Toán 6 · Số nguyên: từ trục số đến cộng, trừ, quy tắc dấu ngoặc, dấu của tích, ước và bội qua 6 phòng thí nghiệm tương tác
Bài khái niệm Toán 6 về số nguyên: đặt số lên trục số để so sánh và hiểu số đối, giá trị tuyệt đối, cộng và trừ hai số nguyên bằng bước đi trên trục số, phân…
LUKATO AI · TOÁN 6 · SỐ NGUYÊN
TRỤC SỐ · CỘNG TRỪ · DẤU NGOẶC · DẤU CỦA TÍCH · ƯỚC BỘI
Đặt số lên
trục số,
mọi dấu có lí do.
Số nguyên không khó vì phép tính, mà vì những dấu trừ: trừ là phép trừ hay số âm, ngoặc đổi dấu khi nào, âm nhân âm vì sao ra dương, ước của 12 có sáu hay mười hai phần tử. Sáu phòng thí nghiệm tương tác giúp bạn kéo từng con số và thấy ngay chuyện gì xảy ra trên trục số.
- 1. Máy Trục Số: số đối, giá trị tuyệt đối, so sánh
- 2. Máy Cộng Trừ: mỗi số hạng là một bước đi
- 3. Máy Mốc Không: thang máy và nhiệt kế
- 4. Máy Dấu Ngoặc Và Chuyển Vế
- 5. Máy Dấu Của Tích: kể cả lũy thừa
- 6. Máy Ước Và Bội: kể cả bài chia hết chứa x
phòng thí nghiệm tương tác
bí kíp có chỗ vỡ
hiểu lầm được phản biện
01
Số nguyên và trục số
Con đường có điểm 0: Máy Trục Số
Số nguyên bắt đầu từ một con đường thẳng có điểm 0 ở giữa. Bên phải là các số tự nhiên quen thuộc; bên trái là các số âm sinh ra để mô tả những gì "thấp hơn mốc": nhiệt độ dưới 0 °C, tầng hầm, độ cao dưới mực nước biển, số tiền đang nợ. Mọi câu hỏi về so sánh hay khoảng cách đều trả lời được bằng cách nhìn con đường đó.
Tập hợp các số nguyên, viết là Z, gồm 0, các số nguyên dương 1, 2, 3, các số nguyên âm −1, −2, −3 và cứ tiếp tục mãi về hai phía. Ba khái niệm đi cùng nhau. Trục số cho biết thứ tự: số đứng bên trái nhỏ hơn số đứng bên phải. Số đối của a, viết −a, là điểm đối xứng với a qua 0: số đối của 3 là −3, số đối của −5 là 5, số đối của 0 là chính 0. Giá trị tuyệt đối |a| là khoảng cách từ a đến 0, nên luôn không âm: |−5| = |5| = 5.
Khoảng cách giữa hai điểm a và b là |a − b|. Hai điểm −7 và 5 nằm hai phía của 0 nên khoảng cách là 7 + 5 = 12; hai điểm 6 và 2 nằm cùng phía nên khoảng cách là 6 − 2 = 4. Quy tắc ngắn: khác phía thì cộng giá trị tuyệt đối, cùng phía thì lấy hiệu hai giá trị tuyệt đối.
Bên trái: trục số với cặp số đối −3 và 3, độ dài |−5| = 5 và phép so sánh −6 Chế độ 1 : kéo a và b, máy đặt hai điểm lên trục số, vẽ cả số đối, đo giá trị tuyệt đối và khoảng cách, rồi so sánh theo hai cách: theo vị trí trên trục số và theo giá trị tuyệt đối. Thử a = −17 và b = −2: vị trí nói −17 2; hai kết luận ngược nhau. Chế độ 2 : kéo ba số a, b, c, máy xếp từ nhỏ đến lớn theo giá trị thật và theo giá trị tuyệt đối để bạn thấy hai thứ tự khác nhau thế nào.
