Tìm đủ nghiệm nguyên: từ cặp ước đến biệt thức

Chuyên đề THCS: tách tích, cặp ước có dấu, điều kiện chia hết, chặn biệt thức và tích dương trong bài số nguyên tố; ba thí nghiệm tương tác.

Cập nhật: 2026-10-04

Môn: Toán · Tài liệu THCS

LUKATO CHUYÊN ĐỀ TƯ DUY TOÁN HỌC

Tìm đủ nghiệm nguyên: từ cặp ước đến biệt thức

Không chỉ tìm được nghiệm. Hãy chứng minh vì sao không bỏ sót và vì sao từng ứng viên được giữ lại.

8 phần học sâu 3 thí nghiệm tương tác 24 câu tự kiểm tra

Học theo thứ tự, dự đoán rồi mới thử. Mỗi kết luận đều có điều kiện.

01

Tìm đủ khác với tìm được

Tìm được một nghiệm không khó bằng chứng minh đã tìm đủ. Một bảng thử rất dài vẫn có thể bỏ sót nghiệm ngoài bảng. Chuyên đề này giúp em biến một bài toán có vô số cặp số nguyên thành một danh sách hữu hạn có lí do rõ ràng, rồi kiểm tra từng ứng viên.

Đích đến và quy ước

Em sẽ nhận ra tích hai nhân tử, chuyển điều kiện phân số nguyên thành điều kiện ước, chặn biến bằng biệt thức và dùng tích dương để giải bài toán số nguyên tố. Trong bài, \mathbb Z là tập số nguyên và \mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}. Một nghiệm hai biến là cặp có thứ tự (x,y). Độ khó: nâng cao THCS; thời lượng gợi ý: hai lượt học, mỗi lượt khoảng 45 phút.

01

Một danh sách hữu hạn phải có lí do hữu hạn

Quy tắc. Trước khi thử, hãy chứng minh mọi nghiệm đều nằm trong một tập ứng viên được mô tả đầy đủ.

Vì sao đúng? Một tích bằng số nguyên khác không buộc mỗi nhân tử là một ước của số đó. Một biệt thức không âm có thể chặn một biến. Hai cách này tạo được tập ứng viên hữu hạn, không phụ thuộc vào việc đoán nghiệm.

Điều kiện. Cần chứng minh cả hai chiều: nghiệm gốc sinh ra ứng viên; ứng viên giữ lại thực sự trở thành nghiệm gốc.

Khi nào không dùng được? Thử trong một ô vuông tọa độ rồi không thấy nghiệm mới chỉ cho kết luận trong ô vuông ấy. Tích bằng không cần xét riêng vì có thể có vô số nghiệm.

Ví dụ 1. Vì sao tìm được hai nghiệm vẫn chưa đủ?

Một bạn thử -10\le x,y\le10 cho phương trình xy=101 và không thấy nghiệm. Có thể kết luận vô nghiệm trong \mathbb Z không?

• Nhận ra thiếu một chứng minh chặn. Đề không buộc hai biến thuộc khoảng đã thử.
• Viết các ước có dấu. 101 là số nguyên tố, nên các ước nguyên là \{-101,-1,1,101\}.
• Duyệt đủ. Các nghiệm là (-101,-1),(-1,-101),(1,101),(101,1).

Kết luận và kiểm tra

Có bốn nghiệm, đều nằm ngoài ô vuông thử ban đầu. Tập ước tạo một danh sách đầy đủ; ô vuông tự chọn thì không.

02

Tách tích và đổi ngược

Biểu thức bậc hai hai biến có thể che giấu một tích. Sau khi đặt hai nhân tử làm biến mới, việc tìm nghiệm trở thành hai câu hỏi: tích có những cặp ước nào, và cặp ước nào đổi ngược được thành hai số nguyên?

x^2-xy-2y^2=(x+y)(x-2y).

u=x+y,\quad v=x-2y;\qquad x=\frac{2u+v}{3},\quad y=\frac{u-v}{3}.

