Chia một lần, quyết định ba cách
Cùng một phép chia có thể dẫn đến ba quyết định khác nhau. Học cách đọc giới hạn, xử lý phần dư và phân biệt mọi phương án với phương án lớn nhất.
LUKATO Toán THCS · Hiểu cấu trúc, giải thích điều kiện
Bí quyết 03 · Từ cấu trúc đến lời giải
Chia một lần, quyết định ba cách
Thương, số dư và những số nhóm thực sự có thể chọn
8 bí quyết có điều kiện 3 phòng thực hành 8 câu tự kiểm tra
MỤC TIÊU 01
Chọn thương nguyên, số lượng đủ chứa hoặc điều kiện chia hết theo ý nghĩa bài toán.
MỤC TIÊU 02
Giải thích đáp án bằng cách kiểm tra phương án sát bên và diễn giải phần dư.
MỤC TIÊU 03
Liệt kê đầy đủ số nhóm hợp lệ khi có nhiều loại đồ vật và giới hạn số nhóm.
MỤC TIÊU 04
Tính ngược dữ kiện, giữ đúng đơn vị và nhận ra điều kiện còn thiếu.
Lộ trình tư duy
01 / 01 · Đọc điều kiện
Phép chia chưa tự quyết định đáp án
Có món đồ, mỗi thùng chứa tối đa món. Tính . Hỏi số thùng có thể đóng đầy thì trả lời ; hỏi số thùng ít nhất để chứa hết thì trả lời . Yêu cầu dùng hết và mỗi thùng đúng món thì không thực hiện được. Cùng phép chia, khác mục đích.
Đọc điều kiện trước khi tính
- Không vượt: lượng tiền hoặc vật liệu đủ cho phương án đã chọn.
- Phải đủ: mọi người có chỗ, mọi đồ vật được chứa.
- Chia đều và dùng hết: các phần cùng thành phần, không dư.
Các từ “tối đa”, “ít nhất”, “mọi”, “dùng hết”, “được để dư” xác định phép kiểm tra. Một vé phải nguyên vẹn khác với dây có thể cắt nhỏ.
Mô hình: lượng đồ vật nguyên không âm; sức chứa và giá mỗi món dương. Đồ vật nguyên vẹn, giá và sức chứa không đổi, không có chi phí khác trừ khi đề nêu. Đổi giả thiết phải kiểm tra lại cách tính.
Cùng một phép chia, ba đích đến
01 Chia lượng có cho một đơn vị sử dụng.
02 Không vượt lượng có: giữ thương nguyên.
03 Đủ chứa toàn bộ: xét phần dư để thêm một.
04 Dùng hết và phần cố định: số dư phải bằng không.
Chọn điều kiện trước; phép tính thương và số dư chỉ là bước trung gian.
02 / 02 · Cơ chế
Một đẳng thức, ba phép kiểm tra
Với nguyên không âm và nguyên dương, viết , trong đó . Thương đếm số lần lấy trọn , số dư là phần còn lại. Đẳng thức đúng nhưng số dư ngoài miền chưa phải phép chia có dư chuẩn.
Không vượt và đủ chứa
Vì , là số nguyên lớn nhất không đòi hỏi quá . Đó là phần nguyên dưới , không phải làm tròn đến số gần nhất.
Để chứa hết, nếu , thùng chưa đủ; thêm một thùng đủ vì . Nếu , không thêm. Kết quả là phần nguyên trên . Với , nếu được phép không dùng thùng thì cần thùng.
Chia hết và tính ngược
Mỗi phần đúng món và dùng hết đòi hỏi . Biết số chia, thương, số dư thì tính ngược . Ví dụ thùng đang dùng, mỗi thùng chứa tối đa món, bảy thùng đầu đầy, thùng cuối có món: . Chỉ có bảy thùng đầy; không lấy tám nhân sức chứa rồi cộng phần cuối.
Lọc mọi số nhóm hợp lệ
01 Xác định số nhóm nguyên dương và khoảng được phép.
02 Kiểm tra chia hết từng loại nếu phải dùng hết.
03 Lọc tiếp bằng giới hạn lượng đồ trong mỗi nhóm.
04 Giữ toàn bộ phương án; chọn lớn nhất khi đề yêu cầu.
Giới hạn số nhóm và giới hạn mỗi nhóm cùng tác động lên danh sách phương án.
Cùng một phép chia, hai quyết định khác nhau
Giả sử giá cố định, mua nguyên món; xe có cùng sức chứa và không ghép nhiều lượt. Ngân sách cho phép tối đa 11 món, nhưng cần ít nhất 12 xe để chở 137 người.
