Toán · 03/06 · Tìm ẩn bằng phép toán ngược
Tư duy nền tảng · Gỡ đúng thứ tự, giữ đúng điều kiện, tìm đủ nghiệm tự nhiên — từ cỗ máy tính đến bình phương và tích hai số liên tiếp.
LUKATO · MATHEMATICS STUDIO
TOÁN · TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ · BÀI 03
Tìm ẩn bằng phép toán ngược
Gỡ đúng thứ tự, giữ đúng điều kiện, tìm đủ nghiệm tự nhiên — từ cỗ máy tính đến bình phương và tích hai số liên tiếp.
- Đọc dữ kiện
- Dựng mô hình
- Kiểm tra kết luận
01
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Ẩn số là một giá trị cần được giải thích
Mục tiêu: hoàn tác một chuỗi phép tính, tìm toàn bộ nghiệm tự nhiên và kiểm tra từng nghiệm trong biểu thức ban đầu. Mức độ: cơ bản đến vận dụng; thời gian gợi ý: 45–60 phút.
Đọc đúng
Nhận ra số đã biết, biểu thức chứa ẩn và phép tính thực hiện sau cùng. Đừng nhầm một chữ với một giá trị: trong cỗ máy, ô giữa là lập phương của một số.
Đi ngược
Hoàn tác phép tính sau cùng trước. Phép cộng được hoàn tác bằng phép trừ; phép nhân với một số khác không được hoàn tác bằng phép chia cho số đó.
Chốt đủ nghiệm
Thế mỗi giá trị tìm được vào đề. Sau đó chứng minh không còn giá trị nào khác trong miền số được yêu cầu.
Quy ước sử dụng trong bài học
Ta dùng . Khi đề yêu cầu số tự nhiên dương, miền số sẽ là . Mọi số chia phải khác không. Dấu hai chấm trong đề được hiểu là phép chia; dấu chấm giữa hai thừa số được viết lại bằng dấu nhân để dễ đọc.
Bốn phép hoàn tác, một nguyên tắc thứ tự
Quan hệ · Muốn tìm phần chưa biết · Điều phải nhớ
· · Trừ đúng số đã cộng.
· · Cộng để hoàn tác phép trừ.
· · .
· · ; nếu thì .
Hai vị trí trong phép trừ không có cùng công thức tìm ẩn. Nếu thì tìm số bị trừ bằng cách cộng. Nhưng nếu thì số trừ là . Tương tự, trong , ẩn là số chia; không được dùng quy tắc dành cho số bị chia. Việc gọi đúng tên thành phần giúp tránh lỗi ngay từ bước đầu.
Với , hành trình đi xuôi là cộng 25, nhân 7, trừ 20. Vì vậy hành trình đi ngược phải là cộng 20, chia 7, trừ 25. Đảo phép mà giữ nguyên thứ tự vẫn sai: một chiếc áo khoác phải được cởi trước lớp áo mặc ở bên trong.
Vì sao được làm cùng một việc ở hai vế?
Một đẳng thức khẳng định hai giá trị bằng nhau. Cộng cùng một số vào hai giá trị bằng nhau vẫn cho hai giá trị bằng nhau. Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác không cũng vậy. Các phép biến đổi trong bài không dựa vào mẹo đổi dấu; chúng dựa vào việc giữ nguyên quan hệ bằng nhau.
02
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Cỗ máy hai phép tính: đừng nhầm ô giữa với ẩn
Khái niệm trọng tâm: phép toán ngược, đọc biểu thức trong một ô, kiểm tra theo chiều đi xuôi. Mức độ cơ bản; 3–4 phút.
Đề bài gốc
Hai ẩn, một chuỗi quan hệ
Điền số thích hợp vào các ô của sơ đồ để xác định và .
Đọc ô giữa là , không phải .
A. · B.
C. · D.
Lời giải từng bước
Bước 1 — tìm giá trị ô giữa. Vì ô giữa bị trừ 4 để được 23, nó phải bằng . Do đó .
Bước 2 — nhận ra lập phương. Ta có , nên .
Bước 3 — tìm ô đầu. Nhân với 3 được 27, vì thế . Chọn C .
A cho ô giữa , không phải 27. B cho đầu ra , không phải 23. D cho đầu ra . Vì mỗi phép hoàn tác xác định một giá trị duy nhất, không còn cặp nào khác.
Bẫy cần tránh
Số 27 là giá trị của . Nếu viết thì đã bỏ mất số mũ. Hãy giữ biểu thức nguyên vẹn trước khi suy ra ẩn.
