Phương trình, bất phương trình và mô hình chi phí
Xây dựng tư duy biến đổi tương đương qua phương trình tích, phân thức, hệ hai ẩn và bất phương trình; dùng mô hình giá theo bậc và số nguyên để giải bài mua…
LUKATO · TOÁN THCS · CHUYÊN ĐỀ 01/02
Phương trình, bất phương trình và mô hình chi phí
Từ điều kiện của ẩn đến quyết định mua được nhiều nhất
Xây dựng tư duy biến đổi tương đương qua phương trình tích, phân thức, hệ hai ẩn và bất phương trình; dùng mô hình giá theo bậc và số nguyên để giải bài mua hàng, đếm tiền. Sáu mục tự luận gốc có lời giải từng bước, cùng bài luyện mới và vận dụng có giải.
6 Ý từ đề gốc · đầy đủ lời giải
12 Câu chẩn đoán · phân tích lựa chọn
6 Bài vận dụng · đổi dữ kiện
3 Mô hình · thử và giải thích
Giải có căn cứ: đọc điều kiện → chọn quy tắc → thử tự làm → đối chiếu từng bước → giải một tình huống mới.
HIỂU BẢN CHẤT · 01
Đọc đề để chọn đúng phép biến đổi
Mục tiêu: phân biệt một nghiệm, một cặp nghiệm và một miền nghiệm; xác định điều kiện trước khi tính. Phương trình hỏi những giá trị làm hai vế bằng nhau. Hệ phương trình hỏi một cặp làm đồng thời mọi phương trình đúng. Bất phương trình hỏi tất cả giá trị làm một quan hệ lớn hơn hoặc nhỏ hơn đúng. Bài toán mua hàng còn yêu cầu nghiệm là số nguyên không âm, nên kết quả đại số chỉ là bước trung gian.
Ví dụ, x = 2 , 4 có thể là nghiệm hợp lệ của phương trình, nhưng không thể là số hộp bánh. Với phân thức 1/ ( x − 3 ) , giá trị x = 3 bị loại trước mọi biến đổi. Với giá tiền, ta có thể chọn đơn vị nghìn đồng, nhưng phải đổi tất cả dữ kiện sang cùng đơn vị.
- Ghi điều cần tìm và miền giá trị của ẩn.
- Nhìn cấu trúc: tích, phân thức, hai phương trình, hay dấu bất đẳng thức.
- Chọn phép biến đổi giữ đúng tập nghiệm trong miền đã ghi.
- Thế lại và giải thích kết quả theo câu hỏi.
Điểm dừng kiểm tra: nếu kết luận là một con số, hỏi “đó là giá trị của ẩn, số lượng, hay số tiền?”; nếu kết luận là một khoảng, hỏi “đầu mút có được lấy không?”. Một đáp số thiếu miền giá trị có thể bỏ sót điều quan trọng nhất của đề.
HIỂU BẢN CHẤT · 02
Phương trình tích: tách nhánh, không chia mất nghiệm
Mục tiêu: giải A ( x ) B ( x ) = 0 bằng tính chất tích bằng không. Trong tập số thực, tích bằng không khi ít nhất một thừa số bằng không. Hai nhánh là A ( x ) = 0 hoặc B ( x ) = 0 , không phải cùng lúc. Nghiệm chung, nếu có, chỉ ghi một lần.
( 2 x − 5 ) ( x + 4 ) = 0 ⟺ 2 x − 5 = 0 hoặc x + 4 = 0.
Nhánh đầu cho x = 5/2 , nhánh sau cho x = − 4 ; vậy tập nghiệm gồm hai phần tử. Thế mỗi giá trị vào tích, một thừa số bằng không nên tích bằng không.
Vì sao không chia ngay? Chia hai vế cho x + 4 chỉ được khi x = − 4 . Nếu quên nhánh x = − 4 , phép chia làm mất một nghiệm. Tách nhánh trước tránh điều này và thường ngắn hơn khai triển thành phương trình bậc hai.
Nếu tích bằng một số khác không, chẳng hạn ( x − 1 ) ( x + 2 ) = 6 , không được cho từng thừa số bằng không. Phải chuyển về một vế rồi biến đổi thích hợp. Hãy nhận diện tích bằng không , không chỉ nhận diện một tích.
HIỂU BẢN CHẤT · 03
Phân thức: điều kiện là một phần của lời giải
Mục tiêu: tìm điều kiện xác định, rút gọn và loại nghiệm không hợp lệ. Mẫu số phải khác không. Khi nhân với mẫu chung, ta dùng một biểu thức chắc chắn khác không trên miền đã xác định, nhờ đó việc biến đổi mới tương đương.
x − 2 x + 1 − x − 2 3 = 0 , x = 2.
