Toán 9 · Hình quạt tròn và hình vành khuyên: một tỉ lệ n/360 cho cung, hình quạt, vành khuyên và hình nón
Toán lớp 9 · Bài khái niệm về hình quạt tròn và hình vành khuyên: góc ở tâm n deg chọn ra n/360 của cả đường tròn, độ dài cung l = piRn/180, diện tích hình…
TOÁN 9 · HÌNH HỌC · HÌNH QUẠT TRÒN VÀ HÌNH VÀNH KHUYÊN · LUKATO AI · BÀI KHÁI NIỆM
Một tỉ lệ n/360: từ cung và hình quạt đến hình vành khuyên và hình nón
Vì sao cung và hình quạt lấy cùng một phần của đường tròn? Vì sao công thức cung có số 180 còn công thức diện tích có số 360? Vì sao diện tích hình vành khuyên đọc được thành “bề rộng nhân chu vi vòng giữa”?
Bài này không luyện đề. Nó dựng một chuỗi khái niệm chỉ có một mắt xích gốc: góc ở tâm n° chọn ra n/360 của cả đường tròn. Từ đó có độ dài cung l = πRn/180, diện tích hình quạt S = πR²n/360 = l·R/2, diện tích hình vành khuyên là hiệu hai hình tròn, và việc cuộn một hình quạt thành hình nón, trong đó độ dài cung trở thành chu vi đáy. Mọi tình huống và con số trong bài là ví dụ tự soạn.
6 SƠ ĐỒ TỰ DỰNG 2 PHÒNG THÍ NGHIỆM THUẦN KHÁI NIỆM 8 CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ SOẠN
Về nguồn và ví dụ. Công thức độ dài cung l = πRn/180 = (n/360)·2πR được đối chiếu với Math Is Fun và GeoGebra; diện tích hình quạt S = πR²n/360 = l·R/2 với Math Is Fun, Mathwords và Wikipedia (Circular sector); diện tích hình vành khuyên πR² − πr² = π(R − r)(R + r) với Wikipedia (Annulus); quan hệ hình quạt và hình nón (bán kính quạt là đường sinh, độ dài cung là chu vi đáy) với GeoGebra và Oak National Academy. Khi cần số thập phân, bài lấy π ≈ 3,14 như cách tính ở THCS. Mọi hình, mọi con số trong bài là ví dụ tự soạn hư cấu ; các số trong phòng thí nghiệm do chương trình tính ngay khi em kéo.
MỤC 1 · GÓC Ở TÂM VÀ TỈ LỆ n/360
Góc ở tâm n° chọn ra n/360 của cả vòng: cung và hình quạt lấy cùng một tỉ lệ
Cắt một lát từ chiếc bánh tròn: lát càng rộng góc thì càng dài mép và càng nhiều bánh. Mục này nói rõ “càng” ấy là bao nhiêu, bằng một phân số duy nhất.
1.1 Từ cả đường tròn đến một phần của nó
Đường tròn bán kính R có chu vi 2πR; hình tròn có diện tích πR². Góc ở tâm n° chia đường tròn thành hai cung; cung nằm trong góc là cung n° . Phần hình tròn giới hạn bởi hai bán kính và cung ấy là hình quạt tròn . Một vòng quay quanh tâm là 360°, nên góc n° chiếm n/360 của vòng quay.
Vì quay đều quanh tâm, mọi thứ trải đều theo góc đều bị chia theo cùng tỉ lệ ấy: cung chiếm n/360 của chu vi và hình quạt chiếm n/360 của hình tròn.
l = (n/360) · 2πR
S = (n/360) · πR² l: độ dài cung (cm) · S: diện tích hình quạt (cm²) · R: bán kính (cm) · n: số đo góc ở tâm (độ)
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 1. Ba hình quạt: góc 60°, 120° và 270° chiếm 1/6, 1/3 và 3/4 vòng; cung và hình quạt chiếm cùng phân số.
Điều rút ra. Phân số n/360 là gốc của cả bài. Nó là một số thuần túy, không có đơn vị, được lấy từ góc; còn chu vi 2πR và diện tích πR² là phần “cả vòng” có đơn vị cm và cm².
1.2 Ba cái tên, ba loại đại lượng
CUNG n° đường cong; đo bằng độ dài (cm)
HÌNH QUẠT miền phẳng; đo bằng diện tích (cm²)
TỈ LỆ n/360 số thuần túy, không đơn vị
Nhiều lỗi về sau chỉ vì lẫn ba loại này: lấy số độ n làm tỉ lệ, hoặc viết đơn vị độ dài cho một diện tích. Khi tính, hãy đi theo thứ tự: đổi góc thành tỉ lệ n/360, rồi nhân với đại lượng của cả vòng.
giữ nguyên góc ở tâm 90° nhưng đổi bán kính. Tỉ lệ n/360 có đổi không, và cái gì đổi?