Phòng thí nghiệm 1 · Máy Trục Số LAB 1
Chế độ:
Số a
Số b
Số c (dùng ở chế độ 2)
So sánh theo vị trí
So sánh theo |.|
Khoảng cách
Số đối của a
Số đối của b
Hai kết luận
Vì sao −17 nhỏ hơn −2
Hãy đứng ở 0 và nhìn sang trái: −2 chỉ cách 0 hai bước, còn −17 cách 0 mười bảy bước, xa hơn nhiều về phía trái. Trên trục số, điểm càng bên trái càng nhỏ; số âm càng xa 0 thì càng nhỏ. Nợ 17 nghìn thì "nghèo hơn" nợ 2 nghìn, và đó chính là −17 −5.
Khoảng cách giữa hai điểm −4 và 9 trên trục số bằng bao nhiêu?
02
Cộng và trừ
Mỗi số hạng là một bước đi: Máy Cộng Trừ
Cộng và trừ số nguyên không cần học thuộc nhiều trường hợp. Hãy coi mỗi số hạng là một bước đi trên trục số: số bước là giá trị tuyệt đối, hướng là dấu. Dấu cộng đi sang phải, dấu trừ đi sang trái, và bắt đầu từ số hạng đầu tiên.
Cùng dấu thì các bước nối tiếp nhau cùng hướng: (−4) + (−6) = −10 vì đi trái 4 rồi đi trái 6. Khác dấu thì các bước kéo ngược nhau: (−9) + 4 = −5 vì đi trái 9 rồi quay lại phải 4, còn dư 5 bước về bên trái; và 7 + (−7) = 0 vì hai số đối nhau triệt tiêu nhau. Quy tắc cho khác dấu: lấy giá trị tuyệt đối lớn trừ giá trị tuyệt đối nhỏ, rồi đặt dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
Cộng một số dương là đi sang phải, cộng một số âm là đi sang trái; số bước bằng giá trị tuyệt đối. Phép trừ a − b chỉ là phép cộng a + (−b): bỏ dấu trừ thành bước ngược lại.
Phép trừ không cần quy tắc riêng: a − b = a + (−b) . Trừ b là làm bước ngược lại với cộng b. Do đó 3 − 8 = 3 + (−8) = −5, và (−2) − (−6) = (−2) + 6 = 4: trừ một số âm là đi sang phải. Máy dưới đây cho phép chọn cộng hay trừ, kéo hai số a và b, rồi nhìn mũi tên đi từ a đến kết quả. Dòng kiểm tra ngược làm phép đảo lại để bạn tự thấy kết quả đúng: sau a + b, lấy kết quả trừ b phải về a.
Phòng thí nghiệm 2 · Máy Cộng Trừ Trên Trục Số LAB 2
Phép tính:
Số a
Số b
Phép tính
Bước đi
Số bước
Hướng
Kết quả
Kiểm tra ngược
Vì sao trừ một số âm lại ra cộng
Cộng 6 là đi phải 6 bước; trừ 6 là đi ngược lại, tức trái 6 bước. Trừ (−6) là "ngược của (đi trái 6)", tức đi phải 6 bước. Hai lần đảo hướng trở về hướng cũ, nên (−2) − (−6) = (−2) + 6 = 4. Đây là lí do hai dấu trừ liền nhau biến thành dấu cộng.
−3 − 4 bằng −7, không phải −1
Ở đây không có số nào âm để "triệt tiêu": −3 là vị trí bắt đầu, "− 4" là đi trái 4 bước, hai thứ cùng hướng trái nên cộng lại: 3 + 4 = 7, dấu âm. Chỉ khi hai bước ngược hướng mới trừ giá trị tuyệt đối. Hãy tự hỏi "mỗi số hạng đi về hướng nào" trước khi tính.
Tính (−15) + 8 − (−7) − 20.
Gợi ý 1 · Biến trừ thành cộng
− (−7) = + 7 và − 20 = + (−20): viết lại thành (−15) + 8 + 7 + (−20).
Gợi ý 2 · Tính từ trái sang phải
Đi từng bước trên trục số từ −15.
