Toán 9 · Phân thức nhận giá trị nguyên: mẫu là ước của tử, từ một quan hệ gốc đến cả quy trình tìm x
Toán lớp 9 · Bài khái niệm về phân thức nhận giá trị nguyên: a/b nguyên khi và chỉ khi b là ước của a, ước nguyên đi theo cặp +/- và hữu hạn, tách tử theo…
TOÁN 9 · ĐẠI SỐ · PHÂN THỨC NHẬN GIÁ TRỊ NGUYÊN · LUKATO AI · BÀI KHÁI NIỆM
Phân thức nguyên khi mẫu là ước của tử: từ một quan hệ gốc đến cả quy trình tìm x
Vì sao “phân thức nhận giá trị nguyên” lại đổi thành “mẫu là ước của một số”? Vì sao chỉ có hữu hạn số nguyên x thỏa mãn? Vì sao khi mẫu có hệ số khác 1 thì danh sách ước chưa đủ để kết luận?
Bài này không luyện đề. Nó dựng một chuỗi khái niệm chỉ có một mắt xích gốc: a/b là số nguyên khi và chỉ khi b là ước của a. Từ đó có danh sách ước dương và âm, phép tách tử theo mẫu để đưa về một phần dư cố định, kết luận chỉ còn hữu hạn số nguyên x, rồi điều kiện cần chưa đủ khi mẫu có hệ số khác 1, và quy trình năm bước. Mọi tình huống và con số trong bài là ví dụ tự soạn.
6 SƠ ĐỒ TỰ DỰNG 2 PHÒNG THÍ NGHIỆM THUẦN KHÁI NIỆM 8 CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ SOẠN
Về nguồn và ví dụ. Định nghĩa “b là ước của a khi a = b·q với q nguyên” và việc ước có thể âm được đối chiếu với LibreTexts (Kwong, Discrete Mathematics), The Prime Pages (t5k) và các tài liệu của UNCG, SLU; phép chia P = Q·D + R với bậc của R nhỏ hơn bậc của D được đối chiếu với Seneca Learning và Varsity Tutors; trình tự “tách tử, dùng ước của phần dư, quay về x, đối chiếu điều kiện” được đối chiếu với 2048.vn và luatminhkhue.vn. Việc chỉ có hữu hạn ước (|ước| ≤ |K|) được chứng minh ngay trong bài từ định nghĩa. Mọi hình, mọi con số trong bài là ví dụ tự soạn hư cấu ; các số trong phòng thí nghiệm do chương trình tính ngay khi em kéo.
MỤC 1 · MẮT XÍCH GỐC
a/b là số nguyên khi và chỉ khi b là ước của a: hai cách nói cho cùng một sự việc
Cả bài chỉ xoay quanh một câu: “phân số này là số nguyên” và “mẫu là ước của tử” không phải hai điều khác nhau cần nhớ riêng. Chúng là một. Mục này nói rõ vì sao.
1.1 Ước và bội, đọc từ phép nhân
Với hai số nguyên a và b (b ≠ 0), ta nói b là ước của a , viết b | a, khi tồn tại số nguyên q để a = b·q. Lúc đó a gọi là một bội của b, và q chính là thương a/b.
Hai chiều của “khi và chỉ khi” đều ngắn. Nếu a/b = q là số nguyên thì nhân hai vế với b được a = b·q, nên b | a. Ngược lại, nếu a = b·q với q nguyên thì chia hai vế cho b được a/b = q là số nguyên.
a/b ∈ ℤ ⇔ b | a ⇔ a nằm trong các bội của b b ≠ 0 · ℤ là tập các số nguyên · kí hiệu ⇔ đọc là “khi và chỉ khi”
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 1. Trên trục số: 12 là bội của 4 (nên 12/4 nguyên), rơi giữa hai bội liên tiếp của 5 (nên 12/5 không nguyên); các bội của −4 trùng các bội của 4.
Điều rút ra. Hỏi “a/b có nguyên không” là hỏi “a có nằm trên lưới các bội của b không”. Khi đổi sang cách hỏi sau, mọi việc còn lại là liệt kê.
1.2 Ước âm được phép, và số 0 cũng có chỗ của nó
Nếu b | a thì −b | a, vì a = b·q = (−b)·(−q). Vì vậy một số nguyên có cả ước dương lẫn ước âm; ở Hình 1, dòng thứ ba cho thấy các bội của −4 chính là các bội của 4. Cách nói “ước” trong bài này luôn hiểu là ước nguyên, kể cả ước âm.
b = 0 không có phân số a/0; điều kiện b ≠ 0 luôn đứng trước
a = 0 0 = b·0 nên mọi b ≠ 0 đều là ước của 0, và 0/b = 0 là số nguyên
b = ±1 là ước của mọi số nguyên, vì a = 1·a = (−1)·(−a)
7 có phải là ước của 0 không, và 0/7 có phải số nguyên không?
