.
Bước 2 — Chọn chữ số thứ tư nhỏ nhất. Chữ số nhỏ nhất chưa dùng và khác 0 là 3. Thử . Điều kiện chia hết cho 9 cho:
Với , tổng nằm từ 11 đến 20. Bội duy nhất của 9 trong khoảng đó là 18, nên . Chữ số 7 chưa dùng, do đó lựa chọn này hợp lệ.
Bước 3 — Kiểm tra và chứng minh nhỏ nhất. Số nhận được là . Sáu chữ số 2, 0, 5, 3, 7, 1 khác nhau; tổng chữ số 18 chia hết cho 9; chữ số cuối 1 bảo đảm cùng dư 1 khi chia cho 2 và 5. Chính xác:
Mọi số hợp lệ đều có ba chữ số đầu 205 và chữ số cuối 1. Chữ số thứ tư không thể nhỏ hơn 3 vì 0, 1, 2 đã dùng. Khi chữ số thứ tư là 3, điều kiện tổng chữ số xác định duy nhất chữ số thứ năm là 7. Vì tìm được số hợp lệ ngay ở chữ số thứ tư nhỏ nhất, 205 371 là số nhỏ nhất cần tìm.
Cách kiểm chứng bằng liệt kê: xét các phần thêm từ 100 đến 999 theo thứ tự tăng; loại số có chữ số lặp, loại số sai phần dư, rồi loại số không chia hết cho 9. Phần thêm đầu tiên còn lại là 371. Liệt kê là phép kiểm tra hữu ích; lập luận trên cho thấy vì sao tìm ra 371 mà không phải thử 900 số.
Bẫy cần tránh
Không tối ưu từng chữ số mà quên điều kiện khác nhau. Không chỉ tìm được một số rồi kết luận nhỏ nhất; phải chứng minh các chữ số đứng trước không thể giảm.
04
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
So sánh lũy thừa bằng cấu trúc
Mục tiêu: chọn cùng cơ số, cùng số mũ hoặc cùng nhân tử dương. Mức vận dụng · khoảng 15 phút.
Cùng cơ số
Với cơ số lớn hơn 1, số mũ lớn hơn tạo giá trị lớn hơn. Đưa 16 và 8 về cơ số 2 là ví dụ điển hình.
Cùng số mũ
Với hai cơ số dương và số mũ nguyên dương chung, cơ số lớn hơn cho lũy thừa lớn hơn. Tìm ước chung của hai số mũ.