Toán · 04/06 · Chia hết, ƯCLN và chia đều
Tư duy nền tảng · Từ chữ số còn thiếu tới phần thưởng công bằng: dùng điều kiện chia hết để tìm đủ nghiệm và giải thích mọi cách chia.
LUKATO · MATHEMATICS STUDIO
TOÁN · TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ · BÀI 04
Chia hết, ƯCLN và chia đều
Từ chữ số còn thiếu tới phần thưởng công bằng: dùng điều kiện chia hết để tìm đủ nghiệm và giải thích mọi cách chia.
- Đọc dữ kiện
- Dựng mô hình
- Kiểm tra kết luận
01
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Chia hết không chỉ là một phép tính
Mục tiêu: tìm chữ số còn thiếu, liệt kê đủ nghiệm có điều kiện, phân tích số thành thừa số nguyên tố và giải thích vì sao một cách chia đều là hợp lệ. Mức độ: cơ bản đến vận dụng. Thời gian gợi ý: 65–85 phút, có thể chia thành hai buổi.
Đọc đúng đối tượng
Một chữ số chỉ nhận mười giá trị. Một ước là số chia. Số nhóm và số người trong nhóm là hai đại lượng khác nhau.
Kết hợp điều kiện
Không kiểm tra riêng từng dấu hiệu rồi dừng lại. Nghiệm cuối cùng phải thỏa tất cả điều kiện cùng lúc.
Kiểm tra tính đủ
Liệt kê theo thứ tự, dùng bảng hoặc các cặp ước. Sau khi tìm được đáp án, giải thích vì sao không còn trường hợp nào khác.
Quy ước dùng trong bài
Tập số tự nhiên trong bài này là . Chữ số thuộc . Ước tự nhiên của một số dương luôn là số tự nhiên dương. Kí hiệu nghĩa là chia hết cho , với . Trong văn bản gốc, kí hiệu chia hết được đọc thành lời để không nhầm với dấu chia lấy thương.
Bốn dấu hiệu làm việc cùng nhau
Chia hết cho · Kiểm tra gì? · Ví dụ có kiểm chứng
· Chữ số tận cùng chẵn: 0, 2, 4, 6 hoặc 8. ·
· Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. ·
· Tổng các chữ số chia hết cho 3. · có tổng chữ số .
· Tổng các chữ số chia hết cho 9. · có tổng chữ số .
Vì sao xét tổng các chữ số được? Với số , các số đều hơn một bội của 9 đúng 1. Vì thế số ban đầu và tổng có cùng số dư khi chia cho 9. Lập luận tương tự đúng khi chia cho 3. Đây là lý do của quy tắc, không phải mẹo đoán đáp án.
Chia hết cho 9 kéo theo chia hết cho 3
Mọi bội của 9 đều là bội của 3 vì . Nhưng chiều ngược lại không đúng: chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Với điều kiện chia hết cho cả 3 và 9, kiểm tra 9 đã đủ cho phần tổng chữ số.
02
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Khóa chữ số cuối, rồi kiểm tra tổng chữ số
Thành thạo một quy trình: giới hạn chữ số · xử lí chữ số cuối · dùng tổng chữ số · liệt kê · thay lại vào số gốc.
Đề bài gốc
Hai chữ số, hai điều kiện
Tìm chữ số để chia hết cho 9 và 5.
Lời giải từng bước
Khái niệm: dấu hiệu chia hết cho 5 và 9; giao của các điều kiện.
Chia hết cho 5 buộc . Tổng chữ số là .
- Nếu , tổng là , nằm từ 7 đến 16. Bội của 9 duy nhất trong khoảng là 9, nên .
- Nếu , tổng là , nằm từ 12 đến 21. Bội của 9 duy nhất trong khoảng là 18, nên .
Hai số là và . Kiểm tra: ; .
Bẫy cần tránh
Không chọn mọi cặp có tổng chữ số bằng 9. Điều kiện tận cùng 0 hoặc 5 vẫn phải được giữ. Chữ số không hợp lệ dù một phép biến đổi có thể sinh ra nó.
Đề bài gốc
Liệt kê đủ mười bảy cặp
Tìm chữ số để chia hết cho 2 và 3.
Lời giải từng bước
Khái niệm: tính chẵn và tổng chữ số.
Điều kiện chia hết cho 2 cho . Tổng chữ số là . Vì 9 chia hết cho 3, chỉ cần chia hết cho 3.
