Toán 9 · Hằng số cải trang: thay điều kiện ab+bc+ca=3 vào biểu thức để tách nhân tử, khuôn diện tích, mẫu chung và hai cạm bẫy qua 7 phòng thí nghiệm tương tác
Bài khái niệm Toán 9 học sinh giỏi về thủ thuật dùng điều kiện thay cho hằng số: khi ab+bc+ca=3 thì c^2+3 = (c+a)(c+b), nhìn thấy qua khuôn diện tích hình…
TOÁN 9 · HỌC SINH GIỎI · BÀI GIẢNG KHÁI NIỆM
Hằng số cải trang
Đề bài cho điều kiện ab + bc + ca = 3 . Phần lớn học sinh cất điều kiện đó đi, chờ đến cuối mới dùng. Học sinh giỏi làm khác: họ nhìn số 3 trong biểu thức và thấy ab + bc + ca đang cải trang . Một lần thay đúng chỗ, mẫu số c² + 3 tự tách thành (c + a)(c + b) . Bài giảng này không giải đề nào: nó dạy một thói quen nhìn, rồi cho bạn bảy phòng thí nghiệm để thử, bẻ gãy và hiểu vì sao thói quen đó đúng.
7 phòng thí nghiệm tương tác mô hình diện tích 8 hiểu lầm được phản biện 14 câu kiểm tra khái niệm không giải đề
1 Cải trang 2 Khuôn diện tích 3 Biểu thức hằng 4 Từ điển điều kiện 5 Thuần nhất 6 Cạm bẫy 7 Máy kiểm tra 8 Atlas 9 Kiểm tra ★ Tổng kết
1 Một con số có hai gương mặt
Hãy bắt đầu bằng một sự thật rất nhỏ. Giả sử ba số dương a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = 3 . Khi đó 3 và ab + bc + ca là cùng một số . Trong mọi biểu thức mà ba số này xuất hiện, ta được phép viết số này bằng gương mặt nào cũng được. Đây không phải mẹo: đó là quy tắc thay thế các đại lượng bằng nhau.
Vậy điều kiện không chỉ là “thông tin để dùng sau”. Nó là một từ điển hai chiều : một bên là hằng số (3), một bên là biểu thức của a, b, c. Mỗi khi gặp hằng số trong đề, ta hỏi: nó có đang là ab + bc + ca không? Nếu thay nó đi mà các hạng tử xung quanh bỗng có nhân tử chung, ta đã tìm đúng chỗ.
nếu ab + bc + ca = q thì mọi chỗ có q đều có thể viết lại thành ab + bc + ca
Hai điều phải nhớ ngay từ đầu. (1) Phép thay chỉ đúng trên tập các bộ (a, b, c) thoả điều kiện , không đúng với mọi bộ ba số. (2) Không phải số 3 nào cũng nên thay: ta chỉ thay chỗ nào làm hiện ra cấu trúc (nhân tử, bình phương, tổng đối xứng).
Lab 1 · Cải trang · một số, hai gương mặt
Chọn q rồi chọn a, b; c được tính để ab + bc + ca = q (nếu tích ab quá lớn, máy tự co a, b lại và nhãn hiện giá trị đã co). Thanh trên là con số q, thanh dưới ghép từ ba tích ab, bc, ca. Hai thanh bằng nhau đúng khi điều kiện còn nguyên. Kéo “bẻ điều kiện” để lệch c đi một chút và xem phép thay thất bại thế nào.
q: –
a: –
b: –
Bẻ điều kiện: cộng δ vào c, δ = –
Thanh trên: số q. Thanh dưới: ab (xanh lơ) + bc (cam) + ca (hồng).
ab + bc + ca
c² + q (viết với số q)
(c + a)(c + b)
2 Nhìn thấy tại sao: khuôn diện tích
Đẳng thức c² + (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b) không cần nhớ. Hãy vẽ hình chữ nhật có hai cạnh c + a và c + b , rồi cắt nó bằng hai đường thẳng đi qua chỗ chia cạnh. Ta được bốn mảnh: một hình vuông cạnh c (diện tích c²) và ba hình chữ nhật có diện tích ca, cb và ab. Ba mảnh không vuông ấy cộng lại đúng bằng ab + bc + ca , tức là q .
