Đếm chữ số: nhìn đúng vị trí, đếm đúng đối tượng
Phân biệt số với chữ số, dựng cách đếm theo vị trí và chia khoảng tại các mốc đổi độ dài. Dùng cùng một phương pháp để lập số, kiểm tra tổng chữ số và tìm số…
LUKATO Toán THCS · Hiểu cấu trúc, giải thích điều kiện
Bí quyết 01 · Từ cấu trúc đến lời giải
Đếm chữ số: nhìn đúng vị trí, đếm đúng đối tượng
Từ cách viết một số đến đánh số trang và tìm số nhỏ nhất có điều kiện
8 bí quyết có điều kiện 3 phòng thực hành 8 câu tự kiểm tra
MỤC TIÊU 01
Xác định đang đếm số, vị trí chữ số hay chữ số khác nhau.
MỤC TIÊU 02
Lập các lựa chọn theo vị trí, có xét chữ số đầu và điều kiện lặp.
MỤC TIÊU 03
Đếm chữ số trên một khoảng bằng cách chia tại các mốc đổi độ dài.
MỤC TIÊU 04
Tìm số nhỏ nhất bằng thứ tự vị trí và kiểm tra điều kiện chia hết.
Lộ trình tư duy
01 / Nền tảng
Một số có thể dùng nhiều lần cùng một chữ số
Trước khi tính, hãy hoàn thành câu: “Mỗi đối tượng tôi đếm là ...”. Một phép tính đúng vẫn có thể trả lời nhầm câu hỏi nếu ta nhầm số với chữ số.
Giá trị và cách viết
Trong hệ thập phân, chữ số là một trong mười kí hiệu từ đến . Một số được viết bằng các chữ số ở những vị trí khác nhau. Chẳng hạn . Hai chữ số có cùng kí hiệu nhưng giá trị theo vị trí khác nhau.
Ví dụ mở đầu. Số là một số, có bốn vị trí chữ số và dùng ba chữ số khác nhau: . Để kiểm tra, gạch từng vị trí khi đếm số chữ số; khoanh mỗi loại đúng một lần khi đếm chữ số khác nhau.
Cách viết có thể là mã dài sáu kí tự theo quy định. Nó vẫn biểu diễn giá trị , nhưng không phải cách viết thông thường của số có sáu chữ số. Số nhiều chữ số không bắt đầu bằng ; mã cần quy định riêng.
Đếm nhãn khác với đếm chữ số
Các phòng mang số từ đến , gồm cả hai đầu, có nhãn. Mỗi nhãn dài hai chữ số, nên cần chữ số. Đáp số đếm phòng, còn đếm lượng chữ số. Cách kiểm tra khác: danh sách có mười chín dòng, mỗi dòng hai kí tự số.
Mức độ: nền tảng đến vận dụng; khoảng hai phút mỗi ví dụ đầu, bốn đến sáu phút mỗi bài tìm số nhỏ nhất.
Cây lựa chọn khi không lặp
01 Hàng trăm: chọn một trong ba chữ số khác không.
02 Hàng chục: chọn một trong ba chữ số chưa dùng.
03 Hàng đơn vị: chọn một trong hai chữ số còn lại.
04 Mỗi đường đi tạo đúng một số có ba chữ số.
Áp dụng với các chữ số 0, 2, 4, 7; chữ số không chỉ bị cấm ở vị trí đầu.
02 / Cơ chế
Chia thành các bước lựa chọn và các nhóm không chồng nhau
Khi lập số, ta lựa chọn lần lượt các chữ số. Khi đếm chữ số trên nhiều nhãn, ta chia nhãn thành những nhóm có cùng độ dài. Cả hai cách đều phải bảo đảm mỗi đối tượng được tính đúng một lần.
Khi nào được nhân số lựa chọn?
Có cách chọn chữ số đầu. Nếu với mỗi cách đó đều có đúng cách chọn chữ số sau, ta có nhóm rời nhau, mỗi nhóm kết quả, nên tổng là . Nếu mỗi cặp đều có cách hoàn tất, tổng là . Số nhánh khác nhau thì phải chia trường hợp, không nhân máy móc.
Với các chữ số , lập số có ba chữ số khác nhau: hàng đầu có ba cách, tiếp theo còn ba rồi hai chữ số chưa dùng. Mỗi đường lựa chọn tạo duy nhất một số; đọc lại số cho đúng đường lựa chọn đó. Vì vậy không đếm trùng hoặc bỏ sót.
Hai đầu khoảng và mốc đổi độ dài
Các số nguyên từ đến , với , gồm số. Hiệu đếm số bước chuyển; cộng một để tính đối tượng đầu tiên. Thử : chỉ có một số.