02

Tách tích xong, vẫn phải lọc phép đổi biến

Quy tắc. Với (x+y)(x-2y)=c\ne0, xét mọi ước nguyên u\mid c, đặt v=c/u rồi giữ đúng các cặp có 3\mid(u-v).

Vì sao đúng? Mọi nghiệm nguyên sinh một cặp ước có dấu. Ngược lại, 3\mid(u-v) khiến y=(u-v)/3 nguyên và x=u-y cũng nguyên. Phép đổi biến là một-một nên không bỏ sót, không đếm trùng.

Điều kiện. x,y,c\in\mathbb Z và c\ne0. Dấu của cả hai ước và thứ tự của chúng đều quan trọng.

Khi nào không dùng được? Không được giữ tất cả các cặp ước nếu mẫu trong phép đổi ngược chưa chia hết. Với c=0, không lấy “các ước của không”; phải dùng quy tắc tích bằng không.

Ví dụ 2. Bốn nghiệm từ tích âm

Tìm tất cả (x,y)\in\mathbb Z^2 thỏa x^2-xy-2y^2=-2.

• Tách tích. Đặt u=x+y,v=x-2y thì uv=-2.
• Liệt kê đủ cặp có dấu. (u,v)\in\{(-2,1),(-1,2),(1,-2),(2,-1)\}.
• Kiểm tra tính nguyên. Các hiệu u-v lần lượt là -3,-3,3,3, đều chia hết cho 3.
• Đổi ngược. Dùng x=(2u+v)/3,y=(u-v)/3 cho bốn cặp nghiệm bên dưới.

Kết luận và kiểm tra

(x,y)\in\{(-1,-1),(0,-1),(0,1),(1,1)\}.

Mỗi cặp được thay lại vào đa thức đều cho -2. Không bỏ các ước âm: chúng tạo hai nghiệm đầu.

Ví dụ 3. Có cặp ước nhưng vẫn vô nghiệm

Tìm tất cả nghiệm nguyên của x^2-xy-2y^2=2.

• Tách tích và xét đủ. (u,v)\in\{(-2,-1),(-1,-2),(1,2),(2,1)\}.
• Lọc phép đổi ngược. Các hiệu u-v là -1,1,-1,1, không hiệu nào chia hết cho 3.
• Kết luận. Không cặp ước nào tạo được cả hai số nguyên.

Kết luận và kiểm tra

Phương trình vô nghiệm trong \mathbb Z^2. Có thể kiểm tra nhanh bằng đồng dư: đa thức bằng (x+y)^2 theo môđun 3, trong khi bình phương chỉ có số dư 0 hoặc 1, không có số dư 2.

Ví dụ 4. Tích bằng không: hai họ, không phải hai cặp

Tìm tất cả nghiệm nguyên của x^2-xy-2y^2=0.

• Dùng tích bằng không. x+y=0 hoặc x-2y=0.
• Mô tả hai họ. Với mọi k\in\mathbb Z, được (x,y)=(-k,k) hoặc (x,y)=(2k,k).
• Kiểm tra giao. Hai họ chỉ gặp nhau tại (0,0).

Kết luận và kiểm tra

Có vô số nghiệm. Khi viết tập hợp, cặp (0,0) được giữ một lần. Một cửa sổ đồ thị chỉ hiển thị một phần của hai đường thẳng.

PHÒNG THÍ NGHIỆM

Phòng 1. Cặp ước nào đổi được thành nghiệm nguyên?

Chọn vế phải. Bảng dưới duyệt đủ các ước có dấu khi tích khác không; đồ thị biểu diễn những cặp nghiệm được giữ. Vế phải bằng không chuyển sang hai họ nghiệm vô hạn, không giả vờ đó là một danh sách hữu hạn.

