Lũy thừa: so sánh đúng, hiểu sự tăng gấp đôi
Học cách đổi cơ số, chặn số mũ nguyên và phân biệt tăng đều với gấp đôi. Mô hình sức chứa làm rõ điều kiện của kết quả về thời gian.
LUKATO Toán THCS · Hiểu cấu trúc, giải thích điều kiện
Bí quyết 02 · Từ cấu trúc đến lời giải
Lũy thừa: so sánh đúng, hiểu sự tăng gấp đôi
Đọc điều kiện trước khi so sánh; đếm từng bước trước khi dự đoán thời gian.
8 bí quyết có điều kiện 3 phòng thực hành 8 câu tự kiểm tra
MỤC TIÊU 01
Xác định cơ số, số mũ và các trường hợp đặc biệt khi cơ số hoặc số mũ bằng không.
MỤC TIÊU 02
So sánh lũy thừa bằng cơ số chung, số mũ chung hoặc tính một giá trị vừa đủ.
MỤC TIÊU 03
Tìm số mũ nguyên thỏa mãn một ngưỡng bằng hai giá trị liên tiếp.
MỤC TIÊU 04
Giải thích mô hình tăng gấp đôi theo từng ngày, sức chứa và ảnh hưởng của lượng ban đầu.
Lộ trình tư duy
01 / 01 · Nền tảng
Một lũy thừa kể lại phép nhân nào?
Đơn vị kiến thức: lũy thừa với số mũ nguyên không âm; so sánh và mô hình tăng theo bước. Mục tiêu là biết phép biến đổi nào giữ nguyên giá trị và điều kiện nào cho phép kết luận.
Trong bài này, cơ số là số nguyên không âm; số mũ thuộc . Với , là tích gồm đúng thừa số bằng . Cơ số cho biết thừa số được lặp; số mũ đếm số lần xuất hiện. Vì vậy không có nghĩa là . Khi dùng từ “số tự nhiên”, hãy nói rõ có cho phép số không hay không.
Với , quy ước . Riêng không được định nghĩa trong phạm vi bài này.
Ví dụ 1 · Đọc biểu thức trước khi tính
Cơ bản, 2 phút. Tính , , , và giải thích theo định nghĩa.
Ta có , . Đổi chỗ cơ số và số mũ không nhất thiết giữ nguyên giá trị. Vì bảy khác không, ; tích năm thừa số không cho .
Bẫy là trả lời cho hai biểu thức đầu hoặc trả lời không cho . Kiểm tra khác: . Hai cơ số đặc biệt cần nhớ: với mọi số mũ cho phép, còn khi . Không dùng chúng để suy ra “số mũ lớn hơn thì giá trị lớn hơn”.
Chọn cách so sánh lũy thừa
01 Kiểm tra cơ số và số mũ có được phép.
02 Tìm cơ số chung hoặc số mũ chung.
03 Nếu cần, nhóm lại các thừa số.
04 Kết luận và kiểm tra điều kiện.
Cùng cơ số cần xét cơ số đặc biệt; cùng số mũ cần xét số mũ không.
02 / 02 · Cơ chế
Vì sao các cách so sánh hoạt động?
Với cùng cơ số , tăng số mũ một đơn vị nghĩa là nhân giá trị dương với . Nếu , thì . Vì vậy các lũy thừa tăng nghiêm ngặt theo số mũ.
Với cùng số mũ nguyên dương , nếu , thay từng thừa số bằng làm tích tăng. Nếu , tích thứ nhất bằng không, tích thứ hai dương. Vậy . Nhưng với số mũ không và hai cơ số khác không, cả hai giá trị đều bằng một.
Ví dụ 2 · Chênh ba bước là nhân mấy lần?
Cơ bản, 2 phút. So sánh , và tìm hệ số giữa chúng. Cơ số hai lớn hơn một, nên cho . Tách : số thứ hai gấp tám lần số thứ nhất, không phải ba lần. Kiểm tra trực tiếp: .
Ghép các thừa số giải thích ; đếm các nhóm giải thích . Với , hai quy tắc dùng được cho . Với cơ số không, chỉ dùng khi mọi biểu thức xác định. Không đổi phép cộng thành phép nhân: , còn .
Đọc mô hình gấp đôi theo ngày
01 Ngày không ghi lượng ban đầu.
02 Mỗi ngày hoàn thành một bước gấp đôi.
03 Tìm hai mốc quanh sức chứa.
04 Chặn lượng thật khi khay đã đầy.
Các mốc cuối ngày không cho biết quy luật diễn ra giữa hai mốc.
Cùng xuất phát từ một, khác quy luật thay đổi
Trục ngang là số bước; trục đứng là giá trị. Đường vàng nhân đôi mỗi bước: 1, 2, 4, 8, 16. Đường xanh thêm một mỗi bước: 1, 2, 3, 4, 5. Mô hình rời rạc chỉ xét các mốc nguyên.