Số nguyên dương có chữ số khi nằm từ đến . Số nhỏ nhất là một chữ số rồi các chữ số ; số lớn nhất có mọi vị trí là . Mỗi nhãn thuộc đúng một nhóm độ dài, nên đếm từng nhóm rồi cộng không gây chồng nhau. Nhãn số , nếu có, cần xét riêng: nó vẫn dùng một chữ số.
Chia nhãn theo độ dài
01 Tìm điểm đầu và điểm cuối của khoảng nhãn.
02 Tách tại các mốc mà độ dài cách viết thay đổi.
03 Trong mỗi nhóm: số nhãn nhân độ dài của nhãn.
04 Cộng các nhóm rời nhau và kiểm tra hai đầu.
Đếm lượng chữ số cần viết; các nhãn dùng cách viết thông thường, không đệm chữ số không.
Đếm chữ số bằng các khối theo độ dài
Các khối trọn vẹn có 9, 90 và 900 số. Số trang trong một khối phải nhân với số chữ số trên mỗi nhãn. Khối cuối thường chỉ được lấy một phần.
03 / Bản đồ phương pháp
Tám nguyên tắc để chọn cách đếm
Tám nguyên tắc dưới đây là các câu hỏi kiểm tra. Với bài lập số, ưu tiên chữ số đầu, quyền lặp và vị trí bị ràng buộc. Với bài đánh số trang, ưu tiên hai đầu khoảng và mốc đổi độ dài. Mỗi lời giải cần giải thích vì sao không bỏ sót và không đếm trùng.
BÍ QUYẾT 01
Gọi đúng đối tượng đếm
Quy tắc Phân biệt số, vị trí chữ số và chữ số khác nhau.
Vì sao Một kí hiệu có thể xuất hiện nhiều lần.
Khi nào dùng Xác định rõ đang đếm số hay kí tự.
Giới hạn và ngoại lệ Mã có thể giữ chữ số không ở đầu.
Ví dụ có giải thích có bốn vị trí nhưng ba chữ số khác nhau.
BÍ QUYẾT 02
Xét riêng chữ số đầu
Quy tắc Số nhiều chữ số không bắt đầu bằng .
Vì sao Chữ số không ở đầu không tạo hàng cao nhất.
Khi nào dùng Áp dụng cho cách viết số thông thường.
Giới hạn và ngoại lệ Mã có độ dài cố định cần quy định riêng.
Ví dụ có giải thích Từ , hàng trăm có ba cách.
BÍ QUYẾT 03
Tách quyền lặp và thứ tự
Quy tắc Kiểm tra quyền dùng lại; giữ thứ tự khi lập số.
Vì sao Dùng lại đổi số cách; đổi thứ tự thường đổi số.
Khi nào dùng Các vị trí có giá trị hàng khác nhau.
Giới hạn và ngoại lệ Chọn nhóm chữ số chưa đồng nghĩa với sắp số.
Ví dụ có giải thích khác , dù dùng cùng chữ số.
BÍ QUYẾT 04
Nhân khi các nhánh đều nhau
Quy tắc Mỗi lựa chọn trước phải có cùng số cách hoàn tất.
Vì sao Các nhóm rời nhau và cùng kích thước.
Khi nào dùng Mỗi đường lựa chọn tạo đúng một kết quả.
Giới hạn và ngoại lệ Nhánh không đều thì chia trường hợp rồi cộng.
Ví dụ có giải thích Không lặp từ : .
BÍ QUYẾT 05
Tính đủ hai đầu
Quy tắc Từ đến có số.
Vì sao Hiệu hai đầu chỉ đếm bước chuyển.
Khi nào dùng nguyên, , tính cả hai đầu.
Giới hạn và ngoại lệ Nếu đề bỏ đầu nào, xét lại số lượng.
Ví dụ có giải thích Từ đến có nhãn.
BÍ QUYẾT 06
Chia nhóm theo độ dài
Quy tắc Trong mỗi nhóm: số nhãn nhân độ dài nhãn.
Vì sao Mỗi nhãn đóng góp cùng lượng chữ số.
Khi nào dùng Nhóm không vượt qua mốc đổi độ dài.
Giới hạn và ngoại lệ Mã có đệm dùng độ dài quy định của mã.
Ví dụ có giải thích Từ đến : .
BÍ QUYẾT 07
Suy ngược cần chia hết
Quy tắc Trừ nhóm hoàn chỉnh, chia phần còn lại cho độ dài.
Vì sao Mỗi nhãn đóng góp lượng chữ số nguyên, cố định.
Khi nào dùng Đã xác định đúng nhóm chứa nhãn cuối.
Giới hạn và ngoại lệ Tổng chính xác có thể vô nghiệm; không làm tròn.
Ví dụ có giải thích Từ trang , tổng cho trang; không phù hợp.