Giải thích. Tỉ lệ n/360 vẫn là 1/4 vì nó chỉ đọc từ góc. Cái đổi là “cả vòng”: đường tròn to hơn thì chu vi và diện tích đều lớn hơn, nên cung và hình quạt (một phần tư của chúng) cũng đổi theo.
MỤC 2 · HAI CÔNG THỨC
Từ tỉ lệ n/360 ra hai công thức: l = πRn/180 và S = πR²n/360
Hai công thức trông gần giống nhau mà lại có hai con số khác nhau, 180 và 360. Đó không phải hai quy ước phải học thuộc; cả hai đều là n/360 nhân với phần “cả vòng”.
2.1 Số 180 và số 360 đến từ đâu
Chu vi cả đường tròn là 2πR, có sẵn một thừa số 2. Nhân với n/360 rồi rút gọn 2/360 = 1/180 thì được l = πRn/180. Diện tích cả hình tròn là πR², không có thừa số 2, nên S = πR²n/360 giữ nguyên số 360.
l = (n/360) · 2πR = πRn/180
S = (n/360) · πR² = πR²n/360 Hai công thức cùng một gốc n/360; 180 chỉ là kết quả rút gọn của 2/360
Hai công thức còn có hai kiểu thay đổi khác nhau. Theo góc n, cả l và S là hàm tỉ lệ thuận: gấp đôi n thì gấp đôi cả hai. Theo bán kính R (giữ n), l tỉ lệ với R còn S tỉ lệ với R², nên R gấp đôi làm l gấp đôi nhưng S gấp bốn.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 2. Trái: theo góc n, cung và hình quạt cùng một đường thẳng. Phải: với n = 90°, l là đường thẳng theo R còn S là đường cong theo R².
Điều rút ra. Muốn đoán đúng một phép biến đổi, hãy hỏi đại lượng ấy “tỉ lệ với cái gì”: l tỉ lệ với n và R; S tỉ lệ với n và R². Khi phóng to hình quạt, độ dài tăng bao nhiêu lần thì diện tích tăng bình phương số lần ấy.
2.2 Thử bằng tay
Phòng A cho em tự kéo n và R, và tự thấy hai thanh tỉ lệ luôn bằng nhau.
PHÒNG A Hình quạt: kéo góc, kéo bán kính, rồi thử lẫn đường kính với bán kính
Kéo góc ở tâm n và độ dài nhập vào. Hai thanh bên phải cho thấy cung và hình quạt đầy cùng một phần n/360. Bấm “Nhập đường kính d” để xem điều gì xảy ra khi lấy đường kính thay cho bán kính. Mọi số do chương trình tính với π ≈ 3,14; phần “Cách đọc” là nhận xét của người soạn.
Giá trị nhập vào
Bán kính R (cm) 6
Góc ở tâm n (độ) 120
Vuốt ngang để xem hết biểu đồ
MỤC 3 · DIỆN TÍCH THEO ĐỘ DÀI CUNG
Khi biết độ dài cung thay cho góc: S = l·R/2, như diện tích tam giác đáy l, cao R
Đôi khi ta đo được độ dài cung (một đoạn viền) chứ không đo được góc. Có một cách viết thứ ba của diện tích hình quạt dùng đúng hai số ấy: độ dài cung và bán kính.
3.1 Biến đổi từ S = πR²n/360
Tách một thừa số R ra khỏi πR²: S = (πRn/180) · R/2. Nhóm trong ngoặc chính là độ dài cung l, nên:
S = (πRn/180) · (R/2) = l · R/2 không còn góc n trong công thức; chỉ cần độ dài cung l và bán kính R
Đây là phép biến đổi đại số đúng hoàn toàn, không phải xấp xỉ. Ngược lại, biết l và R thì tìm được góc: n = 180·l/(πR).
3.2 Vì sao hình ảnh “tam giác đáy l, cao R” hợp lí
Cắt hình quạt thành nhiều lát thật mỏng; mỗi lát gần như một tam giác nhọn cao R với đáy là một đoạn cung rất nhỏ. Xếp xen kẽ các lát hướng lên và hướng xuống thì được hình gần như bình hành, đáy bằng nửa cung và cao R. Diện tích hình bình hành ấy là (l/2)·R. Lát càng mỏng, hình xếp càng gần bình hành, và kết quả khớp đúng với công thức l·R/2.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 3. Cắt hình quạt thành 12 lát rồi ghép xen kẽ: đáy khoảng l/2, cao khoảng R, nên S gần (l/2)·R; càng nhiều lát càng sát.
