Toán · 02/03 · Từ hệ phương trình đến tối ưu · Mô hình hóa và kiểm chứng
Tư duy có căn cứ · Giải hệ, đặt ẩn phụ, lập phương trình năng suất và tối ưu doanh thu: đọc đúng dữ kiện, tìm nghiệm hợp lệ, kiểm tra đến kết luận.
LUKATO · MATHEMATICS STUDIO
TOÁN · TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ · BÀI 02
Từ hệ phương trình đến tối ưu · Mô hình hóa và kiểm chứng
Giải hệ, đặt ẩn phụ, lập phương trình năng suất và tối ưu doanh thu: đọc đúng dữ kiện, tìm nghiệm hợp lệ, kiểm tra đến kết luận.
- Đọc dữ kiện
- Dựng mô hình
- Kiểm tra kết luận
01
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Bốn bài toán, một thói quen: kiểm chứng
Không chỉ tìm ra một con số. Hãy chỉ ra vì sao phương trình đúng, nghiệm hợp lệ và câu trả lời khớp với tình huống.
Bài học nối hai hệ phương trình với một bài toán năng suất và một bài toán doanh thu. Có bài chỉ cần cộng đại số, có bài phải thay ẩn, có bài cần lập phương trình từ lời văn; ở bài cuối, ta phải so sánh nhiều phương án để tìm phương án tốt nhất. Điểm chung của cả bốn bài là quá trình đi từ dữ kiện đến kết luận phải có thể kiểm tra được. Một phép tính trôi chảy chưa đủ: chọn sai đại lượng, bỏ điều kiện hoặc hiểu nhầm chữ “vượt mức” vẫn có thể dẫn đến một đáp số không phù hợp.
Chặng · Năng lực trọng tâm · Dấu hiệu đã hiểu
Hệ tuyến tính · Khử một ẩn, bảo toàn tương đương · Giải thích được hệ số nhân và thế nghiệm vào cả hai phương trình.
Hệ chứa phân thức · Nhìn thấy các cụm lặp lại, đặt ẩn phụ · Nêu điều kiện xác định, giải hệ phụ rồi quay lại ẩn ban đầu.
Năng suất · Phân biệt tổng sản lượng, năng suất và thời gian · Bảng dự định–thực tế chứa đủ hai thay đổi: sản lượng tăng, thời gian giảm.
Doanh thu · Dựng hàm mục tiêu và xác định miền xét · So sánh đỉnh parabol với các phương án nguyên thực sự được phép.
Cách học có hiệu quả
Đọc đề gốc trước khi mở lời giải. Viết một dòng về đại lượng cần tìm và điều kiện của nó; sau đó tự thực hiện ít nhất một bước. Đến cuối mỗi bài, dành thêm một phút để thế nghiệm hoặc dựng lại tình huống. Chính phút kiểm tra này thường giúp phát hiện những lỗi mà một trang biến đổi chưa phát hiện.
Thời lượng gợi ý: khoảng phút nếu làm đủ phần tự kiểm và luyện chuyển giao. Chặng hệ phương trình ở mức cơ bản–vận dụng; chặng năng suất ở mức vận dụng; chặng tối ưu yêu cầu kết hợp biến đổi đại số với tư duy về miền giá trị. Bạn có thể chia thành hai buổi, nhưng nên hoàn tất lời giải và kiểm tra của mỗi bài trong cùng một buổi.
02
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Cộng đại số: khử ẩn có chủ đích
Một phép nhân đúng không làm thay đổi nghiệm; một phép cộng đúng làm biến mất ẩn đã chọn.
Đề bài III.1a
Hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Giải hệ phương trình sau:
Lời giải từng bước
Bước 1 — Chọn ẩn để khử. Hệ số của là và . Bội chung nhỏ nhất của độ lớn hai hệ số là . Nhân phương trình thứ nhất với , phương trình thứ hai với để tạo hai hệ số đối nhau. Nhân toàn bộ hai vế, không chỉ nhân một hạng tử.
Bước 2 — Cộng hai phương trình. Hai hạng tử chứa triệt tiêu. Vế trái còn , vế phải còn .
Bước 3 — Thế vào phương trình ban đầu dễ tính hơn:
Bước 4 — Kiểm tra độc lập trên cả hai phương trình:
Vậy hệ có nghiệm duy nhất . Khi khử ẩn, ta thu được một phương trình bậc nhất có hệ số khác không; nó xác định duy nhất , rồi phương trình còn lại xác định duy nhất . Không cần thêm điều kiện xác định vì hệ ban đầu chỉ chứa các biểu thức bậc nhất.