03 / 03 · Bản đồ phương pháp
Tám nguyên tắc để chọn đường đi
Trước mỗi phép so sánh, hỏi: biểu thức có xác định không, có cơ số hoặc số mũ chung không, và cần thứ tự hay giá trị chính xác? Hai biểu thức khác hình thức vẫn có thể là cùng một tích được nhóm lại.
Ưu tiên cơ số chung hoặc số mũ chung; nếu chưa có, thử nhóm thừa số hoặc tính vừa đủ. Khi tìm số mũ nguyên tối ưu, đặt ngưỡng giữa hai giá trị liên tiếp. Với bài theo ngày, xác định lượng ở ngày không và thời điểm cập nhật. Tám nguyên tắc dưới đây giúp em chọn đường giải.
BÍ QUYẾT 01
Định nghĩa trước khi vận dụng
Quy tắc Với , có đúng thừa số .
Vì sao Phân biệt tích lặp với nhân cơ số và số mũ.
Khi nào dùng Cơ số nguyên không âm, số mũ nguyên dương.
Giới hạn và ngoại lệ khi ; loại .
Ví dụ có giải thích , không phải .
BÍ QUYẾT 02
Cùng cơ số, kiểm tra cơ số đặc biệt
Quy tắc Với , kéo theo .
Vì sao Mỗi bước nhân giá trị dương với số lớn hơn một.
Khi nào dùng Cơ số nguyên ít nhất bằng hai; số mũ nguyên không âm.
Giới hạn và ngoại lệ ; với .
Ví dụ có giải thích .
BÍ QUYẾT 03
Cùng số mũ, cần số mũ dương
Quy tắc Với và , có .
Vì sao Tăng từng thừa số làm tích tăng; xét riêng cơ số không.
Khi nào dùng Cơ số nguyên không âm; số mũ chung nguyên dương.
Giới hạn và ngoại lệ Với số mũ không và cơ số khác không, cả hai giá trị bằng một.
Ví dụ có giải thích , nhưng .
BÍ QUYẾT 04
Lũy thừa của lũy thừa
Quy tắc .
Vì sao nhóm, mỗi nhóm thừa số, cho thừa số.
Khi nào dùng , nguyên không âm; mọi biểu thức phải xác định.
Giới hạn và ngoại lệ Không cộng hai số mũ; không gán giá trị cho .
Ví dụ có giải thích .
BÍ QUYẾT 05
Hai mốc chứng minh số mũ tối ưu
Quy tắc Đặt ngưỡng giữa hai lũy thừa liên tiếp; đọc đúng dấu.
Vì sao Tính tăng loại toàn bộ số mũ ngoài hai mốc.
Khi nào dùng Cơ số nguyên ít nhất bằng hai; số mũ nguyên.
Giới hạn và ngoại lệ Ngưỡng đúng bằng một mốc: dấu có bằng và dấu nghiêm ngặt khác nhau.
Ví dụ có giải thích , nên số mũ lớn nhất là bốn.
BÍ QUYẾT 06
Ngày không là điểm xuất phát
Quy tắc Gấp đôi sau mỗi ngày trọn vẹn cho .
Vì sao Số mũ đếm các bước gấp đôi đã hoàn thành.
Khi nào dùng Lượng đầu dương; không mất lượng; gấp đôi chính xác cuối ngày; nguyên không âm.
Giới hạn và ngoại lệ Chưa xác định quy luật trong ngày.
Ví dụ có giải thích Ba thẻ ban đầu cho , .
BÍ QUYẾT 07
Sức chứa tạo ra một ngưỡng
Quy tắc Với quy tắc dừng thêm khi đầy, ; lần đầu đầy là mốc đầu có .
Vì sao Lượng cần chứa có thể vượt ngưỡng; lượng thật bị chặn.
Khi nào dùng Sức chứa dương; quy tắc dừng thêm khi đầy.
Giới hạn và ngoại lệ Bước trước không luôn nửa đầy; đã đầy ban đầu thì ngày không là đáp án.
Ví dụ có giải thích : bắt đầu chín thẻ thì đầy cuối ngày năm.
BÍ QUYẾT 08
Hệ số ban đầu và độ dịch nguyên
Quy tắc Nhân lượng đầu với cho , với nguyên không âm.
Vì sao Ghép hệ số ban đầu vào lần nhân hai.
Khi nào dùng Lượng đầu dương, cùng quy tắc; xét giới hạn ngày không.
Giới hạn và ngoại lệ Hệ số khác lũy thừa của hai không dịch hai dãy một số bước nguyên cố định.
Ví dụ có giải thích Gấp bốn lượng đầu đi trước hai bước; gấp ba lượng đầu phải kiểm tra ngưỡng.