Kết luận
(−15) + 8 = −7; −7 + 7 = 0; 0 + (−20) = −20. Vậy kết quả là −20. Kiểm: tổng các số dương 8 + 7 = 15, tổng các số âm −15 − 20 = −35, và 15 + (−35) = −20.
Kết quả của (−6) − (−6) − 6 là bao nhiêu?
03
Mốc 0 và thực tế
Mốc 0 và thay đổi: Máy Mốc Không
Số âm hữu ích vì có mốc 0 . Mốc 0 là điều ta quy ước: tầng trệt, mặt nước biển, nhiệt độ nước đóng băng. Dưới mốc là âm, trên mốc là dương. Khi giải bài thực tế, câu hỏi đầu tiên luôn là: mốc 0 ở đâu, và con số này chỉ vị trí hay chỉ thay đổi ?
Thang máy cho hình ảnh dễ nhất. Tầng trệt (G) là 0, các tầng trên là 1, 2, 3, các tầng hầm B1, B2, B3 là −1, −2, −3. Từ tầng 2 đi xuống 5 tầng: 2 + (−5) = −3, tức tầng hầm B3. Lên 7 tầng: −3 + 7 = 4. Xuống 4 tầng: 4 + (−4) = 0, về tầng trệt. Ba lần di chuyển −5, +7, −4 có tổng −2, đúng bằng chênh lệch giữa vị trí cuối (0) và vị trí đầu (2).
Nhiệt kế dùng cho một bài toán khác: tính trung bình. Năm nhiệt độ −3, 2, −6, 0, 5 (°C) có tổng −2, trung bình −2 : 5 = −0,4 °C. Ở đây cộng các nhiệt độ chỉ là bước trung gian để chia cho số lượng; con số −0,4 °C mới có ý nghĩa, và nó cho biết nhiệt độ trung bình hơi thấp hơn mốc đóng băng.
Thang máy cho ta hình ảnh trục số đứng: lên là dương, xuống là âm. Bên phải: phân biệt con số chỉ vị trí với con số chỉ thay đổi trước khi cộng.
Máy dưới đây có hai chế độ. Chế độ 1 · Thang máy : chọn tầng bắt đầu rồi ba lần di chuyển; máy vẽ đường đi, báo tên tầng (T là trên, B là hầm), tổng quãng đường và tổng thay đổi, và cảnh báo nếu thang đi ra ngoài tòa nhà (tối đa tầng 12, sâu nhất B3). Chế độ 2 · Nhiệt kế : chọn năm nhiệt độ, máy tính tổng, trung bình, ngày nóng nhất, lạnh nhất, mức chênh lệch lớn nhất giữa hai ngày liên tiếp, và đánh dấu ngày nào nước đóng băng.
Phòng thí nghiệm 3 · Máy Mốc Không LAB 3
Chế độ:
Tầng bắt đầu
Lần di chuyển 1
Lần di chuyển 2
Lần di chuyển 3
Nhiệt độ ngày 1
Nhiệt độ ngày 2
Nhiệt độ ngày 3
Nhiệt độ ngày 4
Nhiệt độ ngày 5
Vị trí
Tổng thay đổi
Quãng đường
Điều kiện
Trung bình
Thay đổi lớn nhất
Đổi mốc 0 không đổi hiệu giữa hai vị trí
Tầng 4 hơn tầng −3 là 4 − (−3) = 7 tầng. Nếu ai đó đánh số lại, lấy B3 làm tầng 1 thì tầng 4 trở thành tầng 8 và hiệu vẫn là 8 − 1 = 7. Vị trí phụ thuộc mốc, nhưng chênh lệch giữa hai vị trí thì không: đó là lí do ta dùng hiệu để đo thay đổi.
Không cộng hai vị trí với nhau
"Tầng −3 cộng tầng 4" không có nghĩa trong thang máy. Chỉ có hai phép hợp lý: vị trí + thay đổi = vị trí mới, và vị trí sau − vị trí trước = thay đổi. Cũng vậy, "nhiệt độ tăng 5 độ" từ −3 °C cho −3 + 5 = 2 °C, chứ không phải −8 °C.