Bẫy cần tránh
Từ phải suy ra , không phải . Dấu âm ở cả hai vế cùng đổi khi nhân với . Sau khi khử, vẫn phải tìm lại ẩn còn thiếu.
Vì sao phép khử bảo toàn nghiệm?
Nếu một cặp số thỏa mãn phương trình, nhân hai vế với cùng một số khác không vẫn cho một đẳng thức đúng. Từ hai đẳng thức đúng, cộng vế với vế tạo thêm một đẳng thức đúng. Tuy nhiên, khi trình bày một hệ tương đương, ta không được giữ duy nhất phương trình sau khi cộng rồi bỏ mất toàn bộ thông tin còn lại. Ta giữ một phương trình gốc cùng phương trình đã khử; từ chúng có thể khôi phục phương trình còn lại. Đó là lý do một bước giải hệ thường viết lại thành hai phương trình, trong đó có một phương trình chỉ còn một ẩn.
Cách thứ hai: phép thế và cái giá của phân số
Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn theo . Phép thế dùng được cho mọi hệ kiểu này, nhưng ở đây tạo ra phân số sớm hơn phép cộng đại số.
Cách thế và cách cộng đại số cho cùng nghiệm. Không có một phương pháp duy nhất luôn nhanh nhất: nếu một phương trình có hệ số của một ẩn là hoặc , phép thế thường gọn; nếu các hệ số dễ tạo thành hai số đối nhau, phép cộng đại số thường thuận lợi. Trước khi tính, nhìn hệ số trong vài giây sẽ tiết kiệm nhiều dòng biến đổi.
Hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình gốc. Giao điểm có tọa độ . Vì độ dốc khá gần nhau, đồ thị hỗ trợ hiểu ý nghĩa nghiệm; phép tính đại số mới cho giá trị chính xác.
Đồ thị giải thích điều gì?
Một nghiệm của hệ là một điểm đồng thời nằm trên cả hai đường thẳng. Hai đường thẳng cắt nhau cho một nghiệm; song song phân biệt cho vô nghiệm; trùng nhau cho vô số nghiệm. Trong bài này, hai độ dốc khác nhau nên có đúng một giao điểm. Không dùng sự gần nhau của hai nét vẽ để kết luận chúng trùng nhau.
Sai lầm · Dấu hiệu phát hiện · Cách sửa
Nhân thiếu một vế · Hệ số đã đổi nhưng hằng số vẫn giữ nguyên. · Đặt ngoặc quanh toàn bộ phương trình trước khi nhân.
Cộng sai dấu · Hai hệ số đối nhau không triệt tiêu. · Viết riêng từng cặp hạng tử cùng loại.
Bỏ một ẩn · Chỉ kết luận tung độ sau khi khử. · Thế trở lại để tìm hoành độ.
Thử nghiệm trên một phương trình · Một cặp số đúng với dòng đầu nhưng sai dòng sau. · Thử nghiệm trên cả hai phương trình gốc.
03
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Đặt ẩn phụ: giải cấu trúc trước, giải tên ẩn sau
Nhận ra cụm lặp lại giúp biến một hệ chứa phân thức thành một hệ tuyến tính quen thuộc.
Đề bài III.1b
Hệ chứa hai cụm phân thức lặp lại
Giải hệ phương trình sau:
Lời giải từng bước
Bước 1 — Điều kiện xác định:
Bước 2 — Đặt và . Khi đó cả và đều khác không; các nghịch đảo của số thực khác không không thể bằng không. Hệ phụ là:
Bước 3 — Nhân phương trình thứ nhất với , rồi lấy phương trình thu được trừ phương trình thứ hai:
Bước 4 — Quay lại biến ban đầu:
Bước 5 — Kiểm tra miền xác định và hai phương trình gốc:
Vậy hệ có nghiệm duy nhất . Trong miền đã nêu, phép đặt ẩn là khả nghịch: từ và ta khôi phục được duy nhất và . Do đó việc giải hệ phụ không làm mất nghiệm hợp lệ.
Bẫy cần tránh
Nghiệm của hệ phụ không phải nghiệm của hệ gốc. Không kết luận sau khi tìm . Cũng không được bỏ điều kiện mẫu khác không chỉ vì mẫu đã biến mất trong hệ phụ.