Phòng thử nghiệm 1 · Hoàn tác cỗ máy
Cỗ máy nhân số đầu vào với một hệ số rồi trừ một số. Thay đổi dữ kiện để xem thứ tự hoàn tác. Khi số cuối không phù hợp, có thể không tồn tại đầu vào tự nhiên.
Hệ số nhân Số bị trừ Số cuối cùng
Thử số cuối 24 với hệ số 3 và số bị trừ 4. Vì 28 không chia hết cho 3, không có đầu vào tự nhiên. Sau đó đổi số cuối thành 26: đầu vào lại là số tự nhiên.
03
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Gỡ từng lớp: cộng, trừ, nhân và chia
Các câu sau đều yêu cầu tìm số tự nhiên . Khái niệm: thành phần phép tính và điều kiện của phép chia. Mức độ cơ bản đến vừa; 12–15 phút.
Đề bài gốc
Một tích bằng không
Tìm số tự nhiên biết:
Lời giải từng bước
Thừa số 100 khác không. Muốn tích bằng không, thừa số còn lại phải bằng không.
Kiểm tra: . Số 1 thuộc miền tự nhiên. Không có giá trị khác vì một số khác không nhân với 100 không thể cho 0.
Bẫy cần tránh
Không kết luận cả hai thừa số đều bằng không. Một tích bằng không chỉ cần ít nhất một thừa số bằng không; ở đây 100 đã được biết là khác không.
Đề bài gốc
Ẩn nằm ở số chia
Tìm số tự nhiên biết:
Lời giải từng bước
Điều kiện: . Gọi biểu thức trong ngoặc là số chia. Vì số bị chia bằng thương nhân số chia, ta có:
Kiểm tra số chia: . Thế vào đề: . Nghiệm tự nhiên duy nhất là .
Bẫy cần tránh
Không lấy để tìm số chia. Công thức đúng là số chia bằng số bị chia chia cho thương, khi thương khác không.
Đề bài gốc
Tìm số trừ trước khi tìm ẩn
Tìm số tự nhiên biết:
Lời giải từng bước
Toàn bộ ngoặc là số trừ. Số trừ bằng số bị trừ trừ hiệu:
Thế lại: . Hai phép hoàn tác đều xác định duy nhất, nên nghiệm tự nhiên duy nhất là 14.
Bẫy cần tránh
Không viết . Việc gọi đúng tên số trừ và số bị trừ giúp giữ đúng thứ tự phép trừ.
Đề bài gốc
Hoàn tác phép chia rồi phép nhân
Tìm số tự nhiên biết:
Lời giải từng bước
Đọc vế trái là . Tìm số bị chia trước:
Cách khác: , nên và . Kiểm tra: .
Bẫy cần tránh
Số 4 là số chia, không phải thừa số của 128 ngay từ đề. Nếu chia 128 cho 4 để hoàn tác thì đang thực hiện ngược sai phép.
Đề bài gốc
Ba lớp tính toán
Tìm số tự nhiên biết:
Lời giải từng bước
Tính phần đã biết: . Bóc lớp ngoài cùng là phép trừ 20, rồi phép nhân 7, cuối cùng phép cộng 25.
Kiểm tra: . Mỗi bước chia cho số khác không, do đó nghiệm tự nhiên duy nhất là 5.
Bẫy cần tránh
Phải tính lũy thừa trước. là 25, không phải 10. Và ngoặc được nhân với 7 như một khối, không chỉ riêng ẩn.
Đề bài gốc
Tính các lũy thừa rồi mới hoàn tác
Tìm số tự nhiên biết:
Lời giải từng bước
Giá trị đã biết là , , và . Vế phải bằng .
Cách rút gọn: , nên . Kiểm tra cả hai vế ban đầu: .
Bẫy cần tránh
Không biến hiệu hai lập phương thành lập phương của hiệu. , còn .
Đề bài gốc
Chia hai lũy thừa cùng cơ số
Tìm số tự nhiên biết:
Lời giải từng bước
khác không. Chia hai vế cho nó và dùng quy tắc chia lũy thừa cùng cơ số:
Kiểm tra: , nên vế trái bằng .
Bẫy cần tránh
Khi chia các lũy thừa cùng cơ số khác không, trừ số mũ; không chia số mũ và không trừ cơ số.
Đề bài gốc
Dấu trừ đứng trước một tích
Tìm số tự nhiên biết:
Lời giải từng bước
Trước hết . Toàn bộ là số trừ trong phép trừ ngoài cùng.
Kiểm tra: . Cách này tránh phải mở ngoặc có dấu trừ. Nếu mở ngoặc, cần viết rồi giải.