03 / 03 · Công cụ
Tám nguyên tắc để đọc một bài toán chia
Trước khi chia, viết câu kiểm tra: “tiền chi không vượt ngân sách”, “số chỗ đủ cho mọi người”, hoặc “tổng số đồ vật của từng loại chia hết cho số nhóm”. Tám nguyên tắc sau nối phép tính với ý nghĩa bài toán.
Tìm lớn nhất hoặc ít nhất: chứng minh phương án chọn làm được và phương án sát bên không làm được. Tìm mọi phương án: kiểm tra đầy đủ miền được phép. Một đáp án lớn nhất chưa thay thế được danh sách.
BÍ QUYẾT 01
Giữ đúng ý nghĩa của thương
Quy tắc Viết với .
Vì sao Thương đếm đơn vị trọn vẹn; số dư là phần còn lại.
Khi nào dùng nguyên không âm, nguyên dương.
Giới hạn và ngoại lệ Số dư ngoài miền làm cách phân tích không chuẩn.
Ví dụ có giải thích : bảy nhóm đầy, còn mười một món.
BÍ QUYẾT 02
Không vượt thì lấy phần nguyên dưới
Quy tắc Tìm số nguyên lớn nhất sao cho .
Vì sao Thêm một đơn vị vượt lượng có.
Khi nào dùng Giá hoặc lượng tiêu hao mỗi đơn vị không đổi; vật được mua hoặc làm nguyên đơn vị.
Giới hạn và ngoại lệ Trừ phí cố định trước; giá theo mức cần điều kiện mới.
Ví dụ có giải thích đồng, giá đồng: tối đa cuốn.
BÍ QUYẾT 03
Đủ chứa thì xét số dư
Quy tắc Số đơn vị ít nhất là nếu , là nếu .
Vì sao Phần dư vẫn cần chỗ.
Khi nào dùng Sức chứa giống nhau, được chia đối tượng giữa các đơn vị theo đề.
Giới hạn và ngoại lệ Nhóm người bắt buộc ngồi cùng nhau có thể cần thêm đơn vị.
Ví dụ có giải thích Bìa chứa hồ sơ: hồ sơ cần bìa; cần .
BÍ QUYẾT 04
Chia đều dùng hết phải kiểm tra từng loại
Quy tắc Mọi tổng đồ vật phải chia hết cho số nhóm .
Vì sao Mỗi loại phải nguyên và giống nhau giữa các nhóm.
Khi nào dùng Số nhóm nguyên dương; dùng hết và không cắt đồ vật.
Giới hạn và ngoại lệ Cho phép dư và cố định thành phần thì kiểm tra lượng tiêu hao.
Ví dụ có giải thích thẻ đỏ, thẻ xanh: túi.
BÍ QUYẾT 05
Miền hợp lệ đi trước tối ưu
Quy tắc Lọc mọi điều kiện rồi mới chọn lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Vì sao Chia hết chưa bảo đảm thỏa giới hạn.
Khi nào dùng Đề nêu rõ khoảng số nhóm và các giới hạn bổ sung.
Giới hạn và ngoại lệ Có thể không còn phương án sau khi lọc.
Ví dụ có giải thích sách, bút: trong khoảng đến phần, giữ ; mỗi phần ít nhất sách chỉ giữ .
BÍ QUYẾT 06
Nhiều nguồn thì nguồn chặt nhất quyết định
Quy tắc Mỗi lượng sẵn có cho một giới hạn; số nhóm phải thỏa tất cả.
Vì sao Thiếu một loại cũng không làm được nhóm.
Khi nào dùng Thành phần mỗi nhóm cố định, cho phép để dư.
Giới hạn và ngoại lệ Thay thế nguyên liệu làm đổi mô hình.
Ví dụ có giải thích nhãn, thiệp; gói gồm nhãn, thiệp: tối đa gói.
BÍ QUYẾT 07
Ghi đơn vị và giải thích phần dư
Quy tắc Thống nhất đơn vị trước khi chia; ghi phần dư theo lượng ban đầu.
Vì sao Thương và số dư có ý nghĩa khác nhau.
Khi nào dùng Lượng đem chia và lượng mỗi đơn vị dùng cùng đơn vị đo.
Giới hạn và ngoại lệ Chỗ trống của nhóm cuối bằng sức chứa trừ số dư dương.
Ví dụ có giải thích : còn học sinh sau ba xe đầy; xe cuối trống chỗ.
BÍ QUYẾT 08
Tính ngược cần nhận đúng số nhóm đầy
Quy tắc Dùng ; nếu có nhóm đang dùng và nhóm cuối chưa đầy thì .
Vì sao Nhóm cuối đang dùng nhưng chưa đầy.