Một cách đặt khác cũng đúng
Có thể đặt và . Cách này làm phương trình thứ nhất có hệ số rất đơn giản. Đổi lại, khi trở về biến gốc, phải nhớ tử số của cụm thứ nhất là , không phải .
Hai cách đặt chỉ khác tên và tỉ lệ của ẩn phụ. Cách thứ nhất giúp nhìn rõ hệ số; cách thứ hai có thể ngắn hơn một bước. Đừng trộn hai cách trong cùng lời giải: nếu định nghĩa một ẩn bằng cả phân thức có tử số , thì khi thay vào phương trình thứ hai hệ số là , không phải . Một dòng ghi định nghĩa rõ ràng ở đầu bài sẽ ngăn được lỗi này.
Giải xong hệ phụ mới hoàn thành một phần công việc. Mũi tên trở về ẩn gốc là bắt buộc.
Vì sao không nên nhân chéo ngay?
Nhân mỗi phương trình với tích hai mẫu hợp lệ có thể đưa về một hệ chứa tích của hai ẩn. Cách đó không sai nếu kiểm soát điều kiện, nhưng làm cấu trúc bài toán khó nhìn hơn. Đặt ẩn phụ tận dụng đúng hai cụm lặp lại và giữ hệ ở dạng tuyến tính. Chọn phương pháp không chỉ theo thói quen mà theo cấu trúc: cùng một biểu thức xuất hiện nhiều lần là dấu hiệu nên thử gom nó thành một ẩn mới.
Khi hệ phụ cho một ẩn bằng không
Nếu một hệ phụ cho với , không tồn tại số thực hữu hạn thỏa mãn. Đừng viết rồi coi đó là một đáp số. Ta phải kết luận nghiệm hệ phụ ấy không có ảnh ngược trong miền của hệ gốc. Trong bài đang xét, hai ẩn phụ đều bằng nên không gặp trở ngại này.
04
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Năng suất: hai điều thay đổi cùng lúc
Sản lượng thực tế lớn hơn, thời gian thực tế ngắn hơn. Bảng dữ kiện phải phản ánh đồng thời cả hai.
Đề bài III.2
Đánh bắt cá: tăng năng suất, rút ngắn thời gian, vượt sản lượng
Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Để đánh bắt đủ lượng cá theo kế hoạch, một hợp tác xã dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được cá. Nhưng do đánh bắt được vượt mức nên chẳng những hợp tác xã đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn mà còn vượt mức dự định là cá. Tính lượng cá cần đánh bắt theo kế hoạch của hợp tác xã đó.
Lời giải từng bước
Bước 1 — Gọi là lượng cá cần đánh bắt theo kế hoạch, tính bằng tấn, với . Đại lượng cần tìm là sản lượng theo kế hoạch, không phải sản lượng thực tế. Năng suất thực tế là tấn mỗi tuần. Tổng sản lượng thực tế là tấn.
Phương án · Tổng sản lượng (tấn) · Năng suất (tấn mỗi tuần) · Thời gian (tuần)
Dự định · · ·
Thực tế · · ·
Bước 2 — Thực tế sớm hơn dự định một tuần nghĩa là thời gian dự định trừ thời gian thực tế bằng một:
Bước 3 — Nhân hai vế với , là bội chung của và :
Bước 4 — Dựng lại toàn bộ tình huống để kiểm tra:
Sản lượng thực tế là , nhiều hơn kế hoạch . Năng suất thực tế hơn dự định . Cả ba dữ kiện đều đúng. Vậy lượng cá cần đánh bắt theo kế hoạch là .
Bẫy cần tránh
Từ suy ra , không phải . Một kết quả bị tính sai vẫn có thể trông “hợp lí” vì dương; chỉ việc thế lại mới xác nhận được. Nếu dùng , chênh lệch thời gian chỉ là tuần, khác một tuần.
Đổi cách đặt ẩn: chọn thời gian có thể ngắn hơn
Gọi là số tuần dự định, với . Sản lượng theo kế hoạch là tấn. Thực tế làm trong tuần với năng suất tấn mỗi tuần, nên thu được tấn. Vì thực tế nhiều hơn kế hoạch tấn:
Vậy sản lượng theo kế hoạch là . Cách này chỉ dùng một phương trình không chứa phân thức và rất gọn. Cách đặt sản lượng ở trên lại bám sát đại lượng đề hỏi. Cả hai đều đúng nếu định nghĩa ẩn rõ và kết luận đúng đại lượng; chọn ẩn thông minh là một phần của năng lực mô hình hóa.