Vì vậy, “c² + q” và “(c + a)(c + b)” chỉ là hai cách đếm cùng một diện tích. Điều này đúng với mọi a, b, c, không cần điều kiện nào. Điều kiện q = 3 chỉ làm một việc: đổi chữ q thành số 3 để mẫu số trong đề trông như c² + 3.
Lab 2 · Khuôn diện tích · chọn biến làm hình vuông
Chọn biến đóng vai “c” (biến chốt). Bốn mảnh luôn cộng thành hình chữ nhật (chốt + u)(chốt + v). Ba mảnh không vuông luôn cộng thành q, bất kể chốt là biến nào. Nút “Ép q = 3” co cả ba số theo cùng một tỉ lệ để thoả điều kiện của đề.
a: –
b: –
c: –
Tím: hình vuông (chốt)². Ba mảnh còn lại (xanh lơ, cam, xanh lá) là ba tích đôi một; tổng của chúng là q.
q = ab + bc + ca
(chốt)² + q
(chốt + u)(chốt + v)
diện tích ba mảnh
Quan sát then chốt. Chốt là biến nào thì chỉ biến đó được “bình phương rồi cộng q”. Với chốt = a, nhân tử là (a + b)(a + c); với chốt = b, nhân tử là (b + a)(b + c). Lẫn hai cặp nhân tử là lỗi phổ biến nhất, bạn sẽ gặp lại nó ở phần cạm bẫy.
3 Sau khi tách nhân tử: mẫu số chung tự hiện ra
Tại sao việc tách x² + 3 = (x + y)(x + z) lại đáng giá? Vì ba mẫu số a² + 3, b² + 3, c² + 3 vốn trông xa lạ. Sau khi tách, chúng đều là tích của hai trong ba tổng a + b, b + c, c + a . Ba mẫu chỉ dùng chung ba nhân tử, nên mẫu số chung là tích cả ba, và nó rất gọn: (a + b)(b + c)(c + a) = pq − r , với p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc.
1/(a² + q) + 1/(b² + q) + 1/(c² + q) = 2p / (pq − r) · a/(a² + q) + b/(b² + q) + c/(c² + q) = 2q / (pq − r)
Hai đẳng thức trên đúng với mọi a, b, c dương. Với q = 3 chúng thành 2p/(3p − r) và 6/(3p − r). Bạn chưa cần dùng chúng vào đâu cả: điều cần thấy là cơ chế. Việc thay hằng số biến “ba mẫu xa lạ” thành “ba mẫu chia sẻ nhân tử”, và đồng mẫu chỉ là một bước cộng tử.
Lab 3 · Tách và đồng mẫu · bốn bước, có số thật
Chọn a, b; c được tính để ab + bc + ca = 3 (nếu tích ab quá lớn, máy tự co a, b lại và nhãn hiện giá trị đã co). Chọn họ biểu thức rồi bấm “Bước tiếp” để mở lần lượt từng bước; mỗi bước hiện giá trị thật của bạn.
a: –
b: –
Họ biểu thức
bước 0 / 4
Tách mẫu số
Đưa về mẫu chung Π = (a+b)(b+c)(c+a)
Cộng tử số
Nhận ra Π = pq − r
Ba thanh: ba số hạng của tổng; thanh dài nhất phía dưới: tổng tính trực tiếp, đối chiếu với dạng gọn.