04 / 04 · So sánh
Đổi cách viết, giữ nguyên giá trị
Ví dụ 3 · Cùng số mũ dương
Cơ bản, 2 phút. So sánh , mà không cần tính toàn bộ. Số mũ chung bốn dương; nên thay từng thừa số năm bằng bảy làm tích tăng. Suy ra . Kiểm tra: .
Bẫy là kết luận bằng nhau vì số mũ bằng nhau. Cách khác: so , , rồi bình phương hai số dương đó. Điều kiện số mũ dương rất quan trọng: .
Ví dụ 4 · Khác cả cơ số lẫn số mũ
Mức vừa, 3 phút. So sánh , . Nhìn riêng cơ số hoặc riêng số mũ đều chưa đủ căn cứ. Vì , , ta có , . Vậy hai số bằng nhau, cùng bằng .
Hai số mũ trong và ngoài phải được nhân, không cộng: chúng đếm tổng số thừa số. Cách kiểm tra khác là đưa về số mũ hai: , . Giữ dấu ngoặc để biết biểu thức nào được nâng lên lũy thừa.
Ví dụ 5 · Tính vừa đủ
Mức vừa, 3 phút. So sánh , . Cơ số lớn hơn nhưng số mũ nhỏ hơn, nên hai quy tắc đơn giản chưa kết luận được.
Nhóm tích: , . Vậy . Bẫy là chọn số thứ nhất vì cơ số ba lớn hơn hai. Kiểm tra khác: từ , , nhân thêm lần lượt với ba và hai. Không cần ép mọi bài vào mẹo đổi cơ số; hãy chọn lập luận ngắn và kiểm tra được.
PHÒNG THỰC HÀNH 01
Hai cách viết, một phép so sánh
So sánh bằng phép biến đổi hợp lệ; mỗi lượt khoảng hai phút.
Bàn cân lũy thừa chính xác
So sánh hai lũy thừa nguyên. Cơ số có thể bằng 0 hoặc 1; riêng 0 mũ 0 không được dùng trong mô hình.
Cơ số bên trái Từ 0 đến 12; số nguyên Số mũ bên trái Từ 0 đến 24; số nguyên Cơ số bên phải Từ 0 đến 12; số nguyên Số mũ bên phải Từ 0 đến 24; số nguyên
Thay đổi dữ liệu rồi chọn “Tính và giải thích” để kiểm tra dự đoán của em.
05 / 05 · Chặn số mũ
Một ngưỡng, hai giá trị liên tiếp
Ví dụ 6 · Số mũ lớn nhất không vượt ngưỡng
Mức vừa, 3 phút. Tìm số nguyên không âm lớn nhất sao cho . Ta có , , , nên .
Bốn đạt yêu cầu, năm không đạt. Cơ số năm lớn hơn một nên mọi số mũ lớn hơn năm cũng không đạt. Kết luận ; toàn bộ số mũ đạt là . Bẫy là tìm được một số mũ đạt rồi gọi nó lớn nhất. Cách khác: lập dãy từ , nhân năm đến lần đầu vượt ngưỡng.
Ví dụ 7 · Số mũ nhỏ nhất đạt ngưỡng
Mức vừa, 3 phút. Tìm số nguyên không âm nhỏ nhất sao cho . Vì , mười chưa đạt, mười một đạt. Tính tăng loại các số mũ nhỏ hơn; đáp án là .
“Ít nhất bằng” không yêu cầu bằng đúng: không có số mũ nguyên nào cho , vì ngưỡng nằm giữa hai lũy thừa liên tiếp. Kiểm tra khác bằng cách lùi từ , chia hai được . Nếu đổi ngưỡng thành , điều kiện cho mười, còn cho mười một. Đọc dấu trước khi chọn mốc.
PHÒNG THỰC HÀNH 02
Kết luận có đủ điều kiện không?
Chọn đánh giá đúng; kiểm tra cơ số đặc biệt và miền số mũ.
Đạt ngưỡng bằng cách gấp đôi
Mỗi bước, toàn bộ lượng hiện có gấp đôi. Giả sử không mất mát và không có giới hạn tăng trưởng trước khi đạt ngưỡng.
Lượng ban đầu Từ 1 đến 64; số nguyên Số mũ của ngưỡng là 2 mũ T Từ 1 đến 30; số nguyên
Thay đổi dữ liệu rồi chọn “Tính và giải thích” để kiểm tra dự đoán của em.
06 / 06 · Mô hình theo bước
Gấp đôi theo ngày: số mũ đếm điều gì?
Xét mô phỏng tạo bản sao thẻ: ở ngày không có ba thẻ; cuối mỗi ngày trọn vẹn, mỗi thẻ tạo thêm một bản sao. Không mất thẻ, quy tắc gấp đôi chính xác. Lượng cần chứa nếu chưa giới hạn sau ngày là , với nguyên không âm.