Điều rút ra. Công thức S = l·R/2 giống diện tích tam giác (đáy nhân cao chia hai) nếu coi cung như một đáy đã duỗi thẳng. Nó sẽ trở lại ở mục 5, khi cung trở thành chu vi đáy của hình nón.
hai hình quạt có cùng bán kính, cung của hình thứ nhất dài gấp đôi cung của hình thứ hai. Diện tích hình thứ nhất gấp mấy lần?
Giải thích. Gấp đôi. Với R như nhau, S = l·R/2 tỉ lệ thuận với l. Cũng đọc được từ góc: cung dài gấp đôi nghĩa là góc lớn gấp đôi, nên cả cung và diện tích đều gấp đôi.
MỤC 4 · HÌNH VÀNH KHUYÊN
Hình vành khuyên là hiệu hai hình tròn; viết bằng hằng đẳng thức, nó đọc được là bề rộng nhân chu vi vòng giữa
Một chiếc vòng đệm hay một con đường vòng quanh sân tròn: phần ở giữa hai đường tròn cùng tâm. Diện tích của nó có hai cách viết, và cách thứ hai nói được nhiều hơn.
4.1 Hiệu hai diện tích
Hình vành khuyên là phần mặt phẳng nằm giữa hai đường tròn đồng tâm, bán kính lớn R và bán kính nhỏ r (R > r). Lấy hình tròn lớn trừ hình tròn nhỏ:
S = πR² − πr² = π(R² − r²) R > r · đơn vị cm²
Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương R² − r² = (R − r)(R + r), ta được cách viết thứ hai:
S = π(R − r)(R + r)
4.2 Đọc công thức thành một câu
Trong π(R − r)(R + r), thừa số R − r chính là bề rộng của vành. Phần còn lại π(R + r) = 2π · (R + r)/2 là chu vi của đường tròn có bán kính trung bình (R + r)/2, tức đường tròn chạy giữa lòng vành. Vậy: diện tích vành khuyên bằng bề rộng nhân chu vi của vòng giữa. Giống như một dải băng dài bằng vòng giữa và rộng bằng bề rộng của vành.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 4. Vành khuyên là hiệu hai hình tròn; cùng diện tích với hình chữ nhật có hai cạnh là bề rộng R − r và chu vi vòng giữa π(R + r).
Lưu ý. Hình chữ nhật ở Hình 4 chỉ là cách đọc công thức: nó có cùng diện tích với vành, không phải vành duỗi thẳng ra. Vì vậy hai hình khác dạng nhưng cùng số đo diện tích.
Điều rút ra. Diện tích vành khuyên là π(R² − r²), không phải π(R − r)². Bình phương của hiệu và hiệu của bình phương khác nhau; ở dạng tích, thừa số thứ hai phải là R + r chứ không phải R − r.
một vành khuyên có bán kính ngoài gấp đôi bán kính trong (R = 2r). Diện tích vành gấp mấy lần diện tích hình tròn nhỏ?
Giải thích. Gấp ba. S = π(R² − r²) = π(4r² − r²) = 3πr², còn hình tròn nhỏ có diện tích πr². Hình tròn lớn có diện tích 4πr², vành lấy phần 3 trong 4 phần đó.
MỤC 5 · HÌNH QUẠT VÀ HÌNH NÓN
Cuộn hình quạt thành hình nón: bán kính quạt thành đường sinh, độ dài cung thành chu vi đáy
Một chiếc mũ giấy hay cái phễu làm từ một tấm hình quạt: cuộn lại và dán hai mép bán kính. Hình quạt và hình nón khớp nhau ở hai chỗ, và mọi số liệu của nón đọc ra từ đó.
5.1 Hai chỗ khớp
Hình nón có đường sinh ℓ, bán kính đáy r và chiều cao h, với h² + r² = ℓ². Trải phẳng mặt xung quanh của nón thì được một hình quạt. Hai mép bán kính của quạt được dán vào nhau, nên: (1) bán kính của hình quạt là đường sinh ℓ ; (2) độ dài cung của hình quạt là chu vi đáy 2πr .
l = (n/360) · 2πℓ = 2πr ⇒ r = n·ℓ/360 n: góc ở tâm của hình quạt · ℓ: đường sinh = bán kính quạt · r: bán kính đáy
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 5. Hình quạt n = 120° cuộn thành nón: cung thành chu vi đáy 2πr nên r = ℓ/3.