4 Từ điển điều kiện: mỗi ràng buộc mở ra một nhân tử
Mẹo ở phần 1 không riêng cho ab + bc + ca = 3. Khái quát lại: một điều kiện là một đẳng thức giữa hằng số (hoặc một đại lượng đã biết) và một biểu thức của các biến . Mỗi điều kiện có “gia đình” nhân tử riêng mà nó cho phép dựng lên. Dưới đây là bốn mục từ điển. Bảng không đầy đủ, nhưng đủ để bạn hình thành phản xạ: nhìn điều kiện, đoán nhân tử.
Điều kiện · Cách đọc · Nhân tử nhận được
ab + bc + ca = q · q đổi chỗ cho tổng ba tích đôi một · x² + q = (x + y)(x + z) với mỗi biến x
a + b + c = s · s nhân với một biến chính là x(a + b + c) · s·a + bc = (a + b)(a + c); s − a = b + c
ab + a + b = m · thêm 1 để nhóm thành tích · (a + 1)(b + 1) = m + 1
a + b + c = 0 · biến này là tổng âm của hai biến kia · a³ + b³ + c³ = 3abc
Điều cần học là tính có điều kiện của từng dòng. Dòng đầu chỉ dùng được khi tổng ba tích đôi một đúng bằng q; nếu điều kiện đổi thành a + b + c = 3 thì dòng đầu mất hiệu lực, nhưng dòng hai lên tiếng. Thử đi: chọn một dòng, xem điểm thoả điều kiện cho hai vế bằng nhau, rồi dịch điểm khỏi mặt điều kiện và xem hai vế rời nhau ngay.
Lab 4 · Từ điển điều kiện · điểm trên mặt ràng buộc và điểm lệch
Chọn mục từ điển và tham số. Các biến u, v do bạn kéo, biến còn lại được tính để điều kiện đúng (mục ab + a + b = m chỉ có một biến tự do u). Thanh “lệch ε” cộng thêm ε vào biến tính ra, đưa điểm ra khỏi mặt ràng buộc.
q = –
lệch ε = –
biến thứ nhất u = –
biến thứ hai v = –
điểm (a, b, c)
vế trái
vế phải
hiệu hai vế
5 Vì sao thay được: bậc và co dãn
Có một câu hỏi mà người học nghiêm túc phải đặt ra: điều kiện ab + bc + ca = 3 là một điều kiện rất đặc biệt (số 3 chọn tuỳ ý). Vậy kết quả chứng minh được với nó có chỉ đúng cho riêng số 3 hay không? Câu trả lời nằm ở bậc . Nhân cả ba số với λ > 0 thì mỗi tích đôi một nhân với λ², nên q đổi thành λ²q. Mọi bộ ba dương đều nằm trên một tia (λa, λb, λc), và trên tia đó có đúng một điểm thoả q = 3, ứng với λ = √(3/q).
Hệ quả: một biểu thức thuần nhất bậc 0 (không đổi khi nhân cả ba số với cùng một λ) nhận cùng một giá trị trên cả tia, nên điều kiện q = 3 không làm mất tính tổng quát. Còn biểu thức không thuần nhất thì giá trị thay đổi theo vị trí trên tia, và điều kiện q = 3 chính là cách “chốt” một vị trí. Phép thay luôn hợp lệ trên tập ràng buộc, nhưng nó chỉ có ích khi biểu thức mới cùng bậc với các hạng tử xung quanh: 3 có bậc 0, q có bậc 2; a² có bậc 2 , nên “a² + 3” là cặp đúng bậc sau khi ta ghi 3 = q.
Lab 5 · Co dãn · tia (λa, λb, λc) và điểm q = 3
Với bộ (a, b, c) bạn chọn, đặt G(λ) = Σ λa / ((λa)² + q(λ)) và H(λ) = G(λ)·√q(λ). Đường G đi xuống như 1/λ (bậc −1), còn H nằm ngang (bậc 0). Vạch đứng đánh dấu điểm λ* thoả q = 3.
a: –
b: –
c: –
Xanh lơ: G(λ), bậc −1. Cam: H(λ) = G·√q, bậc 0. Vạch tím: λ* sao cho q = 3.
q của bộ gốc
λ* = √(3/q)
G tại λ*
H (mọi λ)
6 Hai cạm bẫy lớn: sai điều kiện và sai chiều
Thủ thuật thay hằng số rất mạnh, nên nó cũng cho những sai lầm rất đẹp mắt. Hai sai lầm dưới đây gây thiệt hại nhiều nhất, và cả hai đều có thể đo được bằng một con số.