BÍ QUYẾT 08
Nhỏ nhất phải hoàn tất được
Quy tắc Chọn chữ số bên trái nhỏ nhất còn cho phép hoàn tất.
Vì sao Vị trí khác nhau đầu tiên quyết định lớn bé.
Khi nào dùng Kiểm tra chữ số đầu, tận cùng, lặp và chia hết. Các số được so sánh phải có cùng số chữ số.
Giới hạn và ngoại lệ Sắp tăng dần máy móc có thể phá điều kiện.
Ví dụ có giải thích Với , so sánh và .
04 / Lập số
Lặp chữ số làm thay đổi cả cây lựa chọn
Ví dụ 1: Được lặp chữ số
Chỉ dùng , lập bao nhiêu số có ba chữ số nếu được lặp? Hàng trăm có ba cách vì không được là ; mỗi vị trí sau có bốn cách. Có số. Bẫy là tính bốn cách ở đầu. Cách khác: đếm chuỗi rồi bỏ chuỗi bắt đầu bằng , còn .
Ví dụ 2: Không được lặp
Giữ nguyên tập chữ số, nhưng yêu cầu ba chữ số đôi một khác nhau. Sau ba cách chọn hàng trăm, còn ba cách cho hàng chục và hai cho hàng đơn vị: số. Số thuộc bài trước nhưng bị loại ở bài này; hợp lệ ở cả hai. Không được cấm ở mọi vị trí. Cách khác: từ chuỗi không lặp, bỏ chuỗi có ở đầu.
Ví dụ 3: Đúng một chữ số không
Chỉ dùng , lập số có ba chữ số chứa đúng một chữ số ; các chữ số khác được lặp. Chữ số ở hàng chục hoặc hàng đơn vị, tạo hai nhóm rời nhau. Mỗi nhóm có ba cách chọn hàng trăm, ba cách chọn vị trí còn lại: tổng số.
Nếu thêm điều kiện không lặp, tổng đổi thành . Bẫy là bỏ quên điều kiện mới. Kiểm tra bằng nhóm hàng trăm bằng : bài cho lặp có sáu số, bài không lặp có bốn số.
Ví dụ 4: Chia hết cho năm
Lập số có ba chữ số khác nhau từ , chia hết cho . Tận cùng phải là hoặc ; tập không có , nên cuối buộc là . Hàng trăm có ba cách, hàng chục còn hai: số. Liệt kê để kiểm tra: . Chọn vị trí bị ràng buộc trước giúp tránh thử nhiều số. Không được lấy chia đều cho năm: phần dư không nhất thiết phân bố đều.
PHÒNG THỰC HÀNH 01
Chọn cấu trúc đếm
Chọn cấu trúc đếm đáp ứng mọi điều kiện.
Bộ đếm chữ số trang
Đánh số các trang liên tiếp từ 1. Thay đổi trang cuối để thấy các nhóm có cùng số chữ số.
Trang cuối Từ 1 đến 1000000; số nguyên
Thay đổi dữ liệu rồi chọn “Tính và giải thích” để kiểm tra dự đoán của em.
05 / Đánh số nhãn
Tách khoảng tại nơi số chữ số thay đổi
Ví dụ 5: Đánh số trang từ một
Sách có trang, đánh số từ đến , mỗi trang một nhãn thông thường. Nhóm một chữ số có chín trang; nhóm hai chữ số có trang; nhóm ba chữ số có trang. Tổng chữ số, không phải trang.
Cách khác: tạm tính mọi nhãn dài ba chữ số rồi sửa phần dư: . Phép tính đơn lẻ sẽ tính thừa ở những trang ngắn hơn.
Ví dụ 6: Chỉ viết một đoạn nhãn
Viết nhãn từ đến , gồm cả hai đầu. Từ đến có nhãn hai chữ số; từ đến có nhãn ba chữ số. Cần chữ số.
Cách khác: gọi là lượng chữ số để viết từ đến số nguyên dương , quy ước . Với , đoạn từ đến cần . Ở đây . Trừ sẽ bỏ nhãn đầu.
Ví dụ 7: Suy ngược số trang
Sách đánh số từ , dùng đúng chữ số. Đến trang dùng ; đến trang dùng . Vì , trang cuối có ba chữ số. Còn chữ số, đủ trang từ . Trang cuối là .
Thử ngược: . Cộng thay vì sẽ thừa một trang. Nếu tổng là , phần còn lại không chia hết cho : không có số trang phù hợp. Không làm tròn, vì mỗi nhãn phải là một số hoàn chỉnh.
PHÒNG THỰC HÀNH 02
Hai lời giải, một điều kiện bị quên
So sánh hai cách, tìm điều kiện bị bỏ quên.