Từ r = n·ℓ/360 đọc được hai điều. Góc ở tâm càng lớn thì đáy càng rộng (r tăng theo n) và nón càng thấp; khi n = 360° thì r = ℓ, h = 0 và tấm phẳng không cuộn được thành nón. Và r luôn nhỏ hơn ℓ khi n Điều rút ra. Ở nón, “R” của quạt là đường sinh ℓ chứ không phải bán kính đáy r. Hai chữ này hay bị lẫn; hãy luôn hỏi: chữ này nằm ở hình quạt đã trải phẳng, hay ở hình nón đã cuộn?
cuộn một hình quạt có góc ở tâm 180° thành hình nón. Đường sinh gấp mấy lần bán kính đáy?
Giải thích. Gấp hai. r = n·ℓ/360 = ℓ/2, nên ℓ = 2r. Nửa hình tròn cuộn lại cho một nón mà đường sinh bằng đường kính đáy.
MỤC 6 · GHÉP LẠI
Phần vành khuyên giới hạn bởi góc ở tâm: cùng một tỉ lệ n/360 chạy qua cả bài
Bây giờ ghép hai ý: vành khuyên (hiệu hai hình tròn) và góc ở tâm n° (tỉ lệ n/360). Phần vành khuyên bị hai bán kính cắt ra có diện tích tính được bằng ba cách, và cả ba cùng một giá trị.
6.1 Ba cách đọc, một giá trị
Phần vành khuyên bị cắt bởi góc n° nằm giữa hai cung cùng góc n°, một cung bán kính R và một cung bán kính r. Có ba cách tính, đều dựa trên n/360:
CÁCH 1 hình quạt R trừ hình quạt r: (n/360)πR² − (n/360)πr²
CÁCH 2 n/360 của cả vành: (n/360) · π(R² − r²)
CÁCH 3 bề rộng nhân cung vòng giữa: (R − r) · (n/360) · π(R + r)
Cách 1 và cách 2 khớp nhau bằng cách đặt thừa số chung (n/360)π ra ngoài. Cách 2 và cách 3 khớp nhau nhờ R² − r² = (R − r)(R + r), và (n/360)·π(R + r) chính là độ dài cung n° của đường tròn vòng giữa, bán kính (R + r)/2. Khi n = 360 thì (n/360) = 1 và ta trở về hình vành khuyên đầy đủ.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 6. Phần vành khuyên n° = 90° giữa hai cung: ba biểu thức khác dạng, cùng một giá trị.
Điều rút ra. Cả bài là một sợi chỉ: phân số n/360 nhân với phần “cả vòng” (chu vi, hình tròn, vành khuyên, hay bề rộng nhân chu vi vòng giữa). Nhớ sợi chỉ ấy thì không cần nhớ riêng từng công thức.
6.2 Thử bằng tay
Phòng B cho em kéo để so các cách tính với nhau, và thử cuộn hình quạt thành nón.
PHÒNG B Hình vành khuyên và hình nón: kéo để xem tỉ lệ n/360 xuyên suốt
Chọn một trong hai chế độ. Vành khuyên : kéo R, r và góc n để thấy diện tích khớp với “bề rộng nhân chu vi vòng giữa” và chênh với công thức sai π(R − r)². Cuộn thành nón : kéo góc n và đường sinh ℓ để thấy cung trở thành chu vi đáy. Hai hình trong mỗi chế độ vẽ cùng tỉ lệ. Mọi số do chương trình tính với π ≈ 3,14.
Chế độ
Bán kính ngoài R (cm) 6
Bán kính trong r (cm) 3
Chỉ lấy phần có góc n (độ) 360
Góc ở tâm của hình quạt n (độ) 120
Đường sinh ℓ = bán kính quạt (cm) 9
Vuốt ngang để xem hết biểu đồ
HIỂU NHẦM KINH ĐIỂN
Bốn cách hiểu sai về hình quạt, hình vành khuyên và hình nón
1 · “Đề cho đường kính thì cứ thay luôn số đó vào R.”
Sự thật. Các công thức dùng bán kính R, mà R = d/2. Lấy đường kính làm bán kính làm R gấp đôi, nên độ dài cung sai gấp 2 lần và diện tích hình quạt sai gấp 4 lần (vì S tỉ lệ với R²). Thói quen an toàn: ghi R = d/2 thành một dòng riêng trước khi thay vào. Kiểm tra: Phòng A, chế độ “Nhập đường kính d”.