Số, biểu thức và cấu trúc: hiểu cách tính để tự kiểm tra
Một chuyên đề học sâu từ các bài toán gốc: đọc đúng dấu và điều kiện, nhận ra cấu trúc trước khi tính, giải thích từng bước và kiểm tra bằng một cách độc…
LUKATO · TOÁN THCS · CHUYÊN ĐỀ 01/02
Số, biểu thức và cấu trúc: hiểu cách tính để tự kiểm tra
Chuyên đề Toán THCS · Số hữu tỉ, lũy thừa, phương trình, phần trăm và tổng hữu hạn
Một chuyên đề học sâu từ các bài toán gốc: đọc đúng dấu và điều kiện, nhận ra cấu trúc trước khi tính, giải thích từng bước và kiểm tra bằng một cách độc lập. Bài luyện chẩn đoán và bài vận dụng được biên soạn riêng để giúp nhận ra lỗi thường gặp.
15 Ý từ đề gốc · đầy đủ lời giải
12 Câu chẩn đoán · phân tích lựa chọn
6 Bài vận dụng · đổi dữ kiện
3 Mô hình · thử và giải thích
Giải có căn cứ: đọc điều kiện → chọn quy tắc → thử tự làm → đối chiếu từng bước → giải một tình huống mới.
HIỂU BẢN CHẤT · 01
Đọc dấu trước khi quy đồng
Mục tiêu: so sánh số hữu tỉ bằng dấu và vị trí trên trục số, rồi chọn phép tính phù hợp. Một số âm luôn nhỏ hơn một số dương. Vì vậy, khi hai số khác dấu, không cần quy đồng hoặc đổi sang số thập phân. Với hai số cùng dấu, quy đồng mẫu dương giúp biến việc so sánh phân số thành so sánh các tử số.
Chẳng hạn, − 5 2 < 0 < 3 1 , nên − 5 2 < 3 1 . Còn với hai số âm, − 12 7 > − 3 2 , vì − 3 2 = − 12 8 và − 7 > − 8 . Số có giá trị tuyệt đối lớn hơn lại nằm xa hơn về bên trái khi cả hai số đều âm.
Để tránh nhầm, hãy tự hỏi: “Tôi đang so sánh các số hay so sánh khoảng cách của chúng đến gốc?” Hai việc này khác nhau: − 5 < − 2 nhưng ∣ − 5∣ > ∣ − 2∣ . Không được bỏ dấu âm rồi giữ nguyên chiều bất đẳng thức. Nếu nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với số âm, phải đổi chiều; nếu chỉ quy đồng về mẫu dương, không đổi chiều.
Cách kiểm tra nhanh: hình dung số cần so sánh nằm bên trái hay bên phải gốc, sau đó xem kết luận có khớp với vị trí ấy không. Một phép quy đồng dài nhưng kết luận số âm lớn hơn số dương là dấu hiệu cần kiểm tra lại ngay.
HIỂU BẢN CHẤT · 02
Giá trị tuyệt đối đo khoảng cách, không giữ dấu
Mục tiêu: tính giá trị tuyệt đối và giải phương trình theo đầy đủ các trường hợp. Giá trị tuyệt đối của một số là khoảng cách từ điểm biểu diễn số đó đến gốc trên trục số. Do khoảng cách không âm, ∣ a ∣ ≥ 0 . Nếu a ≥ 0 , thì ∣ a ∣ = a ; nếu a < 0 , thì ∣ a ∣ = − a . Đặc biệt, ∣ − 3 , 411∣ = 3 , 411 .
Hai đoạn màu xanh bằng nhau vì hai điểm đối xứng qua gốc.
Trong hình, mỗi đơn vị số ứng với một trăm đơn vị vẽ; do đó cả hai khoảng cách đều biểu diễn 2 3 . Ta có − 2 3 = 2 3 = 2 3 . Sơ đồ giải thích tại sao phương trình ∣ x ∣ = 2 3 có hai nghiệm thực, chứ không chỉ nghiệm dương.
Tổng quát, với r > 0 , ∣ x ∣ = r tương đương x = r hoặc x = − r . Khi r = 0 , hai trường hợp trùng nhau và chỉ có nghiệm x = 0 . Khi r < 0 , phương trình vô nghiệm. Sau khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối trong một biểu thức, vẫn phải làm các phép cộng hoặc trừ phía ngoài đúng như đề; giá trị tuyệt đối không biến toàn bộ biểu thức thành số dương.