Xưởng tạo số theo bộ chữ số
Chọn chữ số được phép, độ dài và quy tắc lặp. Chữ số đầu tiên luôn khác 0.
Số chữ số của mỗi số Từ 1 đến 6; số nguyên Chữ số được phép
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cho phép một chữ số xuất hiện nhiều lần
Thay đổi dữ liệu rồi chọn “Tính và giải thích” để kiểm tra dự đoán của em.
06 / Số nhỏ nhất
Ưu tiên vị trí bên trái, nhưng phải giữ khả năng hoàn tất
Với các số cùng độ dài, so sánh từ trái sang phải: vị trí khác nhau đầu tiên quyết định thứ tự. Muốn tìm số nhỏ nhất, chọn chữ số bên trái nhỏ nhất mà vẫn có cách hoàn tất hợp lệ .
Ví dụ 8: Nhỏ nhất và chia hết cho ba
Tìm số nhỏ nhất có ba chữ số khác nhau, chỉ dùng , chia hết cho . Hàng trăm nhỏ nhất là , rồi thử hàng chục nhỏ nhất là . Chữ số cuối còn hoặc ; tổng lần lượt là hoặc , đều chia hết cho . Chọn , được .
Mọi số hợp lệ có hàng trăm ít nhất là ; trong nhóm đó, hàng chục ít nhất là ; trong nhóm bắt đầu bằng , chữ số cuối hợp lệ nhỏ nhất là . Đó là chứng minh cực tiểu. Chỉ kiểm tra chia hết cho chưa đủ.
Cách khác: các bộ ba có tổng chia hết cho là và . Sắp thành số nhỏ nhất không bắt đầu bằng , được và , rồi so sánh.
Ví dụ 9: Vị trí cuối bị ràng buộc
Dùng mỗi chữ số đúng một lần, tìm số nhỏ nhất chia hết cho . Cuối là : sắp phần còn lại tăng dần được . Cuối là : chọn ở đầu, rồi sắp phần còn lại tăng dần được . So sánh, đáp số là .
Trong từng trường hợp, đổi hai chữ số đứng ngược thứ tự sẽ giảm số, nên phần tự do cần tăng dần, nhưng không được lên đầu. Bẫy là sắp toàn bộ rồi bỏ chữ số đầu: như vậy không còn dùng đủ chữ số. Có thể kiểm tra khác bằng cách thử lần lượt các chữ số đầu, giữ cả hai khả năng tận cùng.
Ví dụ 10: Kiểm tra tồn tại trước
Dùng mỗi chữ số một lần để lập số chia hết cho . Tổng luôn là , không chia hết cho , nên không tồn tại số thỏa mãn. Đổi vị trí không sửa được tổng.
Dấu hiệu này có căn cứ: chia cho dư ; mọi lũy thừa của cũng dư . Vì vậy số và tổng chữ số có cùng phần dư khi chia cho . Có thể kiểm tra bằng cách liệt kê mọi cách sắp, nhưng xét tổng loại cả nhóm nhanh hơn.
PHÒNG THỰC HÀNH 03
Sắp lại một lời giải có căn cứ
Sắp bước theo thứ tự để kết luận có căn cứ.
Đếm chữ số trong một đoạn
Mỗi số trong đoạn đóng góp toàn bộ chữ số của nó. Đoạn phải bắt đầu từ 1 hoặc lớn hơn.
Đầu đoạn Từ 1 đến 1000000; số nguyên Cuối đoạn Từ 1 đến 1000000; số nguyên
Thay đổi dữ liệu rồi chọn “Tính và giải thích” để kiểm tra dự đoán của em.
07 / Sửa ngộ nhận
Một đáp số hợp lí chưa đủ nếu mô hình đếm sai
Đối chiếu lời giải với các bẫy sau, rồi thử bài kiểm tra.
NGỘ NHẬN CẦN SỬA
Hàng đầu luôn có đủ mọi chữ số trong tập.
Số nhiều chữ số không bắt đầu bằng ; mã cần quy định riêng.
NGỘ NHẬN CẦN SỬA
Không lặp nghĩa là không dùng chữ số không.
Không lặp chỉ cấm dùng lại; vẫn được ở vị trí sau.
NGỘ NHẬN CẦN SỬA
Từ đến có số.
Tính cả hai đầu thì cộng một; thử khoảng chỉ có một số.
NGỘ NHẬN CẦN SỬA
Trang cuối dài ba chữ số, mọi trang đều như vậy.
Chia tại các mốc đổi độ dài hoặc sửa phần tính dư.
NGỘ NHẬN CẦN SỬA
Suy ngược được phân số thì làm tròn.
Nhãn phải hoàn chỉnh; tổng chính xác có thể không phù hợp.
NGỘ NHẬN CẦN SỬA