Ví dụ 8 · Lượng cần chứa và lượng thật
Mức vừa, 4 phút. Khay chứa tối đa thẻ và ngừng thêm khi đầy. Lượng thật là . Tìm cuối ngày đầu tiên đầy và lượng ở ngày trước đó.
Điều kiện tương đương . Vì , khay đầy cuối ngày sáu. Ngày năm có thẻ, đúng nửa sức chứa. Dãy lượng từ ngày không đến sáu là .
Lùi một ngày là lùi một bước gấp đôi. Bẫy là chia thời gian đầy cho hai: ngày ba chỉ có thẻ, chưa nửa đầy. Kiểm tra khác bằng cách đi ngược từ sức chứa, chia hai qua từng ngày.
Ví dụ 9 · Gấp bốn khác gấp ba lượng đầu
Vận dụng, 5 phút. Giữ khay và quy tắc trên, lần lượt bắt đầu với và thẻ. Khay đầy sớm hơn bao nhiêu ngày?
Vì , có : mô phỏng mới đi trước hai bước. Kiểm tra ; đầy cuối ngày bốn, sớm hai ngày.
Với chín thẻ, . Khay đầy cuối ngày năm, sớm một ngày. là lượng cần chứa không giới hạn; lượng thật chỉ là . Không có ngày nguyên mà lượng không giới hạn bằng đúng sức chứa.
Bẫy là “gấp ba lượng đầu thì sớm ba ngày”. Không có số nguyên cho , nên hệ số ba không dịch hai dãy lượng đúng một số bước nguyên cố định. Muốn tìm thời điểm đầy, phải kiểm tra ngưỡng. Hệ số là lũy thừa của hai mới cho độ dịch nguyên cố định; nếu đã đầy từ đầu, thời điểm quan sát vẫn là ngày không.
Ví dụ 10 · Tăng đều khác tăng gấp đôi
Vận dụng, 4 phút. Một mô phỏng cũng bắt đầu với ba thẻ nhưng mỗi ngày chỉ thêm ba. Khay vẫn chứa thẻ. Khi nào đầy?
Lượng không giới hạn là . Điều kiện cho . Ngày có , ngày có , nên đầy lần đầu ngày . Mô phỏng gấp đôi đầy ngày sáu; ở mốc ấy mô phỏng tăng đều mới có thẻ.
Bẫy là dùng công thức gấp đôi cho mọi câu có từ “tăng”. Kiểm tra khác bằng mức thêm mỗi ngày: tăng đều thêm ba; gấp đôi thêm lượng bằng toàn bộ lượng đang có. Trùng giá trị ở ngày không và một chưa chứng minh cùng quy luật.
Mô hình chỉ quy định cuối ngày. Không tự suy thời điểm như “bốn ngày rưỡi”: muốn hỏi giữa hai mốc, phải bổ sung quy luật trong ngày. Tăng liên tục và cập nhật cuối ngày là các mô hình khác nhau.
PHÒNG THỰC HÀNH 03
Sắp các bước thành một chứng minh
Xếp các bước để kết luận xuất hiện sau căn cứ.
Cộng đều và gấp đôi
Hai quá trình bắt đầu cùng lượng. Một quá trình cộng thêm mỗi ngày; quá trình kia gấp đôi mỗi ngày, trong mô hình lý tưởng.
Lượng ban đầu Từ 1 đến 20; số nguyên Số ngày quan sát Từ 0 đến 12; số nguyên Lượng cộng thêm mỗi ngày Từ 1 đến 20; số nguyên
Thay đổi dữ liệu rồi chọn “Tính và giải thích” để kiểm tra dự đoán của em.
07 / 07 · Sửa ngộ nhận
Kiểm tra một kết luận trước khi tin nó
Hãy tìm điều kiện bị thiếu trong mỗi lời khẳng định. Sửa căn cứ giúp em áp dụng phương pháp cho dữ kiện mới, thay vì chỉ nhớ đáp án.
NGỘ NHẬN CẦN SỬA
“Số mũ lớn hơn thì giá trị lớn hơn.”
Cần cùng cơ số nguyên ít nhất bằng hai. Cơ số một cho một; cơ số không với số mũ dương cho không.
NGỘ NHẬN CẦN SỬA
“Cùng số mũ, cơ số lớn hơn luôn cho giá trị lớn hơn.”
Cần số mũ dương. Với số mũ không và hai cơ số khác không, cả hai giá trị bằng một.
NGỘ NHẬN CẦN SỬA
“ .”
Quy ước chỉ áp dụng khi khác 0. Biểu thức này không xác định trong bài.
NGỘ NHẬN CẦN SỬA