Giải thích. Có. Vì 0 = 7 · 0 với 0 nguyên, nên 7 | 0 và 0/7 = 0 là số nguyên. Điều này không mâu thuẫn gì: “bội của 7” gồm cả 0. Chỉ có “chia cho 0” là không được phép.
MỤC 2 · DANH SÁCH ƯỚC
Ước đi theo cặp ±, và mọi ước của K ≠ 0 đều nằm trong khoảng từ −|K| đến |K|
Khi bài toán đã đổi thành “mẫu là ước của một số K”, việc còn lại là lập danh sách các ước của K. Mục này cho hai sự thật về danh sách ấy: nó đi theo cặp đối nhau, và nó hữu hạn.
2.1 Các ước nguyên của K đi thành từng cặp đối nhau
Mỗi ước dương d của K cho đúng một ước âm −d. Vì vậy số ước nguyên của K gấp đôi số ước dương. Số 12 có sáu ước dương là 1, 2, 3, 4, 6, 12 nên có mười hai ước nguyên. Số 13 là số nguyên tố, chỉ có ước dương 1 và 13, nên có bốn ước nguyên: −13, −1, 1, 13.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 2. Các ước nguyên của 12 (mười hai số, sáu cặp đối nhau) và của 13 (bốn số, hai cặp).
Điều rút ra. Quên các ước âm là bỏ mất một nửa nghiệm. Khi liệt kê, hãy luôn viết “±” trước mỗi ước dương.
2.2 Vì sao danh sách này hữu hạn
Giả sử d | K và K ≠ 0. Khi đó K = d·q với q nguyên, q ≠ 0, nên |q| ≥ 1. Lấy giá trị tuyệt đối: |K| = |d|·|q| ≥ |d|. Vậy |d| ≤ |K|: mọi ước nằm trong khoảng từ −|K| đến |K|, trong đó chỉ có hữu hạn số nguyên.
d | K, K ≠ 0 ⇒ |d| ≤ |K| Chỉ cần kiểm tra các số nguyên từ −|K| đến |K|; không còn ước nào ngoài khoảng ấy
Chú ý chữ “K ≠ 0”. Nếu K = 0 thì mọi số nguyên khác 0 đều là ước của 0, danh sách là vô hạn. Trường hợp này sẽ được xử lí riêng ở mục 4.3 vì nó không còn là bài toán “liệt kê ước”.
MỤC 3 · TÁCH TỬ THEO MẪU
Viết tử = thương × mẫu + dư: phần thương luôn nguyên, nên chỉ còn phần dư quyết định
Phân thức có x ở cả tử lẫn mẫu thì chưa thể nói “mẫu là ước của tử”, vì tử đổi theo x. Phép tách tử đưa về trường hợp mà tử là một số cố định.
3.1 Tách tử: mượn mẫu để viết lại tử
Với phân thức (x + 10)/(x − 2), hãy viết tử qua mẫu: x + 10 = (x − 2) + 12. Chia từng số hạng cho mẫu x − 2:
(x + 10)/(x − 2) = 1 + 12/(x − 2) tử = 1 · mẫu + 12: thương là 1, dư là 12
Tổng quát, phép chia tử cho mẫu cho tử = thương × mẫu + dư, với bậc của dư nhỏ hơn bậc của mẫu. Khi mẫu có bậc 1 thì dư có bậc 0, tức là một hằng số K. Lúc đó phân thức = (thương) + K/(mẫu).
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 3. Mô hình thanh: tử gồm một (hoặc ba) lần mẫu và một phần dư cố định. Dư 12 ở trái, dư 7 ở phải.
Điều rút ra. Với x nguyên, phần thương (ở đây là 1 hay 3) là một số nguyên, vì nó không chứa x ở mẫu. Số nguyên cộng với một số A là số nguyên khi và chỉ khi A là số nguyên. Do đó phân thức nguyên ⇔ K/(mẫu) nguyên ⇔ mẫu là ước của K .
3.2 Vì sao phần dư phải cố định
Trước khi tách, tử x + 10 đổi theo x nên “mẫu là ước của tử” là một câu hỏi lúc nào cũng thay đổi. Sau khi tách, phần còn lại là K/(x − 2) với K = 12 không phụ thuộc x. Câu hỏi thành: “x − 2 là ước của số 12 cố định”, và số 12 có hữu hạn ước. Đây là chỗ phép tách tử làm việc: biến một câu hỏi chưa liệt kê được thành một câu hỏi liệt kê được.