HIỂU BẢN CHẤT · 03
Nhận ra cấu trúc lũy thừa và điều kiện sử dụng
Mục tiêu: phân biệt ba phép biến đổi thường bị lẫn. Với số mũ nguyên không âm, tích cùng cơ số dùng quy tắc a m ⋅ a n = a m + n . Thương cùng cơ số, khi a = 0 và m ≥ n , dùng a m : a n = a m − n . Lũy thừa của lũy thừa dùng ( a m ) n = a mn . Cộng, trừ hay nhân số mũ được quyết định bởi cấu trúc phép toán, không phải bởi thói quen.
Trước khi áp dụng, đưa các thừa số về cùng cơ số. Ví dụ 9 4 = ( 3 2 ) 2 , nên phép chia cho 9 4 là chia cho một lũy thừa có số mũ 2 , không phải trừ 9 4 khỏi số mũ. Một thừa số 3 2 đứng riêng chính là ( 3 2 ) 1 .
Với a = 0 , a 0 = 1 . Điều kiện khác không là thiết yếu: không áp dụng quy tắc ấy cho 0 0 trong bài học này. Đối với cơ số âm, dấu ngoặc cũng là một phần của dữ kiện: ( − 4 ) 2 = 16 , còn − 4 2 = − 16 . Ở biểu thức thứ hai, lũy thừa được tính trước dấu trừ.
Cách tự kiểm: nếu cơ số là phân số dương nhỏ hơn 1 , tăng số mũ sẽ làm giá trị nhỏ đi. Vì thế ( 3 2 ) 3 phải nhỏ hơn 3 2 . Việc kiểm tra độ lớn không thay thế chứng minh, nhưng thường phát hiện ngay lỗi trừ số mũ sai hoặc đảo phân số không cần thiết.
HIỂU BẢN CHẤT · 04
Độ chính xác quyết định hàng làm tròn
Mục tiêu: chọn đúng hàng làm tròn và giải thích sai số. Theo quy ước làm tròn được dùng trong bài lớp này, làm tròn với độ chính xác 5 là làm tròn đến hàng chục: hai bội liên tiếp của 10 cách nhau 10 , nên khoảng cách đến bội gần nhất không vượt quá 5 . Đây là yêu cầu về quy tắc làm tròn, không phải yêu cầu tìm một số xấp xỉ tùy ý có sai số nhỏ.
Với 13579 , 68 , chữ số hàng đơn vị là 9 , nên tăng hàng chục và thay các chữ số phía sau bằng không: 13579 , 68 ≈ 13580 . Có thể kiểm tra bằng khoảng cách: 13579 , 68 − 13570 = 9 , 68 , còn 13580 − 13579 , 68 = 0 , 32 . Bội 13580 gần hơn và sai số thực tế là 0 , 32 .
Làm tròn đến hàng đơn vị, một chữ số thập phân hoặc hàng trăm là ba yêu cầu khác. Chúng cho kết quả khác và có mức sai số tối đa khác: lần lượt là 0 , 5 , 0 , 05 và 50 . Đừng thấy số thập phân rồi mặc định giữ một chữ số sau dấu phẩy. Hãy viết hàng cần làm tròn trước, rồi mới nhìn chữ số ngay bên phải.
Trong các ví dụ mở rộng có số dương nằm đúng giữa hai bội, ta dùng quy ước chữ số tiếp theo từ 5 trở lên thì tăng hàng làm tròn. Việc nêu quy ước này giúp xác định rõ các đầu mút của khoảng số cùng được làm tròn về một kết quả.
HIỂU BẢN CHẤT · 05
Đọc biểu thức như một cây phép toán
Mục tiêu: giữ đúng phạm vi dấu ngoặc, dấu căn, hỗn số và thứ tự phép tính. Trước hết xác định phép cộng hoặc trừ ngoài cùng; tiếp theo xét các tích, thương; rồi mới tính lũy thừa và biểu thức trong ngoặc. Một dòng biến đổi tốt giữ nguyên những phần chưa tính, thay vì viết kết quả rời rạc rồi cố ghép lại.
Hỗn số 2 4 1 nghĩa là 2 + 4 1 = 4 9 , không phải 2 ⋅ 4 1 hay 4 2 + 1 . Tương tự, 5 4 1 = 4 21 . Chia cho phân số khác không bằng nhân với nghịch đảo: 4 9 : 7 5 = 4 9 ⋅ 5 7 . Chỉ đảo số chia, không đảo cả hai phân số.
Khi nhiều hạng tử cùng có thừa số 5 7 , đặt thừa số chung giúp giảm tính toán: a ⋅ 5 7 − b ⋅ 5 7 + c ⋅ 5 7 = ( a − b + c ) ⋅ 5 7 . Dấu trừ thuộc về hạng tử giữa và phải được giữ sau khi đặt thừa số chung.