Vế phải, số nguyên từ -60 đến 60 Dự đoán trước khi thử

Chọn dự đoán rồi bấm kiểm tra.

Trên màn hình hẹp, vuốt ngang sơ đồ để đọc đầy đủ các nhãn.

Đang đổi cặp ước về nghiệm nguyên.

Thử trước khi đọc lời giải:

• Đổi vế phải thành 2: các cặp ước tồn tại nhưng bị loại ở đâu?
• Đổi thành 4 rồi thử lại một cặp nghiệm được giữ trong đa thức ban đầu.
• Đổi thành 0: phân biệt số điểm nhìn thấy với số nghiệm toàn bài.

03

Phân số nguyên và mẫu khác không

Nếu tử số cố định là một số nguyên khác không, phân số nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi mẫu số là một ước nguyên khác không của tử số. Điều này vừa chặn được giá trị mẫu, vừa nhắc ta giữ điều kiện xác định.

\frac{a}{D}\in\mathbb Z\quad\Longleftrightarrow\quad D\mid a,\qquad a,D\in\mathbb Z,\ D\ne0.

03

Phân số nguyên: chuyển mẫu thành ước, giữ mẫu khác không

Quy tắc. Với tử số a\ne0 cố định, liệt kê các giá trị D\mid a rồi giải mỗi phương trình mẫu bằng D.

Vì sao đúng? Nếu phân số bằng số nguyên k thì a=kD, nên D\mid a. Ngược lại, mẫu là một ước khác không của tử thì thương là số nguyên.

Điều kiện. Tử và mẫu nhận giá trị nguyên; mẫu không bằng không. Với tử cố định khác không, số giá trị mẫu là hữu hạn.

Khi nào không dùng được? Nếu tử bằng không, mọi mẫu nguyên khác không đều cho thương bằng không; không có danh sách mẫu hữu hạn. Nếu tử cũng thay đổi theo biến, cần phân tích thêm, không áp dụng máy móc danh sách ước cố định.

Ví dụ 5. Mười hai cặp nghiệm, không chỉ một giá trị mẫu

Tìm mọi (x,y)\in\mathbb Z^2 để \dfrac{3}{x^2+3xy+2y^2} là số nguyên.

• Điều kiện xác định. Mẫu D=(x+y)(x+2y) khác không.
• Chặn giá trị mẫu. D\in\{-3,-1,1,3\}. Đặt u=x+y,v=x+2y.
• Đổi ngược không có rào cản chia hết. y=v-u,x=2u-v đều nguyên với mọi cặp số nguyên u,v.
• Duyệt mọi cặp tích. Với mẫu 1 có hai cặp ước; mẫu -1 có hai; mỗi mẫu 3 hoặc -3 có bốn. Tổng cộng 2+2+4+4=12 cặp.
• Thử lại điều kiện. Mỗi cặp bên dưới cho mẫu thuộc bốn giá trị khác không đã xét.

Kết luận và kiểm tra

\begin{gathered}(x,y)\in\{(-7,4),(-5,2),(-5,4),(-3,2),(-1,0),(-1,2),\1,-2),(1,0),(3,-2),(5,-4),(5,-2),(7,-4)\}.\end{gathered}

Ví dụ (x,y)=(5,-2) cho mẫu 25-30+8=3, phân số bằng 1. Số cặp ước phải tính cả dấu và thứ tự.

Ví dụ 6. Mẫu bằng không không bao giờ được nhận

Có được giữ (x,y)=(1,-1) trong bài phân số trên không?

• Thay vào nhân tử. x+y=0 nên D=(x+y)(x+2y)=0.
• Dừng trước phép chia. 3/0 không xác định; không thể kết luận nó “không nguyên” bằng cách chia thử.
• So với một cặp đúng. (1,0) cho mẫu 1 và phân số 3.

Kết luận và kiểm tra

Cặp (1,-1) bị loại bởi điều kiện xác định. Các cặp x=-y hoặc x=-2y đều bị loại trong bài phân số.