Thang máy ở tầng 3, đi xuống 7 tầng rồi đi lên 9 tầng. Tìm vị trí thấp nhất đã tới và vị trí cuối.
Gợi ý 1 · Hai vị trí
Sau lần đầu: 3 + (−7). Sau lần hai: lấy kết quả đó cộng 9.
Gợi ý 2 · Vị trí thấp nhất
Đó là điểm sâu nhất đã đi qua, thường là sau khi hết một lượt xuống.
Kết luận
3 + (−7) = −4: tầng hầm B4, là vị trí thấp nhất. Sau đó −4 + 9 = 5: thang dừng ở tầng 5. Tổng thay đổi là −7 + 9 = +2, đúng bằng 5 − 3.
Lúc 6 giờ nhiệt độ là −4 °C. Đến trưa tăng 9 °C, tối giảm 7 °C. Nhiệt độ buổi tối là bao nhiêu?
04
Dấu ngoặc và chuyển vế
Gói và lệnh: Máy Dấu Ngoặc Và Chuyển Vế
Dấu ngoặc là một cái gói , và dấu đứng ngay trước gói là lệnh: dấu cộng nói "giữ nguyên gói", dấu trừ nói "lấy số đối của cả gói". Không cần học thuộc nhiều quy tắc: chỉ cần nhớ rằng số đối của (b − c) là (−b + c), vì (b − c) + (−b + c) = 0.
Hãy kiểm tra bằng số. 15 + (7 − 10) = 15 + (−3) = 12, và bỏ ngoặc giữ nguyên được 15 + 7 − 10 = 12: giống nhau. 15 − (7 − 10) = 15 − (−3) = 18, và bỏ ngoặc đổi dấu mọi số hạng được 15 − 7 + 10 = 18: cũng giống nhau. Nếu quên đổi dấu thì ra 15 − 7 − 10 = −2, sai hẳn. Khi có ngoặc lồng nhau, bỏ từ ngoặc trong ra ngoài.
Chuyển vế là hệ quả của cùng ý đó: cộng hay trừ cùng một số vào hai vế của đẳng thức thì đẳng thức vẫn đúng. Từ x + 5 = −2, trừ 5 hai vế được x = −2 − 5 = −7. Từ x − 4 = 9, cộng 4 hai vế được x = 9 + 4 = 13. Dạng p − x = q cần chú ý nhất: 6 − x = −3 cho −x = −3 − 6 = −9, nên x = 9, chứ không phải x = q − p = −9. Thử lại: 6 − 9 = −3 đúng, còn 6 − (−9) = 15 sai.
Hai quy tắc dùng chung một ý: dấu trừ trước ngoặc là "lấy số đối của cả nhóm". Chuyển vế là cộng hay trừ cùng một số vào hai vế, không phải phép ma thuật đổi dấu.
Máy dưới đây có hai chế độ. Chế độ 1 · Bỏ ngoặc : chọn một trong tám dạng a ± (±b ± c) và ba số; máy hiện biểu thức gốc, đánh dấu những dấu bị đổi, biểu thức sau khi bỏ ngoặc, và tính hai cách (trong ngoặc trước, và bỏ ngoặc rồi tính) để bạn thấy luôn cùng một kết quả. Chế độ 2 · Chuyển vế : chọn một trong ba dạng phương trình, máy tìm x và thử lại bằng cách thay vào.
Phòng thí nghiệm 4 · Máy Dấu Ngoặc Và Chuyển Vế LAB 4
Chế độ:
Dạng biểu thức (0 đến 7)
Số a
Số b
Số c
Dạng phương trình (0 đến 2)
Số p
Số q
Dấu trước ngoặc
Số dấu đổi
Trong ngoặc
Tính trước
Sau bỏ ngoặc
Kiểm tra
Vì sao dấu trừ trước ngoặc đổi mọi dấu
Trừ cả gói nghĩa là cộng số đối của gói. Số đối của một tổng bằng tổng các số đối: −(b + c) = (−b) + (−c). Vậy −(7 − 10) = −7 + 10 = 3, đúng bằng số đối của (−3). Đổi dấu chỉ một số hạng là sai vì khi đó gói + số đối của nó không về 0.