Chữ số y · Điều kiện tổng · Chữ số x
· chia hết cho 3 · , , ,
· chia hết cho 3 · , ,
· chia hết cho 3 · , , ,
· chia hết cho 3 · , ,
Đọc mỗi hàng thành các cặp . Số cặp là . Bảng không bỏ sót vì đã xét toàn bộ năm chữ số chẵn có thể ở hàng đơn vị và toàn bộ mười khả năng của .
Chẳng hạn cho ; cho . Điều kiện chia hết cho cả 2 và 3 cũng tương đương chia hết cho 6.
Bẫy cần tránh
Chữ số ở hàng trăm được phép bằng 0 vì chữ số đầu tiên của số vẫn là 1. Đừng chỉ cho một ví dụ: đề yêu cầu tìm tất cả các chữ số có thể.
Đề bài gốc
Bốn điều kiện nhưng chỉ hai kiểm tra chính
Tìm chữ số để chia hết cho 2, 3, 5 và 9.
Lời giải từng bước
Khái niệm: điều kiện đồng thời; nhận biết điều kiện suy ra.
Chia hết cho cả 2 và 5 buộc chữ số tận cùng là . Khi đó tổng chữ số là . Nó nằm từ 6 đến 15, nên bội của 9 duy nhất là 9. Vì vậy . Chia hết cho 9 đã bảo đảm chia hết cho 3.
Kiểm tra trực tiếp: . Mỗi thương đều là số tự nhiên.
Bẫy cần tránh
Tận cùng 5 chỉ thỏa chia hết cho 5, nhưng không thỏa chia hết cho 2. Không cần tìm lại một điều kiện riêng cho 3 sau khi đã thỏa 9.
Đề bài gốc
Số dư không phải chia hết
Tìm chữ số để chia hết cho 2 nhưng chia cho 5 dư 4.
Lời giải từng bước
Khái niệm: số dư khi chia; chữ số tận cùng.
Ta có . Vì 1780 chia hết cho 5, số dư của số này khi chia cho 5 chính là số dư của . Trong các chữ số 0 đến 9, hai chữ số cho dư 4 là 4 và 9. Điều kiện chia hết cho 2 giữ lại chữ số chẵn: .
Đây là nghiệm duy nhất vì cả hai khả năng có số dư 4 đã được xét.
Bẫy cần tránh
Không đổi câu “chia cho 5 dư 4” thành “chia hết cho 5”. Số dư 4 hợp lệ vì .
03
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Ước, bội và điều kiện trên miền tự nhiên
Một điều kiện chia hết thường cho một danh sách ứng viên. Bất đẳng thức lọc danh sách ấy; nó không thay thế việc kiểm tra chia hết.
Với số tự nhiên dương , là tập ước tự nhiên dương của . Tập bội có cả 0. Số 0 là một bội của mọi số tự nhiên dương nhưng không phải số chia hợp lệ: phép chia cho 0 không xác định.
Đề bài gốc
Lọc các bội bằng một khoảng
Tìm biết và .
Lời giải từng bước
Khái niệm: bội của 3; hai đầu mút của khoảng.
Viết với . Điều kiện khoảng trở thành , nên . Vì còn , các giá trị cần tìm là:
, , , , , , , , , , , , , , .
Có giá trị. Mỗi giá trị tăng thêm 3, nên đều là bội của 3 và nằm trong khoảng yêu cầu.
Bẫy cần tránh
Dấu cho phép lấy 21; 65 không phải bội của 3 nên không được lấy dù là đầu mút. Không nhầm 15 là một nghiệm: 15 là số lượng nghiệm.
Đề bài gốc
Không có ước bằng không
Tìm biết và .
Lời giải từng bước
Khái niệm: ước tự nhiên dương; các cặp thừa số.
Các cặp tích bằng 30 là , , và . Vì thế:
Điều kiện không loại bỏ ước nào, vì các ước trên đều dương. Nó cũng không thêm 0 vào tập ước. Chỉ cần thử các số chia không vượt để tìm mọi cặp: nếu một cặp có hai số đều lớn hơn căn bậc hai thì tích sẽ lớn hơn 30.
Bẫy cần tránh
Không viết . Phép chia không tồn tại. “Số tự nhiên có 0” không đồng nghĩa “tập ước có 0”.
Đề bài gốc
Biểu thức làm số chia phải có điều kiện
Tìm số tự nhiên để 20 chia hết cho .
Lời giải từng bước
Khái niệm: ước của 20; điều kiện số chia.
Trong quy ước chia hết của số tự nhiên dùng ở đây, số chia phải là số tự nhiên dương: , tức . Đặt . Khi đó . Cộng 1 vào từng ước:
Ví dụ cho số chia 5 và . Mọi ứng viên đều kiểm tra được tương tự; không có nghiệm khác vì đã liệt kê đủ ước dương của 20.