04

Tạo tích bằng đồng nhất thức

Có những bài không tách được ngay thành hai nhân tử nguyên đơn giản. Khi một biến chỉ xuất hiện bậc nhất, ta có thể nhân phương trình với một số thích hợp, rồi thêm hằng số để tạo tích. Hằng số thêm phải được xử lí ở cả hai vế.

4(x^2-2xy+3y-5x)+21=(2x-3)(2x-4y-7).

04

Tạo tích bằng một đồng nhất thức có kiểm tra

Quy tắc. Tìm hai nhân tử tuyến tính sao cho khai triển trở lại đúng một bội của biểu thức ban đầu cộng một hằng số. Sau đó xét cặp ước và lọc phép đổi ngược.

Vì sao đúng? Đồng nhất thức đúng với mọi giá trị hai biến; phép nhân cả hai vế với số khác không và phép cộng cùng hằng số bảo toàn nghiệm. Phần còn lại là bài tích hữu hạn.

Điều kiện. Phải khai triển kiểm tra đủ mọi hệ số. Khi đổi ngược, giữ cả điều kiện chẵn lẻ và chia hết.

Khi nào không dùng được? Thêm hằng số ở một vế, bỏ hệ số nhân hoặc chia cho một biểu thức có thể bằng không sẽ làm đổi tập nghiệm. Không được tự suy ra tính nguyên chỉ vì cả hai nhân tử nguyên.

Ví dụ 7. Một tích được tạo ra thay vì nhìn thấy ngay

Tìm tất cả nghiệm nguyên của x^2-2xy+3y-5x=-7.

• Dùng đồng nhất thức. Phương trình tương đương (2x-3)(2x-4y-7)=-7.
• Đặt biến mới. u=2x-3,v=2x-4y-7. Các cặp ước là (-7,1),(-1,7),(1,-7),(7,-1).
• Đổi ngược và lọc. x=(u+3)/2,y=(u-v-4)/4. Bốn cặp đều cho tử số chia hết đúng mẫu.
• Tính cặp nghiệm. Các cặp lần lượt là (-2,-3),(1,-3),(2,1),(5,1).

Kết luận và kiểm tra

(x,y)\in\{(-2,-3),(1,-3),(2,1),(5,1)\}.

Chẳng hạn (5,1) cho 25-10+3-25=-7. Ta đã duyệt đủ tất cả các ước của -7, nên đây là toàn bộ nghiệm.

Ví dụ 8. Kiểm tra một cặp ước trước khi đổi ngược

Vẫn đặt u=2x-3,v=2x-4y-7. Cặp (u,v)=(1,1) có thể đến từ hai số nguyên x,y không?

• Thử biến thứ nhất. x=(1+3)/2=2 là số nguyên.
• Thử biến thứ hai. y=(1-1-4)/4=-1 cũng là số nguyên.
• Đọc đúng vế phải. Tích bằng 1 nên 4K+21=1, tức K=-5, không phải -7.

Kết luận và kiểm tra

Cặp ước đổi được thành nghiệm nguyên của phương trình có vế phải -5. Nó vẫn không được nhận cho bài vế phải -7. Phải kiểm tra cả tích mục tiêu lẫn phép đổi ngược.

05

Chặn biến bằng biệt thức

Khi không tìm thấy tích phù hợp, hãy coi một biến là tham số và giải phương trình bậc hai theo biến kia. Biệt thức không âm có thể chặn tham số; biệt thức là số chính phương tiếp tục lọc; công thức nghiệm còn một bước kiểm tra chia hết.

A x^2+B x+C=0,\quad A\ne0;\qquad \Delta=B^2-4AC,\quad x=\frac{-B\pm\sqrt\Delta}{2A}.