Ví dụ thứ hai trong Hình 3: (3x + 1)/(x − 2) = 3 + 7/(x − 2), vì 3x + 1 = 3(x − 2) + 7. Ở đây thương là 3 và dư là 7.
hãy tách tử của (x + 6)/(x + 1), rồi cho biết thương và dư.
Giải thích. x + 6 = (x + 1) + 5, nên (x + 6)/(x + 1) = 1 + 5/(x + 1): thương là 1, dư là 5. Điều kiện cần tìm khi đó là x + 1 là ước của 5, tức x + 1 thuộc {−5, −1, 1, 5}.
MỤC 4 · HỮU HẠN SỐ NGUYÊN x
Mẫu là ước của K nên x = d + ước: chỉ có hữu hạn số nguyên x, và chúng nằm gần d
Sau mục 3, bài toán là: x − 2 là ước của 12. Mục này đi từ danh sách ước sang danh sách x, và giải thích vì sao các x ấy tụ lại quanh chỗ mẫu bằng 0.
4.1 Từ ước của K sang x
Đặt mẫu x − 2 = d, với d chạy qua mười hai ước nguyên của 12: −12, −6, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6, 12. Mỗi ước cho đúng một số nguyên x = 2 + d. Vì x nguyên khi và chỉ khi d nguyên, nên không ứng viên nào bị loại ở bước đổi này. Kết quả là mười hai số x: −10, −4, −2, −1, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 14.
x − 2 | 12 ⇒ x ∈ {−10, −4, −2, −1, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 14} x = 2 + d với d là một trong mười hai ước nguyên của 12 · x = 2 bị loại ngay từ điều kiện xác định
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 4. Giá trị của 12/(x − 2) tại các số nguyên x: mười hai điểm cho số nguyên, tất cả trong khoảng từ x = −10 đến x = 14; xa hơn, giá trị rơi vào dải |giá trị| Điều rút ra. Tập các x là “d cộng với các ước của K”: hình dạng của nó chỉ phụ thuộc K, còn d chỉ làm cả tập trượt sang trái hay phải.
4.2 Vì sao các điểm nguyên không chạy ra xa
Với K ≠ 0 và |x − d| > |K|, ta có 0 Phần dư K 12
Số d (mẫu = x − d) 2
Vuốt ngang để xem hết biểu đồ
4.3 Trường hợp dư bằng 0: không còn danh sách ước
Nếu sau khi tách, dư K = 0 thì phân thức là một hằng số. Ví dụ tự soạn hư cấu : (2x + 6)/(x + 3) = 2(x + 3)/(x + 3) = 2 với mọi x ≠ −3. Giá trị 2 là số nguyên, nên mọi số nguyên x ≠ −3 đều thỏa mãn; không có danh sách ước nào cả. Nếu thương không nguyên (chẳng hạn hằng số 3/2) thì ngược lại không có x nào thỏa mãn.
Điều rút ra. Trước khi liệt kê ước, hãy tính K. Nếu K = 0, bài toán đã xong theo cách khác.
(2x + 6)/(x + 3) nhận giá trị nguyên với những số nguyên x nào?
Giải thích. 2x + 6 = 2(x + 3), nên phân thức bằng 2 khi x ≠ −3. Giá trị luôn là số nguyên, vậy mọi số nguyên x khác −3 đều thỏa mãn. Chỗ phải cẩn thận là điều kiện xác định, không phải danh sách ước.
MỤC 5 · ĐIỀU KIỆN CẦN CHƯA ĐỦ
Khi hệ số của x ở mẫu khác 1, nhân một hằng số chỉ cho điều kiện cần: phải thử lại
Ở mục 3, mẫu x − 2 có hệ số của x bằng 1, nên thương là số nguyên. Nếu mẫu là 2x + 4 thì thương có thể là phân số, và cách làm phải đổi.
5.1 Nhân hằng số để tách được, rồi nhớ mình đã làm gì
Xét P = 5x/(2x + 4). Thử tách: 5x = (5/2)(2x + 4) − 10, thương là 5/2 chứ không phải số nguyên, nên không đọc ngay được “nguyên cộng A”. Nhân hai vế với 2 để mẫu rút gọn: 2P = 10x/(2x + 4) = 5x/(x + 2) = 5 − 10/(x + 2).