Khi nào dùng Các nhóm trước đầy, sức chứa biết trước, nhóm cuối có lượng dương nhỏ hơn sức chứa.
Giới hạn và ngoại lệ Không biết các nhóm trước đầy thì không suy ra tổng chính xác.
Ví dụ có giải thích Tám hộp đầy viên, hộp cuối : viên.
04 / 04 · Ngân sách
Giữ tổng chi không vượt số tiền có
Ví dụ 1: mua nhiều nhất và đọc số dư
Bài toán: Có đồng; mỗi cuốn sổ giá đồng. Không phí khác, mua nguyên cuốn. Mua được nhiều nhất bao nhiêu cuốn?
Nếu mua cuốn thì . Chia được . Vậy mua nhiều nhất cuốn và còn đồng. Mua cuốn cần đồng, vượt ngân sách.
Bẫy: không mua được sổ lẻ. Cách khác: thử hai phương án sát nhau: cuốn hết đồng, còn cuốn quá đắt.
Ví dụ 2: trừ khoản phải giữ lại trước
Bài toán: Có đồng, phải giữ lại ít nhất đồng. Một bộ màu giá đồng. Mua nhiều nhất bao nhiêu bộ?
Tiền được dùng là đồng. Vì , mua được bộ. Sau khi chi đồng, thực tế còn đồng, gồm khoản giữ lại và phần dư. bộ hết đồng, chỉ còn đồng nên không hợp lệ.
Bẫy: chia toàn bộ tiền bỏ qua khoản giữ lại. Cách khác: kiểm tra .
Ví dụ 3: đổi đơn vị rồi mới chia
Bài toán: Có nghìn đồng; vé một lượt giá đồng. Mua nguyên vé, giá cố định. Mua được nhiều nhất bao nhiêu vé?
Đổi ngân sách thành đồng. Ta có , nên mua được vé và còn đồng. vé cần đồng. Cách khác là đổi cả hai lượng sang nghìn đồng rồi dùng .
Bẫy: chia trực tiếp số cho số khi đơn vị khác nhau.
PHÒNG THỰC HÀNH 01
Chọn quyết định theo yêu cầu
Chọn một kết luận đáp ứng đủ yêu cầu của mỗi trường hợp.
Ngân sách và số món tối đa
Mọi món có cùng giá nguyên theo đồng Việt Nam. Không có giảm giá, thuế hay phí bổ sung.
Ngân sách (đồng) Từ 0 đến 1000000; số nguyên Giá một món (đồng) Từ 1 đến 100000; số nguyên
Thay đổi dữ liệu rồi chọn “Tính và giải thích” để kiểm tra dự đoán của em.
05 / 05 · Sức chứa
Đủ cho tất cả, rồi mới xét chỗ thừa
Ví dụ 4: thùng cuối không cần đầy
Bài toán: Có học sinh; mỗi xe có tối đa chỗ dành cho học sinh. Phải xếp hết, được phân học sinh tùy ý. Cần ít nhất bao nhiêu xe?
Ba xe chỉ có chỗ, chưa đủ. Bốn xe có chỗ, đủ, nên cần ít nhất xe. Từ , nếu xếp lần lượt thì xe cuối có học sinh và chỗ trống.
Bẫy: thương chưa cho đủ xe chở hết. Cách kiểm tra khác là viết với .
Ví dụ 5: không phải lúc nào cũng thêm một
Bài toán: Mỗi bìa chứa tối đa hồ sơ. Cần ít nhất bao nhiêu bìa cho hồ sơ? Nếu chỉ có hồ sơ thì sao?
Vì , cần bìa; xếp đầy tám bìa thì bìa cuối có hồ sơ và còn vị trí. Với , cần đúng bìa. Không thêm bìa khi phần dư bằng không.
Bẫy: quy tắc “luôn lấy thương rồi cộng một” thừa một bìa khi chia hết. Cách khác: tìm bội đầu tiên của không nhỏ hơn nhu cầu, rồi đếm số lần lấy .
Ví dụ 6: sức chứa sử dụng khác sức chứa ghi trên bàn
Bài toán: Có khách. Mỗi bàn có ghế, nhưng mỗi bàn dùng phải có một người hướng dẫn ngồi riêng một ghế. Người hướng dẫn không tính trong khách; có đủ người hướng dẫn. Cần ít nhất bao nhiêu bàn?
Mỗi bàn chỉ dành ghế cho khách. Vì , cần bàn. Tổng cộng có ghế; ghế dành cho người hướng dẫn, ghế cho khách, còn ghế trống. bàn chỉ dành được ghế cho khách.
Bẫy: chia số khách cho bỏ qua ghế bắt buộc dành riêng. Cách khác: viết , rồi chuyển thành .