Với A,B,C\in\mathbb Z và A\ne0, nếu x là nghiệm nguyên thì từ phương trình gốc suy ra \Delta=(2Ax+B)^2. Vì 2Ax+B nguyên, biệt thức bắt buộc là một số chính phương không âm. Chiều ngược còn cần kiểm tra phép chia trong công thức nghiệm.

05

Dùng biệt thức để chặn biến trước khi thử

Quy tắc. Nếu biệt thức được viết dưới dạng một hằng số trừ một bình phương dương, điều kiện \Delta\ge0 tạo ngay một khoảng hữu hạn cho biến tham số.

Vì sao đúng? Mọi nghiệm nguyên đều là nghiệm thực, nên biệt thức phải không âm. Khi hệ số của bình phương dương, tham số không thể tăng tùy ý.

Điều kiện. Ta đang xét phương trình bậc hai thực sự, tức hệ số A\ne0. Phải ghi rõ cận nguyên được suy ra từ bất đẳng thức.

Khi nào không dùng được? Nếu hệ số bậc hai có thể bằng không, phải xét trường hợp ấy riêng. Nếu biệt thức không tạo cận hữu hạn, không được tự đặt một khoảng thử.

06

Biệt thức chính phương vẫn phải kiểm tra mẫu

Quy tắc. Sau khi \Delta=s^2 với s\in\mathbb N, chỉ giữ dấu cho tử -B\pm s chia hết cho 2A.

Vì sao đúng? Bình phương hoàn chỉnh giúp căn bậc hai nguyên, nhưng công thức nghiệm vẫn là một phân số. Tử và mẫu nguyên không bảo đảm thương nguyên.

Điều kiện. Hệ số phương trình là số nguyên, A\ne0. Nếu \Delta=0, hai dấu cho cùng một nghiệm, chỉ giữ một lần.

Khi nào không dùng được? Không âm chỉ bảo đảm nghiệm thực; chính phương chỉ bảo đảm nghiệm hữu tỉ theo công thức. Hai điều kiện này chưa thay được phép kiểm tra chia hết.

Ví dụ 9. Chặn một biến của dạng bậc hai dương

Tìm mọi nghiệm nguyên của N=2x^2-6xy+9y^2+4x-3=-2.

• Đọc thành bậc hai theo x. 2x^2+(4-6y)x+9y^2-1=0.
• Tính và hoàn thành bình phương của biệt thức. \Delta=24-48y-36y^2=40-4(3y+2)^2.
• Chặn y. \Delta\ge0 buộc (3y+2)^2\le10. Vì 3y+2 nguyên nên -3\le3y+2\le3, suy ra y\in\{-1,0\}.
• Lọc chính phương và chia hết. Với y=-1, \Delta=36 và x=(-10\pm6)/4 cho -4 hoặc -1. Với y=0, \Delta=24 không chính phương.
• Thử lại. N(-4,-1)=32-24+9-16-3=-2 và N(-1,-1)=2-6+9-4-3=-2.

Kết luận và kiểm tra

(x,y)\in\{(-4,-1),(-1,-1)\}.

Cận biệt thức đã chứng minh không còn giá trị nguyên nào khác của y. Vì vậy việc thử hai giá trị là đầy đủ.

Ví dụ 10. Chính phương nhưng chỉ một dấu cho nghiệm nguyên

Giải phương trình 2x^2+x-1=0 trong \mathbb Z.

• Tính biệt thức. \Delta=1+8=9 là số chính phương.
• Đọc cả hai dấu. x=(-1+3)/4=1/2 hoặc x=(-1-3)/4=-1.
• Giữ miền số nguyên. 1/2 bị loại; -1 được giữ.

Kết luận và kiểm tra

Tập nghiệm nguyên là \{-1\}. Phương trình có hai nghiệm thực nhưng chỉ một nghiệm nguyên.

Ví dụ 11. Biệt thức bằng không không tạo hai nghiệm

Tìm tất cả nghiệm nguyên của N=2x^2-6xy+9y^2+4x-3=-5.