Bẫy cần tránh
Trong , ẩn là số trừ, nên . Không giữ quy tắc cộng dùng cho .
Đề bài gốc
Điều kiện của ẩn ở mẫu
Tìm số tự nhiên biết:
Lời giải từng bước
Điều kiện là . Do , ta tìm số chia của phép chia có thương bằng 2:
Kiểm tra điều kiện: . Kiểm tra đề: . Vì thương khác không, số chia được xác định duy nhất.
Bẫy cần tránh
Số 0 là số tự nhiên theo quy ước của bài học, nhưng không được dùng làm số chia. Miền tự nhiên không tự động loại bỏ điều kiện xác định.
Đề bài gốc
Gom các thừa số của cùng một ẩn
Tìm số tự nhiên biết:
Lời giải từng bước
Dấu nhân ở hạng tử thứ hai nghĩa là . Tính các hệ số và vế phải:
Kiểm tra: vế trái , vế phải .
Bẫy cần tránh
Không đọc thành . Số ẩn viết ngay sau 5 là thừa số, không nằm ở vị trí số mũ.
04
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Tìm đủ nghiệm: số không, bình phương và tích liên tiếp
Khái niệm trọng tâm: miền nghiệm, tách các trường hợp và chứng minh tính đầy đủ. Mức độ vừa; 8–10 phút.
Đề bài gốc
Số không cũng có thể là nghiệm
Tìm số tự nhiên biết:
Lời giải từng bước
Ta có . Vì một tích bằng không, ít nhất một trong hai thừa số bằng không:
Do đó tập nghiệm tự nhiên là . Kiểm tra riêng từng số: và .
Có thể chứng minh không còn nghiệm mà không dùng biến đổi đại số. Nếu thì , nên hiệu không bằng không. Miền tự nhiên đã được chia thành ba trường hợp: 0, 1 và mọi số từ 2 trở lên.
Bẫy cần tránh
Không chia cả hai vế cho ẩn khi chưa biết ẩn khác không. Chia cho sẽ làm mất nghiệm 0. Nếu đề yêu cầu số tự nhiên dương thì chỉ còn nghiệm 1; bài này dùng miền tự nhiên có 0.
Đề bài gốc
Bình phương bằng 36 và bộ lọc tự nhiên
Tìm số tự nhiên biết:
Lời giải từng bước
Vì , số ít nhất bằng 2 và chắc chắn không âm. Số không âm có bình phương bằng 36 là 6.
Kiểm tra: . Nếu xét trên miền số nguyên, còn trường hợp cho . Nhưng , nên không phải nghiệm của bài đã cho.
Một lập luận bằng thứ tự cũng đủ: với số nguyên không âm, số nhỏ hơn 6 có bình phương nhỏ hơn 36; số lớn hơn 6 có bình phương lớn hơn 36.
Bẫy cần tránh
Một phương trình bình phương có thể có hai nghiệm trên miền rộng hơn, nhưng không được trả cả hai trước khi kiểm tra miền nghiệm. Ở đây nghiệm tự nhiên chỉ là 4.
Đề bài gốc
Tích hai số tự nhiên liên tiếp
Tìm số tự nhiên sao cho:
Lời giải từng bước
Ta tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 6. Các cặp thừa số dương không xét thứ tự của 6 là và . Chỉ cặp gồm hai số liên tiếp, vì thế .
Kiểm tra: . Để chứng minh đầy đủ: cho tích 0; cho tích 2; cho 6; nếu thì . Không có giá trị nào khác.
Bẫy cần tránh
Không chỉ tìm một cặp thừa số có tích đúng. Hai thừa số còn phải liên tiếp và thừa số nhỏ hơn chính là ẩn. Cặp 1 và 6 không thỏa điều kiện liên tiếp.
Ba câu hỏi trước khi kết luận
Nghiệm có thuộc miền số yêu cầu không? Biểu thức ban đầu có xác định không? Đã kiểm tra hết các nhánh hoặc chứng minh không còn nghiệm chưa? Thế lại chứng minh một giá trị là nghiệm; lập luận về tính đầy đủ chứng minh đó là toàn bộ đáp án.
Phòng thử nghiệm 2 · Thế một số, tìm toàn bộ nghiệm
Chọn phương trình, rồi kéo giá trị ứng viên. Cột cao bằng nhau là hai vế bằng nhau. Với phép chia cho ẩn, ứng viên 0 bị loại trước khi tính.
Phương trình Ứng viên tự nhiên: 0 Chưa quét.
