Đa thức trong hình học và chuyển động
Từ tam giác tăng cạnh, vườn đổi kích thước và hộp gấp giấy đến công thức thời gian, vận tốc và ao trong đất vuông: lập biểu thức, giải thích từng hạng tử và…
LUKATO · TOÁN THCS · CHUYÊN ĐỀ 02/02
Đa thức trong hình học và chuyển động
Biến đổi hình, khai triển và điều kiện của phân thức
Từ tam giác tăng cạnh, vườn đổi kích thước và hộp gấp giấy đến công thức thời gian, vận tốc và ao trong đất vuông: lập biểu thức, giải thích từng hạng tử và kiểm tra điều kiện để mô hình có ý nghĩa.
9 Ý từ đề gốc · đầy đủ lời giải
12 Câu chẩn đoán · phân tích lựa chọn
6 Bài vận dụng · đổi dữ kiện
3 Mô hình · thử và giải thích
Giải có căn cứ: đọc điều kiện → chọn quy tắc → thử tự làm → đối chiếu từng bước → giải một tình huống mới.
HIỂU BẢN CHẤT · 01
1. Từ hình thật đến biểu thức có ý nghĩa
Mục tiêu: lập biểu thức cho diện tích, thể tích, thời gian và độ dài; sau đó kiểm tra biểu thức có mô tả được tình huống đã nêu hay không. Mỗi chữ là một giá trị số trong đơn vị đang dùng. Nếu hai cạnh đo bằng mét có giá trị số là a , b , diện tích là ab m 2 ; không cộng một diện tích với một độ dài.
Với hình chữ nhật: S = ab , P = 2 ( a + b ) . Với tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a , b : S = 2 1 ab . Với hộp chữ nhật: V = abh . Nếu chuyển động được mô hình hóa bằng vận tốc trung bình v trên quãng đường s trong thời gian t , dùng s = v t , nên t = s / v và v = s / t . Chỉ phép chia với mẫu khác không mới được thực hiện.
Trước khi tính, hãy tạo ba dòng: đại lượng cần tìm → công thức gốc → dữ kiện thay vào . Chẳng hạn, biết diện tích S và một cạnh a của hình chữ nhật thì cạnh còn lại là b = S / a , không phải S − a . Đơn vị cũng chỉ ra điều đó: m 2 / m = m , còn phép trừ vừa nêu không có ý nghĩa về đơn vị.
Một biểu thức đúng về đại số có thể chưa đúng về hình học. ( x + 2 ) ( y − 3 ) tính được với mọi số thực x , y , nhưng để đó là diện tích vườn mới trong bài có vườn cũ, cần x > 0 , y > 3 . Luôn đọc riêng điều kiện của phép tính và điều kiện của mô hình.
HIỂU BẢN CHẤT · 02
2. Khai triển: mỗi hạng tử phải gặp đủ các hạng tử
Mục tiêu: nhân đơn thức với đa thức và nhân hai đa thức bằng quy tắc phân phối. Với A , B , C , D là các biểu thức phù hợp, A ( B + C ) = A B + A C và ( A + B ) ( C + D ) = A C + A D + BC + B D . Mỗi tích được viết đúng một lần; chỉ thu gọn khi các hạng tử đồng dạng đã xuất hiện đầy đủ.
Ví dụ: ( x + 2 ) ( y − 3 ) = x y − 3 x + 2 y − 6. Có bốn cặp: x ⋅ y , x ⋅ ( − 3 ) , 2 ⋅ y , 2 ⋅ ( − 3 ) . Dấu âm thuộc về hạng tử − 3 , nên cả − 3 x và − 6 đều mang dấu âm. Đặt thêm một dấu trừ ở ngoài ngoặc cũng phải đổi dấu tất cả các hạng tử trong ngoặc.
Với ( 6 + x ) ( 8 + y ) , bốn tích là 48 , 6 y , 8 x , x y . Không được giữ riêng x y vì hai phần tăng vẫn tương tác với kích thước cũ. Kiểm tra bằng x = 2 , y = 4 : dạng tích cho 8 ⋅ 12 = 96 ; dạng khai triển cho 48 + 24 + 16 + 8 = 96 .
Thử một giá trị giúp phát hiện lỗi nhưng không chứng minh hai đa thức bằng nhau với mọi giá trị. Chứng minh cần quy tắc phân phối hoặc một lập luận tổng quát. Dạng tích làm rõ cấu trúc hình, còn dạng khai triển giúp nhận bậc và tính thay đổi. Hãy giữ cả hai dạng khi mỗi dạng có ích.