PHÒNG THỰC HÀNH 02
Hai lời giải, một điều kiện quyết định
So sánh hai lập luận bằng điều kiện và phương án sát bên.
Đủ chỗ cho mọi hành khách
Mỗi xe có cùng số chỗ; mỗi hành khách dùng một chỗ. Tìm số xe ít nhất đủ chỗ cho tất cả.
Số hành khách Từ 0 đến 20000; số nguyên Số chỗ mỗi xe Từ 1 đến 200; số nguyên
Thay đổi dữ liệu rồi chọn “Tính và giải thích” để kiểm tra dự đoán của em.
06 / 06 · Nhóm hợp lệ
Chia hết, liệt kê và tối ưu là ba việc khác nhau
Ví dụ 7: mọi số phần và số phần lớn nhất
Bài toán: Chia hết thẻ đỏ và thẻ xanh thành các túi giống nhau. Mỗi túi có cả hai màu. Tìm mọi số túi có thể làm, rồi tìm số túi lớn nhất.
Gọi là số túi nguyên dương. Cả và phải là số nguyên. Các ước dương của là . Kiểm tra từng số với , giữ lại . Số túi lớn nhất là , mỗi túi có thẻ đỏ và thẻ xanh.
Bẫy: chỉ trả lời khi đề hỏi “mọi số túi”. Cách khác là lập bảng số túi và lượng từng màu, loại dòng có thương không nguyên. Nếu bổ sung điều kiện từ đến túi, chỉ còn : giới hạn mới lọc danh sách cũ.
Ví dụ 8: giới hạn có thể để lại nhiều phương án
Bài toán: Chia hết quyển sách và bút chì thành các phần giống nhau, mỗi phần có cả sách và bút. Số phần từ đến , kể cả hai đầu. Tìm tất cả phương án.
Chỉ kiểm tra . Trong số đó, và là ước chung của cả hai tổng. Với phần, mỗi phần có sách, bút. Với phần, mỗi phần có sách, bút. không chia hết cho các số còn lại, nên bị loại ngay. Bẫy: chỉ trả lời phần sẽ thiếu phương án.
Cách khác: tìm các ước chung của và , rồi giữ các số trong khoảng. Nếu thêm “mỗi phần ít nhất sách”, chỉ phương án phần còn hợp lệ.
Ví dụ 9: cho phép dư thì điều kiện đổi
Bài toán: Có nhãn dán và tấm thiệp. Mỗi gói phải có đúng nhãn và thiệp. Được phép để dư. Làm được nhiều nhất bao nhiêu gói?
Điều kiện là và , không phải yêu cầu chia hết hai tổng. Nhãn cho phép tối đa gói; thiệp cũng cho phép tối đa gói. Làm gói dùng nhãn, thiệp, còn nhãn và thiệp. gói cần nhãn và thiệp nên không làm được.
Bẫy: tìm ước chung của hai tổng giải một bài khác. Cách khác: tăng số gói đến trước khi thiếu nguyên liệu. Nếu hỏi mọi số gói dương làm được, đáp án là các số nguyên từ đến .
PHÒNG THỰC HÀNH 03
Đánh dấu các số nhóm còn sống sau khi lọc
Chọn mọi số nhóm hợp lệ, không chỉ số lớn nhất. Đồ vật nguyên vẹn.
Tất cả cách chia gói giống nhau
Chia hết hai loại đồ vật vào các gói giống nhau, không dư. Cả hai số lượng phải dương. Giới hạn số gói cũng là một điều kiện.
Số đồ vật loại A Từ 1 đến 200; số nguyên Số đồ vật loại B Từ 1 đến 200; số nguyên Ít nhất bao nhiêu gói Từ 1 đến 200; số nguyên Nhiều nhất bao nhiêu gói Từ 1 đến 200; số nguyên
Thay đổi dữ liệu rồi chọn “Tính và giải thích” để kiểm tra dự đoán của em.
07 / 07 · Gỡ nhầm lẫn
Mỗi lời giải phải trả lời đúng câu hỏi
Diễn giải đáp án thành hành động: tiền còn đủ không, ai chưa có chỗ, mỗi phần đúng thành phần chưa? Một phép chia đúng vẫn có thể trả lời sai câu hỏi.
NGỘ NHẬN CẦN SỬA
Làm tròn đến số gần nhất cho mọi bài.
Không vượt thì lấy thương; đủ chứa thì xét số dư; chia đều dùng hết thì cần chia hết.
NGỘ NHẬN CẦN SỬA
Lấy thương rồi luôn thêm một.
Chỉ thêm một để đủ chứa khi số dư dương. Chia hết thì thương đã đủ.
NGỘ NHẬN CẦN SỬA