2P = 5 − 10/(x + 2) 5x = 5(x + 2) − 10 · tử đổi thành một số nguyên lần mẫu cộng dư −10
Từ đây 2P nguyên khi và chỉ khi x + 2 là ước của 10, tức x + 2 ∈ {−10, −5, −2, −1, 1, 2, 5, 10} và x ∈ {−12, −7, −4, −3, −1, 0, 3, 8}. Nhưng câu hỏi gốc là P nguyên, mà không phải 2P nguyên. Nếu P nguyên thì 2P = 2·P chắc chắn nguyên, nên các x của P nằm trong danh sách trên. Điều ngược lại không đúng: 2P nguyên chưa chắc P nguyên, vì P = (2P)/2 chỉ nguyên khi 2P chẵn.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 5. Tám x làm 2P nguyên (elip ngoài); chỉ bốn trong số đó làm P nguyên (elip trong): x = −12, −4, 0, 8. Các x còn lại cho P là nửa nguyên.
Điều rút ra. Nhân với hằng số c ≠ 1 chỉ thu được điều kiện cần : tập ứng viên có thể lớn hơn tập đúng. Phải thay từng ứng viên vào phân thức gốc (hoặc kiểm tra tính chia hết còn lại) để loại phần dư thừa.
5.2 Thử lại từng ứng viên
Thay tám giá trị vào P = 5x/(2x + 4): x = −12 cho 3; x = −4 cho 5; x = 0 cho 0; x = 8 cho 2 (đều nguyên). Còn x = −7 cho 7/2; x = −3 cho 15/2; x = −1 cho −5/2; x = 3 cho 3/2 (không nguyên, loại). Vậy P nguyên chỉ khi x ∈ {−12, −4, 0, 8}.
Điều đáng nhớ: bốn giá trị bị loại không sai ở bước liệt kê ước. Chúng sai ở chỗ “2P nguyên” đã được dùng thay cho “P nguyên”. Đó là lí do bước “thử lại” tồn tại trong quy trình ở mục 6.
x = −7 làm 2P = 7 là số nguyên. P có nguyên không?
Giải thích. P = 5·(−7)/(2·(−7) + 4) = −35/(−10) = 7/2, không nguyên. Số 2P = 7 là số nguyên lẻ, nên chia đôi không còn nguyên: “điều kiện cần” được thỏa mà “điều kiện đủ” thì không.
MỤC 6 · QUY TRÌNH
Năm bước nối các mắt xích: xác định, tách, dùng ước, quay về x, lọc điều kiện
Các mục trước là từng mắt xích. Mục này xâu chúng lại thành một quy trình, rồi cho em tự chạy nó trong Phòng B.
6.1 Năm bước, mỗi bước một việc
Quy trình dùng chung cho phân thức dạng (ax + b)/(cx + d): (1) ghi điều kiện xác định, mẫu khác 0; (2) tách tử theo mẫu, nhân hằng c nếu cần để được c·f = a + K/(cx + d) với K = bc − ad; (3) viết “mẫu là ước của K” và liệt kê các ước dương, âm; (4) đổi về x, loại các ứng viên cho x không nguyên, và thử lại nếu ở bước 2 đã nhân hằng; (5) đối chiếu điều kiện thêm của đề, như nguyên dương hay tự nhiên.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 6. Năm bước với ví dụ chạy suốt (x + 10)/(x − 2); mỗi bước có một chỗ hay sai.
Điều rút ra. Chỉ bước 3 dùng quan hệ “là ước”. Các bước còn lại hoặc chuẩn bị cho nó (bước 1 và 2), hoặc dọn lại sau nó (bước 4 và 5).
6.2 Điều kiện thêm thay đổi kết luận, không đổi danh sách
Hãy lấy lại mười hai ứng viên của (x + 10)/(x − 2). Danh sách ứng viên không đổi dù đề yêu cầu điều gì; chỉ bước 5 lọc khác nhau. “Nguyên dương” nghĩa là f ≥ 1, còn “tự nhiên” nghĩa là f ≥ 0, nên ứng viên x = −10 (cho f = 0) bị loại ở trường hợp đầu và được nhận ở trường hợp sau.
x − 2 · x · giá trị f(x) · f nguyên dương · f tự nhiên
−12 · −10 · 0 · loại · nhận
−6 · −4 · −1 · loại · loại
−4 · −2 · −2 · loại · loại
−3 · −1 · −3 · loại · loại
−2 · 0 · −5 · loại · loại
−1 · 1 · −11 · loại · loại
1 · 3 · 13 · nhận · nhận
2 · 4 · 7 · nhận · nhận
3 · 5 · 5 · nhận · nhận
4 · 6 · 4 · nhận · nhận
6 · 8 · 3 · nhận · nhận
12 · 14 · 2 · nhận · nhận
Đếm theo cột: nguyên dương nhận sáu giá trị x ∈ {3, 4, 5, 6, 8, 14}; tự nhiên nhận bảy giá trị, thêm x = −10.
6.3 Thử bằng tay
Phòng B cho em tự nhập một phân thức, và thấy mỗi ứng viên bị loại ở bước nào.