HIỂU BẢN CHẤT · 03
3. Diện tích tăng thêm của tam giác vuông
Hình minh họa dùng x = 2 , y = 4 , với cùng tỉ lệ cho hai cạnh góc vuông. Hai tam giác cùng đỉnh góc vuông và cùng hướng cạnh; vùng màu vàng là phần mới nằm ngoài tam giác cũ. Với tham số tổng quát, hai cạnh mới là 6 + x và 8 + y , đơn vị cm .
Tính toàn bộ diện tích mới rồi trừ diện tích cũ: Δ S = 2 1 ( 6 + x ) ( 8 + y ) − 2 1 ⋅ 6 ⋅ 8 = 2 1 x y + 4 x + 3 y . Kết quả có đơn vị cm 2 . Các hạng tử 4 x , 3 y chính là đóng góp gắn với kích thước cũ; 2 1 x y là đóng góp do cả hai cạnh cùng tăng.
Khi đề nói hai cạnh đều tăng, hiểu x > 0 , y > 0 , do đó Δ S > 0 . Có thể khảo sát thêm biên x = 0 hoặc y = 0 để kiểm tra công thức, nhưng đó là tình huống chỉ một cạnh thay đổi. Nếu cả hai bằng không thì Δ S = 0 , phù hợp với hai hình trùng nhau.
Không lấy hiệu hai độ dài làm diện tích. Không lấy 2 1 x y làm toàn bộ phần tăng: cách ấy bỏ qua các phần phát sinh vì cạnh cũ vẫn còn. Kiểm tra lại bằng cách cộng 24 vào diện tích tăng; phải thu được diện tích tam giác mới.
HIỂU BẢN CHẤT · 04
4. Tăng một cạnh chưa chắc tăng diện tích
Đặt Δ S = S mới − S c u ˜ . Quy ước thứ tự này giữ ý nghĩa thống nhất: Δ S > 0 là tăng, Δ S = 0 là không đổi, Δ S < 0 là giảm. Nếu muốn nêu độ lớn phần giảm , phải lấy − Δ S trong trường hợp giảm.
Vườn cũ có chiều rộng x , chiều dài y . Khi tăng rộng thêm 2 m và giảm dài 3 m : Δ S = ( x + 2 ) ( y − 3 ) − x y = 2 y − 3 x − 6. Điều kiện hình học x > 0 , y > 3 bảo đảm hai vườn tồn tại, nhưng chưa quyết định dấu của hiệu.
Diện tích tăng khi 2 y > 3 x + 6 , không đổi khi 2 y = 3 x + 6 , giảm khi 2 y < 3 x + 6 . Minh họa trên dùng x = 4 , y = 8 : diện tích cũ 32 m 2 , mới 30 m 2 , nên Δ S = − 2 m 2 . Hai hình theo cùng tỉ lệ, không dùng hình vẽ để thay phép tính.
Có thể nghĩ theo dải diện tích: bỏ dải 3 x , thêm dải 2 ( y − 3 ) , nên thay đổi là 2 ( y − 3 ) − 3 x . Cách này cho cùng 2 y − 3 x − 6 và giải thích vì sao không được viết 2 y − 3 x : phần thêm chỉ dài y − 3 , không dài y .
HIỂU BẢN CHẤT · 05
5. Hộp không nắp: đọc đáy trước khi đọc thể tích
Mục tiêu: xác định kích thước sau khi cắt và gấp. Bốn góc bị cắt là bốn hình vuông cạnh x cm . Sau khi dựng các dải xung quanh, chiều cao hộp là x , hai cạnh đáy là y − 2 x và z − 2 x . Mỗi cạnh giấy bị mất x ở cả hai đầu.
Hình minh họa theo kích thước y = 30 , z = 20 , x = 4 , cùng tỉ lệ. Vùng xanh lá ở giữa là đáy; các dải xanh lam là thành; bốn góc đỏ bị bỏ đi. Điều kiện hộp có thể tích dương là x > 0 , y − 2 x > 0 , z − 2 x > 0 , 0 < x < 2 min ( y , z ) . Điều kiện cuối tương đương khi y , z là hai kích thước giấy dương.
Thể tích: V = x ( y − 2 x ) ( z − 2 x ) = x yz − 2 x 2 y − 2 x 2 z + 4 x 3 . Đơn vị cm 3 . Dạng tích giúp nhìn thấy ba kích thước, dạng khai triển cho bậc đa thức. Bậc của x yz là 1 + 1 + 1 = 3 ; bậc của x 2 y , x 2 z , x 3 cũng là 3 . Đa thức có bậc tổng bằng 3 , không phải chỉ đếm số chữ khác nhau.