Gộp tử cho ( x − 2 ) / ( x − 2 ) = 0 . Trên miền x = 2 , vế trái luôn bằng 1 , nên phương trình vô nghiệm . Nếu chỉ lấy tử bằng không sẽ ra x = 2 , nhưng đó chính là điểm bị cấm. Tử và mẫu cùng bằng không không tạo ra giá trị bằng không; biểu thức không được xác định.
Với hai mẫu x + 3 , x − 3 , mẫu chung là ( x + 3 ) ( x − 3 ) . Khi gặp dấu trừ trước một phân thức, cần đặt ngoặc quanh cả tử trước khi khai triển: − ( x + 2 ) ( x + 3 ) đổi dấu mọi hạng tử.
Quy trình ba cửa: điều kiện → phương trình sau quy đồng → đối chiếu nghiệm với điều kiện. Bước thế lại dùng phương trình ban đầu giúp phát hiện cả lỗi dấu lẫn mẫu bằng không.
HIỂU BẢN CHẤT · 04
Hệ hai ẩn: cộng hoặc thế để giữ cả hai điều kiện
Mục tiêu: chọn phương pháp khử phù hợp và kiểm tra cặp nghiệm. Với hệ 3 x − y = 7 , x + y = 5 , hệ số của y đối nhau, nên cộng hai phương trình được 4 x = 12 , suy ra x = 3 . Thế vào x + y = 5 cho y = 2 . Cặp ( 3 ; 2 ) làm cả hai phương trình đúng.
Cộng hai phương trình chỉ tạo ra một điều kiện cần. Ta vẫn giữ một phương trình để tìm ẩn còn lại; riêng 4 x = 12 chưa xác định được y . Cách thế cũng tốt: từ x + y = 5 rút y = 5 − x , rồi thay vào phương trình kia.
Khi đọc bài toán: một phương trình thường đếm số lượng, phương trình còn lại đếm tiền, khối lượng hoặc quãng đường. Đơn vị khác nhau không có nghĩa là được cộng trực tiếp hai phương trình đã có đơn vị; ta khử sau khi các hệ số và ẩn đã được diễn đạt nhất quán.
Nghiệm đại số phải được kiểm tra theo ý nghĩa của ẩn. Số tờ tiền không thể âm hay phân số. Nếu hệ cho x = 4 , 5 tờ, dữ kiện không phù hợp với mô hình tờ nguyên; không tự làm tròn vì sẽ phá tổng tiền hoặc tổng số tờ.
HIỂU BẢN CHẤT · 05
Bất phương trình: đổi chiều đúng lúc, đọc đúng đầu mút
Mục tiêu: rút gọn bất phương trình và giải thích tập nghiệm. Cộng hoặc trừ cùng một biểu thức ở hai vế giữ nguyên chiều. Nhân hoặc chia hai vế cho số dương giữ chiều; cho số âm phải đổi chiều. Lý do: trên trục số, nhân với số âm phản chiếu vị trí qua gốc.
− 4 x + 3 > 7 ⟺ − 4 x > 4 ⟺ x < − 1.
Ở bước cuối chia cho − 4 , dấu > thành < . Số − 1 không được lấy vì khi thế vào, hai vế bằng nhau. Số − 2 được lấy; số 0 không được lấy. Hai phép thử này kiểm tra hướng miền nghiệm.
Trong bài gốc, các hạng tử bậc hai triệt tiêu. Hãy khai triển ngoặc trước rồi thu gọn; thấy x 2 trong đề không có nghĩa kết quả nhất thiết là bất phương trình bậc hai. Giữ dấu bất đẳng thức ở mỗi dòng giúp tránh vô thức đổi thành dấu bằng.
Sơ đồ biểu diễn kết quả bài gốc x < 2/3 : vòng tròn rỗng vì bất đẳng thức nghiêm ngặt, phần bên trái vì lấy những số nhỏ hơn. Vị trí các mốc 0 , 2/3 , 1 dùng cùng một tỉ lệ.
HIỂU BẢN CHẤT · 06
Giá theo bậc: tách nhóm trước khi lập công thức
Mục tiêu: lập hàm chi phí có hai nhánh. Giảm 20% nghĩa là còn 80% giá ban đầu. Một hộp giá 40 nghìn đồng sau giảm có giá 40 ⋅ 0 , 8 = 32 nghìn đồng. Không lấy 40 ⋅ 0 , 2 = 8 làm giá mới: đó là số tiền giảm.
Chính sách “từ hộp thứ ba trở đi” giữ nguyên giá hai hộp đầu. Với n ≥ 3 , số hộp được giảm là n − 2 . Vì thế tổng tiền, tính bằng nghìn đồng, là:
C ( n ) = { 40 n , 80 + 32 ( n − 2 ) , 0 ≤ n ≤ 2 , n ≥ 3 , n ∈ Z ≥ 0 .