Vì sao cần nói rõ quy ước?
Nếu mở rộng quan hệ chia hết sang số nguyên với số chia khác 0, cũng cho và . Đề học về ước tự nhiên được giải theo số chia dương; không trộn hai quy ước trong cùng một đáp án. Giá trị luôn bị loại vì làm số chia bằng 0.
Bẫy cần tránh
Không liệt kê các ước của 20 rồi coi đó là . Ước đang là , nên phải cộng 1. Kiểm tra điều kiện số chia trước khi biến đổi.
Đề bài gốc
Ước chung kèm ngưỡng
Tìm để 70 chia hết cho , 84 chia hết cho và .
Lời giải từng bước
Khái niệm: ước chung; lọc điều kiện.
Các ước của 70 là . Các ước của 84 là . Giao của hai tập là . Điều kiện giữ lại đúng .
Cách nhanh hơn: , mọi ước chung đều là ước của 14. Danh sách được tạo trực tiếp từ số này.
Bẫy cần tránh
Lấy 70 và 84 cộng lại rồi xét ước của tổng có thể sinh các số không chia hết từng số ban đầu. Nghiệm phải đồng thời là ước của 70 và của 84.
Đề bài gốc
Một tổng chia hết
Tìm để chia hết cho 4 và .
Lời giải từng bước
Khái niệm: tính chất chia hết của tổng.
Vì chia hết cho 4, tổng chia hết cho 4 khi và chỉ khi chia hết cho 4. Các bội của 4 trong khoảng yêu cầu là 8, 12 và 16.
Kiểm tra: các tổng lần lượt là , , . Số 20 chia hết cho 4 nhưng bị loại vì đầu mút trên là dấu .
Bẫy cần tránh
Quy tắc “tổng chia hết” chỉ suy ra thành phần còn lại chia hết khi thành phần đã biết cũng chia hết. Chẳng hạn 1+3 chia hết cho 4 nhưng 3 không chia hết cho 4.
04
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Phân tích số để nhìn thấy mọi ước chung
Số nguyên tố lớn hơn 1 có đúng hai ước tự nhiên dương. Phân tích ra thừa số nguyên tố giúp tìm ƯCLN và chứng minh vì sao danh sách ước chung là đầy đủ.
Số 1 không là số nguyên tố vì chỉ có một ước dương. Khi phân tích, tiếp tục chia cho các số nguyên tố cho đến khi mọi thừa số còn lại đều nguyên tố. Có thể đổi thứ tự các thừa số; kết quả về loại thừa số và số mũ vẫn như nhau.
Đề bài gốc
Sáu phân tích đầy đủ
Phân tích các số 84, 145, 168, 115, 310 và 2025 ra thừa số nguyên tố.
Lời giải từng bước
Khái niệm: số nguyên tố và lũy thừa của thừa số nguyên tố.
Số · Phân tích · Nhân ngược để kiểm tra
· ·
Với 2025, tận cùng 5 nên chia được cho 5: , . Tiếp tục . Những số 23, 29, 31 đều nguyên tố. Với 23, chỉ cần thử các số nguyên tố 2 và 3 không vượt căn bậc hai của 23; với 29 và 31, thử thêm 5. Không số nào chia hết cho các số nguyên tố cần kiểm tra.
Phân tích 168 có thể tận dụng kết quả 84 vì . Như vậy số mũ của 2 tăng từ 2 lên 3, còn 3 và 7 giữ nguyên.
Bẫy cần tránh
Đừng dừng ở : 25 và 81 còn là hợp số. Việc nhân ngược cho đúng số ban đầu là cần thiết nhưng chưa đủ; tất cả thừa số cuối phải nguyên tố.
Đề bài gốc
Từ ƯCLN tới toàn bộ ước chung
Tìm , từ đó tìm .
Lời giải từng bước
Khái niệm: số mũ nhỏ nhất của thừa số chung.
Thừa số nguyên tố chung duy nhất là 2. Để là ước của cả hai số, số mũ của 2 không được vượt quá 4. Vì vậy:
32 và 48 đều chia hết cho mọi ước của 16. Ngược lại, một ước chung không thể chứa thừa số 3 vì 32 không có thừa số 3, cũng không thể có số mũ của 2 lớn hơn 4. Do đó:
Cách kiểm tra khác: , . Hai số có ƯCLN bằng 16; danh sách ước chung thu được giống nhau.