Dạng p − x = q hay bị làm như x + p = q
Nhiều người thấy "6 − x = −3" rồi viết ngay x = −3 − 6 = −9. Sai vì ở đây x đứng sau dấu trừ. Cách chắc ăn: chuyển 6 sang phải được −x = −9, rồi đổi dấu cả hai vế: x = 9. Luôn thử lại bằng cách thay x vào đề.
Bỏ ngoặc rồi tính (−12) − (5 − 9) + (−3 + 8).
Gợi ý 1 · Xét từng ngoặc
Ngoặc thứ nhất có dấu trừ phía trước, ngoặc thứ hai có dấu cộng.
Gợi ý 2 · Đổi dấu đúng chỗ
− (5 − 9) = − 5 + 9, còn + (−3 + 8) = − 3 + 8.
Kết luận
(−12) − 5 + 9 − 3 + 8 = −3. Kiểm: 5 − 9 = −4, nên (−12) − (−4) = −8; (−3 + 8) = 5; −8 + 5 = −3.
Tìm số nguyên x biết 10 − x = 4.
05
Nhân và lũy thừa
Âm nhân âm: Máy Dấu Của Tích
Nhân số nguyên có hai nửa dễ và một nửa khó hiểu. Nửa dễ: nhân là cộng lặp, nên 3 × (−4) = (−4) + (−4) + (−4) = −12. Nửa khó: vì sao âm nhân âm lại ra dương . Câu trả lời không phải quy ước, mà là một quy luật không thể phá.
Xét dãy 3 × 2 = 6, 3 × 1 = 3, 3 × 0 = 0: mỗi lần thừa số thứ hai giảm 1, tích giảm 3. Giữ quy luật thì 3 × (−1) = −3, 3 × (−2) = −6. Làm tương tự với (−3): (−3) × 2 = −6, (−3) × 1 = −3, (−3) × 0 = 0; mỗi lần giảm 1 thì tích tăng 3, nên (−3) × (−1) = 3 và (−3) × (−2) = 6. Có thể chứng minh khác bằng tính chất phân phối: (−1) × (1 + (−1)) = (−1) × 0 = 0, mà vế trái bằng (−1) × 1 + (−1) × (−1) = −1 + (−1) × (−1); để tổng này bằng 0 thì (−1) × (−1) phải bằng 1.
Từ đó có quy tắc cho tích nhiều thừa số: đếm số thừa số âm . Số chẵn thì tích dương, số lẻ thì tích âm; nếu có một thừa số 0 thì tích bằng 0. Độ lớn của tích luôn là tích các giá trị tuyệt đối. Với lũy thừa, a n là tích n thừa số a: (−2) 4 = 16, (−2) 3 = −8. Nhưng −2 4 nghĩa là số đối của 2 4 , tức −16: dấu trừ nằm ngoài ngoặc nên không bị lũy thừa.
Bên trái: giảm đều từng đơn vị ở thừa số thứ hai thì tích 3 × k giảm 3 mỗi bước, qua 0 rồi tiếp tục thành số âm, còn (−3) × k tăng 3 mỗi bước, nên (−3) × (−1) = 3. Bên phải: mỗi thừa số âm lật dấu một lần.
Máy dưới đây có hai chế độ. Chế độ 1 · Dấu của tích : chọn bốn thừa số từ −5 đến 5; máy nhân lần lượt và hiện dấu chạy sau mỗi thừa số, mỗi thừa số âm lật dấu một lần, thừa số 0 làm cả tích về 0. Chế độ 2 · Lũy thừa : chọn cơ số m và số mũ n; máy so sánh (−m) n với −m n bằng hai thanh đối xứng, để thấy khi nào hai biểu thức bằng nhau và khi nào đối nhau.