Đề gốc hỏi mua hàng, nên ta dùng n ≥ 1 ; nhánh n = 0 chỉ giúp mở rộng mô hình về trường hợp không mua. Hai công thức cùng cho C ( 2 ) = 80 , thể hiện rằng ưu đãi bắt đầu với hộp thứ ba , không làm giảm giá các hộp đã mua trước.
Kiểm tra công thức: C ( 3 ) = 112 , đúng bằng 40 + 40 + 32 . Công thức 32 n sẽ cho 96 và thiếu 16 nghìn đồng, tức tiền giảm nhầm của hai hộp đầu.
HIỂU BẢN CHẤT · 07
Tối đa trong ngân sách: nghiệm thực rồi mới chọn số nguyên
Mục tiêu: chứng minh một số lượng là lớn nhất, thay vì chỉ tìm một số mua được. Với ngân sách B , điều kiện là C ( n ) ≤ B , vì được phép chi đúng bằng ngân sách. Sau khi giải bất phương trình, ta giao miền nghiệm với điều kiện n nguyên và với nhánh giá đang dùng.
Ví dụ, nếu nhánh phù hợp cho n ≤ 12 , 5 , số nguyên lớn nhất là 12 , không phải 13 . “Làm tròn đến số nguyên gần nhất” không phải quy tắc của bài tối đa; ta chọn số nguyên không vượt cận trên.
Chứng minh bằng hai phép tính: tính C ( 12 ) để cho thấy mua được, rồi tính C ( 13 ) để cho thấy thêm một hộp sẽ vượt ngân sách. Vì mỗi hộp thêm có giá dương, mọi số lớn hơn nữa cũng vượt. Điều này kết nối kết quả đại số với lựa chọn thực tế.
Nếu cận trên của nhánh n ≥ 3 lại nhỏ hơn 3 , nhánh ấy không có nghiệm. Khi đó quay lại kiểm tra n = 1 , 2 theo giá thường, không dùng công thức ưu đãi ngoài miền. Khoảng tiền thừa có thể không đủ mua thêm, nên không được coi tiền thừa là bằng chứng đáp số chưa tối ưu.
HIỂU BẢN CHẤT · 08
Hai loại tiền: bảo toàn số tờ và bảo toàn giá trị
Mục tiêu: chuyển thông tin “đã tiêu + còn lại” thành tổng tiền ban đầu và lập hệ đếm. Nếu ban đầu có N tờ thuộc hai mệnh giá a < b , gọi u là số tờ loại a , v là số tờ loại b . Ta có u + v = N , a u + b v = T , với u , v nguyên không âm.
a N + ( b − a ) v = T ⟹ v = b − a T − a N , u = N − v .
Cách hiểu phép khử: giả sử tất cả là tờ nhỏ, có a N . Đổi một tờ nhỏ sang tờ lớn làm tổng tiền tăng b − a . Phần tăng cần có là T − a N , nên chia cho mức tăng mỗi lần sẽ ra số tờ lớn. Đây là cách “giả sử rồi điều chỉnh”, tương đương với phép thế trong hệ.
Trước khi giải, kiểm tra a N ≤ T ≤ b N . Sau khi giải, kiểm tra T − a N chia hết cho b − a . Hai phép kiểm tra này phát hiện dữ kiện bất khả thi nhanh chóng. Trong bài gốc, T là tiền đã thanh toán cộng tiền còn thừa; không lấy hiệu của hai số đó.
Cuối bài, viết rõ số tờ tương ứng với từng mệnh giá. Cặp ( u ; v ) đơn lẻ dễ bị đảo ý nghĩa nếu người đọc không nhìn lại định nghĩa ẩn. Thế vào cả tổng số tờ và tổng tiền là bước xác nhận cuối cùng.
Học theo mục tiêu, không theo tốc độ của người khác
Lần học đầu: đọc các quy tắc và tự giải đề gốc. Chỉ mở gợi ý khi chưa xác định được bước tiếp theo. Lần học sau: làm 12 câu chẩn đoán, thử mô hình và chọn một bài vận dụng. Quay lại phần lý thuyết tương ứng khi em chưa giải thích được vì sao một bước đúng.
Bộ đề đã cung cấp có 6 câu lớn với 10 ý: chuyên đề thứ nhất giải đủ 6 ý về đại số và mô hình; chuyên đề thứ hai giải đủ 4 ý về lượng giác và hình học. Các bài vận dụng và mô hình là phần được biên soạn thêm, được ghi riêng; không làm thay đổi yêu cầu của đề.