Sáu ô dự định cho tấn; năm ô thực tế cho tấn. Nét đứt đánh dấu tuần được rút ngắn.
Đơn vị chính là bộ lọc sai mô hình
Quan hệ nền tảng là tổng sản lượng bằng năng suất nhân thời gian. Vì vậy, lấy tấn chia cho tấn mỗi tuần được tuần. Nếu trong bảng bạn viết thời gian bằng tổng sản lượng nhân năng suất, đơn vị tạo thành không phải tuần; mô hình đã sai ngay trước khi giải phương trình. Cũng cần tách “vượt mỗi tuần” khỏi “vượt tổng cộng”: hai con số nói về hai đại lượng khác nhau, không thể cộng thẳng vào cùng một ô.
Cụm trong đề · Ý nghĩa chính xác · Biểu thức
Trung bình mỗi tuần dự định · Năng suất kế hoạch ·
Vượt mức mỗi tuần · Năng suất thực tế tăng ·
Vượt mức dự định · Tổng sản lượng thực tế tăng ·
Sớm hơn một tuần · Thời gian thực tế giảm ·
Tự hỏi trước khi lập phương trình
“Mình đang so sánh thời gian hay sản lượng?” Nếu so sánh thời gian, cả hai vế đều phải đo bằng tuần. Nếu so sánh sản lượng, cả hai vế đều phải đo bằng tấn. Một phương trình đúng không chỉ cân bằng hai biểu thức, mà còn cân bằng ý nghĩa của chúng.
Điều kiện đủ mạnh đến đâu?
Bài toán sử dụng năng suất trung bình; không cần giả định ngày nào cũng đánh bắt đúng cùng một lượng. Ta xem tổng thời gian trong mô hình là đại lượng dương. Khi đặt ẩn là thời gian kế hoạch, điều kiện bảo đảm thời gian thực tế vẫn dương. Không cần tùy tiện ép mọi bài toán năng suất phải có số tuần nguyên; ở bài này nghiệm tình cờ là số nguyên và phù hợp cả cách hiểu theo tuần trọn vẹn. Điều kiện phải đến từ tình huống, không đến từ mong muốn làm đẹp đáp số.
Nhìn ra một khung chung để không học thuộc đáp số
Giả sử năng suất dự định là , phần tăng năng suất là , thời gian rút ngắn là và tổng sản lượng vượt kế hoạch là . Với , gọi là thời gian dự định. Ta có cùng cấu trúc như bài đánh bắt cá:
Đây là cách đọc cấu trúc, không phải công thức bắt buộc phải nhớ. Thời gian thực tế bằng và dương dưới các điều kiện trên. Trong bài gốc, cho . Nếu quên phần sản lượng vượt kế hoạch, tử số thiếu và kết quả thay đổi. Nếu chỉ cộng phần tăng năng suất vào tổng sản lượng, bạn đã trộn hai đơn vị khác nhau.
Thử giải thích bằng lời: phần tăng năng suất phải bù được sản lượng mất đi do rút ngắn thời gian, rồi còn tạo thêm phần sản lượng vượt kế hoạch. Chỉ khi đã hiểu sự bù trừ này, biểu thức tổng quát mới có ý nghĩa. Khi đề đổi thành hoàn thành muộn hơn hoặc làm ít hơn kế hoạch, hãy dựng lại bảng và quan hệ thời gian; không đổi dấu theo trí nhớ mà không đọc tình huống.
05
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Tối ưu doanh thu: giá tăng không đồng nghĩa thu tăng
Doanh thu là tích của giá vé và số vé bán. Một yếu tố tăng, yếu tố còn lại giảm.
Đề bài V
Giá vé và ghế trống: tìm doanh thu lớn nhất
Một rạp chiếu phim có ghế, giá vé hiện tại là cho mỗi vé. Với giá vé này, tất cả các ghế đều được bán hết cho mỗi suất chiếu. Ban quản lý rạp phim xem xét việc tăng giá vé để tối ưu hóa doanh thu. Sau khi thử nghiệm, rạp phim nhận thấy cứ mỗi lần tăng giá thêm , số ghế bị bỏ trống sẽ tăng thêm ghế. Sau lần tăng giá, doanh thu của rạp phim là lớn nhất. Hỏi mức giá vé mới là bao nhiêu thì doanh thu của rạp chiếu phim là lớn nhất?