Trong Bài B1c, 25 16 = 5 4 là căn bậc hai số học không âm. Phần trong ngoặc vuông được tính xong rồi mới nhân với 8 : [ 16 : 5 4 ] ⋅ 8 = 20 ⋅ 8 . Nếu đưa 8 vào số chia, ta đã đổi cây phép toán. Cuối cùng, hãy kiểm tra giá trị bằng một cách nhóm khác hoặc ước lượng độ lớn; chỉ rút gọn các thừa số trong tích, không “rút gọn” xuyên qua dấu cộng.
HIỂU BẢN CHẤT · 06
Biến đổi tương đương và kiểm tra đủ nghiệm
Mục tiêu: mỗi dòng giải phương trình phải giữ nguyên tập nghiệm. Cộng hoặc trừ cùng một số vào hai vế, nhân hoặc chia hai vế cho cùng một số khác không là các phép biến đổi tương đương. Câu nói “chuyển vế đổi dấu” chỉ là cách viết tắt của việc cộng hoặc trừ cùng một lượng, không phải một phép đổi dấu tùy ý.
Với 3 2 x − 6 5 = − 9 4 , cộng 6 5 vào cả hai vế rồi chia cho 3 2 . Đừng nhân thêm 3 2 sau khi đã cô lập tích ấy; để tách x , phải dùng nghịch đảo 2 3 .
Nếu có bình phương, cô lập bình phương trước khi tách trường hợp. Từ u 2 = 9 64 , ta được u = 3 8 hoặc u = − 3 8 . Việc căn bậc hai số học chỉ cho căn dương của vế phải, nhưng phương trình bình phương còn nhánh âm. Khi u = 2 1 − x , cần giải riêng cả hai phương trình bậc nhất; không đoán rằng hai nghiệm của x phải đối nhau. Chúng đối xứng quanh 2 1 .
Với Bài B2c, dùng 2 x + 3 = 8 ⋅ 2 x để đặt thừa số chung. Nhận ra 16 = 2 4 sẽ tìm được nghiệm. Nếu xét trên số thực, tính tăng nghiêm ngặt của lũy thừa cơ số 2 > 1 bảo đảm không có nghiệm thực khác; không cần tự thêm điều kiện x là số tự nhiên. Sau khi giải, thay từng nghiệm vào biểu thức gốc để kiểm tra dấu và các bước biến đổi.
HIỂU BẢN CHẤT · 07
Mọi tỉ lệ phần trăm đều cần một lượng gốc
Mục tiêu: phân biệt số lượng hàng, doanh thu, giá bán và tiền giảm trên mỗi sản phẩm. Tỉ lệ 70% số bánh có lượng gốc là toàn bộ 450 chiếc; số bánh đã bán là 450 ⋅ 100 70 . Doanh thu bằng số chiếc nhân với giá một chiếc, nên đơn vị cuối là đồng, không phải chiếc.
Khi chia doanh thu thành hai đợt, phải lấy tổng doanh thu trừ doanh thu đợt đầu để tìm tiền thu của đợt sau. Sau đó chia cho số bánh còn lại để tìm giá mới. Không được lấy tổng doanh thu chia cho số bánh còn lại, vì tổng còn chứa tiền của những chiếc đã bán trước đó.
Tỉ lệ giảm giá trên một chiếc dùng giá ban đầu làm lượng gốc. Gọi p 0 là giá cũ, p 1 là giá mới, với p 0 > 0 , và r là tỉ lệ giảm viết dưới dạng thập phân. Khi đó r = p 0 p 0 − p 1 . Để biểu diễn tỉ lệ này dưới dạng phần trăm, lấy r ⋅ 100% . Dùng giá mới ở mẫu sẽ trả lời một câu hỏi khác. Nếu giá mới bằng 70% giá cũ, mức giảm là 30% , bởi phần còn lại và phần bị giảm cộng thành 100% .
Cách kiểm tra ngược rất hữu ích: lấy giá cũ nhân với 1 − r , trong đó r là tỉ lệ giảm viết dưới dạng thập phân, rồi xem có ra giá mới không. Cuối cùng, cộng doanh thu hai đợt để xem có khớp tổng đã cho. Một mức giảm trên số hàng còn lại không đồng nghĩa với mức giảm ấy trên toàn bộ doanh thu giả định nếu mọi chiếc đều bán giá gốc.
HIỂU BẢN CHẤT · 08
Tổng hữu hạn: đổi thứ tự cộng để thấy cấu trúc
Mục tiêu: biến một tổng nhiều tích thành một tổng các hàng tam giác, có giải thích cho mọi hạng tử. Đặt S j = 1 + 2 + ⋯ + j . Khi cộng S 1 + S 2 + ⋯ + S 98 , số 1 xuất hiện ở mọi hàng, tức 98 lần; số 2 xuất hiện từ hàng thứ hai, tức 97 lần; số 98 chỉ xuất hiện ở hàng cuối, tức một lần.