Bẫy cần tránh
Lấy số mũ lớn nhất tạo , đó là bội chung nhỏ nhất trong trường hợp này, không phải ƯCLN. Mỗi số đã cho phải chia hết cho ƯCLN, nên ƯCLN không thể lớn hơn số nhỏ nhất là 32.
05
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Chia nhóm: đặt biến cho đúng đại lượng
Chia đều và dùng hết thường dẫn đến điều kiện là ước. Nếu có nhiều loại đồ vật, số phần phải là ước chung của mọi số lượng.
Đề bài gốc
Bốn kích thước nhóm học tập
Một lớp có 40 học sinh. Cô giáo muốn chia lớp thành các nhóm có số học sinh bằng nhau, mỗi nhóm nhiều hơn 3 em và không vượt quá 10 em. Hỏi mỗi nhóm có thể có bao nhiêu người?
Lời giải từng bước
Khái niệm: ước của tổng số người; điều kiện số người mỗi nhóm.
Gọi là số học sinh trong mỗi nhóm. Dùng hết 40 học sinh và các nhóm bằng nhau nên . Điều kiện đề bài là .
Lọc được . Số nhóm tương ứng là , , và .
Học sinh mỗi nhóm · Số nhóm · Kiểm tra
4 · 10 ·
5 · 8 ·
8 · 5 ·
10 · 4 ·
Bẫy cần tránh
Đề hỏi số người mỗi nhóm, không hỏi số nhóm. Hai danh sách tình cờ đều gồm 4, 5, 8, 10 ở bài này, nhưng cặp tương ứng đảo chiều. Viết rõ tên đại lượng để tránh thói quen đọc nhầm.
Đề bài gốc
Chỉ xếp người được chỉ định
Trong một nghi lễ, đội tiêu binh có 34 người: một sĩ quan chỉ huy đứng đầu và 33 chiến sĩ. Có bao nhiêu cách sắp xếp 33 chiến sĩ thành các hàng có số người bằng nhau, mỗi hàng không quá 20 người? Ở đây mỗi cách là một bố trí về số hàng và số người mỗi hàng; không phân biệt danh tính người trong hàng.
Lời giải từng bước
Khái niệm: cặp ước; xác định tập người được xếp.
Người chỉ huy đứng riêng nên tổng cần xếp là . Gọi là số chiến sĩ mỗi hàng, là số hàng. Ta có và . Các ước của 33 là . Loại 33 vì vượt quá 20:
Số người mỗi hàng s · Số hàng r · Tổng người
1 · 33 ·
3 · 11 ·
11 · 3 ·
Vậy có 3 bố trí . Hai bố trí 11 hàng, mỗi hàng 3 người và 3 hàng, mỗi hàng 11 người là khác nhau.
Bẫy cần tránh
Không dùng tổng 34 để lấy ước. Đề không cấm hàng chỉ có một người nên phải giữ bố trí 33 hàng, mỗi hàng một người. Đếm bố trí hàng không phải đếm hoán vị 33 cá nhân.
Đề bài gốc
Tất cả cách chia và cách chia nhiều phần nhất
Có 24 chiếc bút và 18 quyển vở được chia thành các phần thưởng sao cho số bút và số vở được chia đều vào các phần.
a) Có mấy cách chia?
b) Mỗi cách có bao nhiêu bút, bao nhiêu vở trong một phần thưởng? Cho phép số phần là một số nguyên dương, kể cả một phần.
Lời giải từng bước
Khái niệm: ước chung; số phần và thành phần của mỗi phần.
Gọi là số phần thưởng. Dùng hết hai loại đồ vật, nên phải đồng thời là ước của 24 và 18. Ta có , , suy ra . Vì vậy .
Số phần k · Bút trong một phần · Vở trong một phần
1 · 24 · 18
2 · 12 · 9
3 · 8 · 6
6 · 4 · 3
a) Có 4 cách với quy ước đã nêu. b) Thành phần mỗi phần được đọc ở hai cột cuối. Chia nhiều phần nhất là 6 phần, mỗi phần có 4 bút và 3 vở.
Nếu yêu cầu ít nhất hai phần
Khi bổ sung điều kiện , cách bị loại và còn 3 cách . Đề gốc không nêu ngưỡng này; cần nói rõ quy ước trước khi đếm.
Bẫy cần tránh
ƯCLN cho số phần lớn nhất, không cho số cách chia. 6 là số phần lớn nhất; 4 là số cách khi cho phép một phần. Hai câu hỏi dùng cùng dữ liệu nhưng có hai đáp án khác loại.