ĐỀ GỐC · LỜI GIẢI ĐƯỢC PHÁT TRIỂN
Tự làm trước, đối chiếu sau
Giữ dữ kiện và yêu cầu của đề đã cung cấp. Bảng tự kiểm giúp em xem lại điều kiện, mô hình, phép biến đổi và đơn vị; không phải thang điểm chính thức.
ĐỀ GỐC · C1a
Câu 1a · Giải phương trình tích
Yêu cầu và dữ kiện
Giải phương trình ( 6 x − 3 ) ( 3 x + 6 ) = 0 .
Bài tự luận từ ảnh gốc; dữ kiện và yêu cầu được giữ nguyên. Lời giải dưới đây được biên soạn để học từng bước.
Ẩn x là số thực; biểu thức xác định với mọi x . Hai thừa số đã được tách sẵn, nên dùng tính chất tích bằng không.
Cần thể hiện trong bài làm
- Viết hai nhánh 6 x − 3 = 0 hoặc 3 x + 6 = 0 .
- Giải từng phương trình bậc nhất.
- Thế lại và ghi đủ hai nghiệm.
Gợi ý lộ trình — chưa mở đáp số
Không cần khai triển. Một trong hai thừa số phải bằng không; mỗi nhánh cho một nghiệm.
Lời giải đầy đủ — xem sau khi tự làm
Bước 1 · Tách nhánh:
( 6 x − 3 ) ( 3 x + 6 ) = 0 ⟺ 6 x − 3 = 0 hoặc 3 x + 6 = 0.
Bước 2 · Giải từng nhánh: nhánh thứ nhất cho 6 x = 3 , nên x = 1/2 ; nhánh thứ hai cho 3 x = − 6 , nên x = − 2 .
Bước 3 · Kiểm tra: với x = 1/2 , thừa số 6 x − 3 = 0 ; với x = − 2 , thừa số 3 x + 6 = 0 . Cả hai làm tích bằng không và đều thuộc miền số thực.
S = { − 2 ; 2 1 } .
Giải thích quy tắc và điều kiện
“Hoặc” gom nghiệm của hai nhánh. Không yêu cầu cả hai thừa số cùng bằng không; thực tế không có giá trị nào làm cả hai bằng không trong bài này.
Tự kiểm các bước quan trọng
Tự đối chiếu: nêu điều kiện cần thiết; chọn phép biến đổi đúng; trình bày tính toán; kiểm tra và kết luận theo yêu cầu. Đây là gợi ý tự đánh giá, không phải biểu điểm của đề.
Sửa một cách làm sai thường gặp
Vẽ hai nhánh từ tích bằng không; cuối mỗi nhánh ghi một nghiệm, rồi hợp hai kết quả.
Điểm dễ nhầm
- Chia cho 3 x + 6 và bỏ mất nghiệm − 2 .
- Giải 6 x = 3 thành x = 2 .
- Chỉ ghi một nhánh.
ĐỀ GỐC · C1b
Câu 1b · Phân thức và điều kiện xác định
Yêu cầu và dữ kiện
Giải phương trình x + 3 x + 2 + x − 3 x − 2 − x − 3 2 x = 0 .
Bài tự luận từ ảnh gốc; dữ kiện và yêu cầu được giữ nguyên. Lời giải dưới đây được biên soạn để học từng bước.
Hai mẫu x + 3 , x − 3 cho điều kiện x = − 3 , x = 3 . Hai phân thức cuối có cùng mẫu, nên nên gộp trước.
Cần thể hiện trong bài làm
- Ghi x = ± 3 .
- Gộp hai phân thức cùng mẫu và quy đồng.
- Giải tử bằng không, đối chiếu điều kiện và thế lại.
Gợi ý lộ trình — chưa mở đáp số
Hai tử cuối cho ( x − 2 ) − 2 x = − x − 2 = − ( x + 2 ) . Nhờ vậy xuất hiện nhân tử chung x + 2 .
Lời giải đầy đủ — xem sau khi tự làm
Bước 1 · Miền xác định: x + 3 = 0 , x − 3 = 0 , tức x = − 3 , 3 .
Bước 2 · Gộp và quy đồng trong miền đó:
x + 3 x + 2 + x − 3 x − 2 − 2 x = x + 3 x + 2 − x − 3 x + 2 . ( x + 3 ) ( x − 3 ) ( x + 2 ) ( x − 3 ) − ( x + 2 ) ( x + 3 ) = ( x + 3 ) ( x − 3 ) − 6 ( x + 2 ) .
Bước 3 · Giải: mẫu khác không, nên phân thức bằng không khi và chỉ khi − 6 ( x + 2 ) = 0 , suy ra x = − 2 . Giá trị này không bị loại.