Vì vậy, việc gom theo giá trị thay cho gom theo hàng cho S 1 + S 2 + ⋯ + S 98 = 1 ⋅ 98 + 2 ⋅ 97 + ⋯ + 98 ⋅ 1. Đây là cùng một tập các số hạng, chỉ thay thứ tự cộng; không phải đoán một công thức vì những hạng tử đầu trông giống nhau.
Để tính mỗi hàng, ghép tổng xuôi với tổng ngược: S j = 1 + 2 + ⋯ + j và S j = j + ( j − 1 ) + ⋯ + 1 . Cộng từng cột có j cặp đều bằng j + 1 , nên 2 S j = j ( j + 1 ) và S j = 2 j ( j + 1 ) .
Do đó tổng các hàng chính là một nửa của 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ⋯ + 98 ⋅ 99 . Cách chứng minh này giải thích tỉ số trong Bài B5 mà không cần tính hai số lớn. Khi viết chứng minh, phải nói rõ mẫu số dương để phép chia hợp lệ, và dùng dấu nhân ⋅ để không nhầm các tích với số thập phân.
Học theo mục tiêu, không theo tốc độ của người khác
Lần học đầu: đọc các quy tắc và tự giải đề gốc. Chỉ mở gợi ý khi chưa xác định được bước tiếp theo. Lần học sau: làm 12 câu chẩn đoán, thử mô hình và chọn một bài vận dụng. Quay lại phần lý thuyết tương ứng khi em chưa giải thích được vì sao một bước đúng.
Đề gốc được chia giữa hai chuyên đề: phần số và biểu thức có 15 ý, phần hình học có 5 ý. Các bài vận dụng và mô hình là phần được biên soạn thêm, được ghi riêng; không làm thay đổi yêu cầu của đề.
ĐỀ GỐC · LỜI GIẢI ĐƯỢC PHÁT TRIỂN
Tự làm trước, đối chiếu sau
Giữ dữ kiện và yêu cầu của đề đã cung cấp. Các lỗi chép lại trong phần giải được ghi rõ tại câu liên quan. Điểm tối đa lấy theo đầu mục của đề; bảng tự kiểm là gợi ý luyện tập, không phải cách chia điểm từng bước của một trường.
ĐỀ GỐC · A1 · 0,25 ĐIỂM
A1 · So sánh hai số hữu tỉ
Yêu cầu và dữ kiện
Cho x = − 5 2 , y = 3 1 . Chọn quan hệ đúng.
- x < y
- x > y
- x = y
- x ≥ y
Bài gốc, câu trắc nghiệm A1; giữ nguyên dữ kiện và bốn lựa chọn.
Hai mẫu số đều dương. Tử số của x âm, còn tử số của y dương. Có thể quyết định bằng dấu trước khi tính.
Cần thể hiện trong bài làm
- Nhận biết x < 0 và y > 0 .
- Chọn đúng một quan hệ trong bốn lựa chọn.
Gợi ý lộ trình — chưa mở đáp số
So sánh từng số với gốc, rồi dùng tính bắc cầu.
Lời giải đầy đủ — xem sau khi tự làm
Vì − 5 2 < 0 và 0 < 3 1 , suy ra − 5 2 < 3 1 , tức x < y . Chọn A .
Cách khác: x = − 15 6 , y = 15 5 . Vì − 6 < 5 , kết luận vẫn là x < y .
Giải thích quy tắc và điều kiện
So sánh bằng dấu ngắn hơn nhưng không thiếu lập luận. Lựa chọn D cũng sai vì x ≥ y gồm trường hợp lớn hơn hoặc bằng, đều không xảy ra.
Tự kiểm các bước quan trọng
Tự đánh giá tham khảo: đối chiếu việc đọc đúng dữ kiện, chọn đúng quy tắc, trình bày các bước và kiểm tra kết quả. Đây không phải biểu điểm chính thức theo từng bước.
Sửa một cách làm sai thường gặp
Hãy ghi thêm chuỗi x < 0 < y bên cạnh đáp án để lời giải thể hiện rõ căn cứ.
Điểm dễ nhầm
- Bỏ dấu âm rồi so sánh 5 2 với 3 1 .
- Chọn quan hệ lớn hơn hoặc bằng chỉ vì thấy tử số có độ lớn lớn hơn.
ĐỀ GỐC · A2 · 0,25 ĐIỂM
A2 · Phát hiện quy tắc lũy thừa bị dùng sai
Yêu cầu và dữ kiện
Đẳng thức nào sau đây sai ?