Diện tích giấy bị cắt là 4 x 2 , đơn vị cm 2 , nên không thể là thể tích. Cũng không thể lấy thể tích bằng diện tích giấy còn lại: giấy gồm cả thành và đáy. Với hình minh họa, đáy 22 × 12 , cao 4 , nên V = 1056 cm 3 . Khi x tiến tới nửa cạnh ngắn, một cạnh đáy tiến tới không; gấp thành hộp hữu dụng không còn phù hợp.
HIỂU BẢN CHẤT · 06
6. Có phép chia: kiểm tra mẫu và nhận đúng loại biểu thức
Mục tiêu: phân biệt đa thức với phân thức và không mặc định mọi phép chia đều chia hết. Đa thức là tổng các đơn thức có số mũ nguyên không âm. 3 x 2 − 2 x + 5 là đa thức; 50 + 10/ x chứa biến ở mẫu nên là phân thức, không phải đa thức theo x . Một đa thức cũng có thể được viết thành phân thức có mẫu 1 .
Chia hết cho một đơn thức có thể cho đa thức: 3 x 6 x 2 + 9 x = 2 x + 3 khi x = 0 . Dù dạng rút gọn tính được tại x = 0 , biểu thức ban đầu vẫn không xác định ở đó. Điều kiện của phép chia không tự mất đi sau rút gọn.
Không chia tử và mẫu theo từng hạng tử tùy ý. x + 5 150 x + 2 = 150 + 5 2 . Phân phối được với cùng một mẫu : C A + B = C A + C B khi C = 0 ; không có quy tắc tương tự cho tổng ở mẫu. Rút gọn chỉ loại được nhân tử chung của toàn tử và toàn mẫu.
Phép chia đa thức ở đây không chia hết: 150 x + 2 = 150 ( x + 5 ) − 748 , nên x + 5 150 x + 2 = 150 − x + 5 748 , điều kiện x = − 5 . Số dư khác không giải thích vì sao kết quả không là đa thức. Có thể giữ nguyên dạng phân thức; không cần biến đổi dài nếu đề chỉ yêu cầu lập biểu thức.
HIỂU BẢN CHẤT · 07
7. Thời gian và vận tốc: dấu ngoặc quyết định mô hình
Từ s = v t , nếu biết quãng đường và vận tốc thì t = s / v . Với s = 150 x + 2 và v = x + 5 : t = x + 5 150 x + 2 h . Miền đại số là x = − 5 . Để mô tả một chuyến đi có quãng đường và vận tốc dương, đồng thời cần 150 x + 2 > 0 , x + 5 > 0 , tương đương x > − 1/75 . Không chỉ nhìn mẫu rồi quên quãng đường.
Khi biết quãng đường 5 x + 1 km và thời gian 10 x h , vận tốc trung bình là v = x /10 5 x + 1 = x 10 ( 5 x + 1 ) = 50 + x 10 ( km/h ) . Thời gian x /10 nghĩa là một phần mười của x , không phải 1/ ( 10 x ) . Chia cho một phân số là nhân với nghịch đảo của cả phân số.
Miền đại số của công thức vận tốc là x = 0 ; mô hình chuyến đi cần x > 0 , vì thời gian phải dương và khi đó quãng đường cũng dương. Với x = 2 , quãng đường 11 km , thời gian 0 , 2 h , vận tốc 55 km/h . Kiểm tra 55 ⋅ 0 , 2 = 11 , khớp công thức gốc.
Các biểu thức là dữ kiện của bài toán giả định, không phải công bố về một tuyến giao thông thực tế. Khi có dừng đón khách, công thức s / t vẫn là vận tốc trung bình trên khoảng thời gian đã tính; không khẳng định vận tốc ở mọi thời điểm bằng nhau.
HIỂU BẢN CHẤT · 08
8. Công thức đúng còn phải vừa trong hình
Để tìm một cạnh hình chữ nhật từ chu vi, hãy chia chu vi cho 2 trước: a + b = P /2 , rồi b = P /2 − a . Với P = 150 x + 8 , a = x + 2 , suy ra b = 74 x + 2 . Hai cạnh dương đòi hỏi x > − 1/37 . Tên gọi chiều dài, chiều rộng chỉ giúp theo dõi cạnh đang nói; không tự thêm điều kiện rằng cạnh được gọi là chiều dài luôn lớn hơn.
Với đất vuông cạnh x + 400 và ao có một cạnh x + 200 , diện tích ao ít hơn đất 200 ( 3 x + 8 ) . Do đó S ao = ( x + 400 ) 2 − 200 ( 3 x + 8 ) = x 2 + 200 x + 158400 , b = x + 200 x 2 + 200 x + 158400 = x + x + 200 158400 . Miền đại số: x = − 200 . Các số đo diện tích dùng m 2 , cạnh dùng m .