Quét hữu hạn chỉ tìm nghiệm trong khoảng đã quét. Dùng lập luận trong lời giải để chứng minh không còn nghiệm ngoài khoảng, thay vì xem một thí nghiệm là chứng minh cho vô hạn số.
05
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Tám bài chuyển giao có lời giải
Mỗi bài đổi một chi tiết quan trọng: thứ tự phép tính, vị trí của ẩn, hệ số, điều kiện số chia hoặc miền nghiệm. Mức độ cơ bản đến vận dụng; khoảng 20 phút.
Luyện chuyển giao 01
Hoàn tác ba bước
Một cỗ máy nhận số tự nhiên , cộng 5, nhân kết quả với 4 rồi trừ 7. Đầu ra là 41. Tìm đầu vào.
Mở lời giải
Phép sau cùng là trừ 7 nên trước nó phải có . Trước khi nhân 4 phải có . Trước khi cộng 5 phải có .
Kiểm tra theo chiều xuôi: . Mỗi bước hoàn tác duy nhất, nên 7 là đầu vào tự nhiên duy nhất. Nếu cộng 5 vào 41 ngay từ đầu, ta đã hoàn tác một bước bên trong khi bước ngoài chưa được gỡ.
Luyện chuyển giao 02
Ẩn ở số chia, không phải ở tử
Tìm số tự nhiên thỏa mãn .
Mở lời giải
Điều kiện . Số chia bằng số bị chia chia thương:
Thế lại: số chia bằng 30, khác không, và . Không còn nghiệm vì từ thương 14 và số bị chia 420, số chia chỉ có thể là 30. Nhân 420 với 14 sẽ tìm sai thành phần của phép chia.
Luyện chuyển giao 03
Một số tự nhiên có thể không tồn tại
Tìm số tự nhiên thỏa mãn .
Mở lời giải
Hoàn tác phép trừ 5 cho . Nhưng là số tự nhiên, do đó tích với 6 phải chia hết cho 6. Số 55 không chia hết cho 6.
Vì vậy không có nghiệm tự nhiên . Nếu giải trên miền số hữu tỉ, ta được và , nhưng giá trị này không thuộc miền yêu cầu. Việc “tìm ẩn” không luôn dẫn đến một số tự nhiên; đáp án không có nghiệm là kết luận đầy đủ khi đã có lý do.
Luyện chuyển giao 04
Cùng cơ số, đổi lớp bên trong
Tìm số tự nhiên thỏa mãn .
Mở lời giải
Chia cho khác không:
Kiểm tra: , nên . Nếu chia các số mũ để được , ta đã dùng sai quy tắc. Quy tắc trừ số mũ chính là rút gọn các thừa số 2 chung trong tử và mẫu.
Luyện chuyển giao 05
Giữ nghiệm 0 khi có tích chứa ẩn
Tìm toàn bộ số tự nhiên thỏa mãn .
Mở lời giải
Nhóm thừa số chung:
Hai trường hợp là hoặc . Tập nghiệm là . Kiểm tra: ; .
Nếu chia cho ẩn ngay, ta chỉ thu được 4 và mất 0. Có thể chia sau khi tách riêng trường hợp rồi chỉ xét . Như vậy việc chia có điều kiện vẫn hợp lệ và không làm mất nghiệm.
Luyện chuyển giao 06
Bình phương của một hiệu: xét hai nhánh
Tìm toàn bộ số tự nhiên thỏa mãn .
Mở lời giải
Khác với , biểu thức có thể âm ngay cả khi ẩn tự nhiên. Hai số có bình phương bằng 9 là 3 và .
Nhánh thứ nhất cho . Nhánh thứ hai cho , không tự nhiên. Vậy tập nghiệm tự nhiên là .
Kiểm tra: . Hai nhánh đã xét hết các khả năng vì nếu một số có độ lớn nhỏ hơn 3 thì bình phương nhỏ hơn 9; độ lớn lớn hơn 3 thì bình phương lớn hơn 9.
Luyện chuyển giao 07
Đổi hiệu để giữ lại cả hai nghiệm tự nhiên
Tìm toàn bộ số tự nhiên thỏa mãn .
Mở lời giải
Ta lại có hai trường hợp hoặc . Lần này chúng cho và , đều thuộc miền tự nhiên.
Kiểm tra: và . Điểm thay đổi so với bài trước là độ dịch chuyển 5 đủ lớn để nhánh âm vẫn cho một ẩn không âm. Vì thế không thể áp dụng máy móc câu “bình phương chỉ lấy nghiệm dương” cho chính ẩn.