Để dựng ao ở giữa đất như hình, ta bổ sung cách đặt cạnh ao song song cạnh đất. Với x + 200 > 0 , cạnh đó nhỏ hơn cạnh đất; cạnh còn lại cần b ≤ x + 400 . Trừ hai vế và nhân với mẫu dương: x + 200 158400 ≤ 400 ⟺ x + 200 ≥ 396 ⟺ x ≥ 196. Nếu muốn có khoảng trống dương ở cả bốn phía thì x > 196 . Đây là điều kiện suy ra để hình học khả thi , không phải dữ kiện số được cho sẵn.
Hình minh họa chọn x = 400 : đất cạnh 800 m , ao có hai cạnh 600 m và 664 m , theo cùng tỉ lệ. Chỉ kiểm tra diện tích ao nhỏ hơn diện tích đất chưa đủ để chắc rằng ao nằm gọn trong đất: với x = 0 , công thức cho một cạnh 792 m , vượt cạnh đất 400 m , dù diện tích ao vẫn nhỏ hơn.
Học theo mục tiêu, không theo tốc độ của người khác
Lần học đầu: đọc các quy tắc và tự giải đề gốc. Chỉ mở gợi ý khi chưa xác định được bước tiếp theo. Lần học sau: làm 12 câu chẩn đoán, thử mô hình và chọn một bài vận dụng. Quay lại phần lý thuyết tương ứng khi em chưa giải thích được vì sao một bước đúng.
Bộ bài gốc gồm 5 ví dụ và 8 bài tự luyện, với 21 ý: chuyên đề thứ nhất có 12 ý; chuyên đề thứ hai có 9 ý. Các bài vận dụng và mô hình là phần được biên soạn thêm, được ghi riêng; không làm thay đổi yêu cầu của đề.
ĐỀ GỐC · LỜI GIẢI ĐƯỢC PHÁT TRIỂN
Tự làm trước, đối chiếu sau
Giữ dữ kiện và yêu cầu của đề đã cung cấp. Các lỗi chép lại trong phần giải được ghi rõ tại câu liên quan. Bảng tự kiểm giúp em xem lại điều kiện, mô hình, phép biến đổi và đơn vị; không phải thang điểm chính thức.
ĐỀ GỐC · V3
V3 · Tam giác vuông tăng hai cạnh
Yêu cầu và dữ kiện
Bạn Hạnh dự định cắt một miếng bìa hình tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài 6 cm và 8 cm . Bạn tăng cạnh 6 cm thêm x cm , tăng cạnh 8 cm thêm y cm . Viết đa thức biểu diễn diện tích phần tăng thêm theo x , y .
Giữ đầy đủ hai cạnh ban đầu và hai phần tăng; đặt bài trong nhóm nhân đa thức và thay đổi diện tích.
Đây là hiệu hai diện tích tam giác vuông. Hai cạnh được nêu là hai cạnh góc vuông, không phải cạnh huyền. Theo nghĩa cả hai cạnh đều tăng, dùng x > 0 , y > 0 ; các trường hợp bằng không chỉ là mở rộng để kiểm tra biên.
Cần thể hiện trong bài làm
- Nhận diện hai cạnh mới 6 + x , 8 + y .
- Lấy diện tích mới trừ 24 cm 2 .
- Khai triển và ghi cm 2 .
Gợi ý lộ trình — chưa mở đáp số
Viết hai diện tích bằng cùng công thức, lập hiệu, khai triển đủ bốn tích rồi thu gọn.
Lời giải đầy đủ — xem sau khi tự làm
Bước 1 — diện tích cũ. S 0 = 2 1 ⋅ 6 ⋅ 8 = 24 cm 2 . Bước 2 — diện tích mới. S 1 = 2 1 ( 6 + x ) ( 8 + y ) cm 2 .
Bước 3 — phần tăng. Δ S = 2 1 ( 48 + 6 y + 8 x + x y ) − 24 = 3 y + 4 x + 2 1 x y . Đa thức cần tìm là 2 1 x y + 4 x + 3 y , số đo theo cm 2 .
Kiểm tra. Với x = 2 , y = 4 , diện tích mới 2 1 ⋅ 8 ⋅ 12 = 48 , diện tích tăng 24 . Công thức cho 2 1 ⋅ 2 ⋅ 4 + 4 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 = 24 .
Giải thích quy tắc và điều kiện
Dạng 2 1 x y + 4 x + 3 y cho biết đóng góp của hai phần tăng không chỉ có tích x y . Hệ số 2 1 áp dụng cho toàn bộ tích hai cạnh, rồi mới trừ diện tích cũ. Với x , y > 0 , ba hạng tử đều dương.