Bẫy A · Điều kiện nghe quen nhưng không phải điều kiện của đề
Điều kiện a + b + c = 3 trông rất giống ab + bc + ca = 3. Nhưng thay 3 bằng a + b + c trong a² + 3 cho ra a² + a + b + c, không phải a² + ab + bc + ca. Sự khác nhau không phải “sai số nhỏ”: khi a + b + c = 3, hiệu a² + 3 − (a + b)(a + c) đúng bằng 3 − q , và q ≤ 3 với dấu = chỉ khi a = b = c = 1.
Bẫy B · Chỉ biết q ≤ 3 hoặc q ≥ 3
Nếu đề chỉ cho một bất đẳng thức về q, thay 3 bằng q không còn là phép bằng. Ta chỉ có c² + 3 − (c + a)(c + b) = 3 − q : dấu của hiệu này là dấu của 3 − q. Thông tin một chiều chỉ cho phép kết luận một chiều.
Lab 6 · Hai cạm bẫy · bấm tab, kéo thanh, đọc con số
Chọn b, c (a = 3 − b − c). Đồ thị vẽ q theo a trong trường hợp b = c (đường cong), và điểm của bạn. Đường nằm ngang là mức 3 mà ta muốn q đạt tới.
b: –
c: –
Chọn a, b, c tuỳ ý (q tự tính). Điểm xanh hoặc đỏ cho thấy hiệu c² + 3 − (c + a)(c + b) = 3 − q: dương (xanh) khi q < 3, âm (đỏ) khi q > 3.
a: –
b: –
c: –
hiệu c² + 3 − (c + a)(c + b)
3 − q
kết luận
7 Máy kiểm tra: bạn đoán, máy thử
Sau sáu phần, hãy thử trực giác của chính bạn. Giả sử a, b, c dương và ab + bc + ca = 3. Với mỗi mệnh đề dưới đây, bạn đoán Đúng hay Sai, rồi máy thử trên 4000 điểm ngẫu nhiên nằm đúng trên mặt ràng buộc và báo sai lệch lớn nhất. Mệnh đề sai kèm bằng chứng cụ thể: điểm phản ví dụ thật, hoặc giá trị hiệu nhỏ nhất.
Lab 7 · Đoán rồi kiểm · 9 mệnh đề
đoán đúng: 0 / 9
8 Atlas hiểu lầm · tám ngộ nhận và lời phản biện
Bấm vào từng thẻ để mở. Mỗi thẻ gồm ngộ nhận, vì sao nó hấp dẫn, và điều đúng.
1 · “Thay hằng số bằng biểu thức là mánh, chẳng có cơ sở”
Ngược lại, đây là quy tắc cơ bản nhất của đại số: hai đại lượng bằng nhau thì thay nhau được. Điểm cần nhớ là phép thay chỉ hợp lệ trên tập các bộ số thoả điều kiện . Ngoài tập đó, “3” và “ab + bc + ca” là hai số khác nhau.
2 · “Cứ thay mọi số 3 trong đề cho chắc”
Thay bừa làm phát sinh biểu thức rối. Chỉ thay ở chỗ làm hiện ra cấu trúc : nhân tử chung, bình phương, tổng đối xứng. Một số 3 đứng cạnh hạng tử bậc 1 thường không nên đổi thành biểu thức bậc 2 (xem phần bậc).
3 · “a + b + c = 3 cũng cho a² + 3 = (a + b)(a + c)”
Sai. Khi a + b + c = 3, hiệu hai vế bằng 3 − q, mà q chỉ đạt 3 khi a = b = c = 1 (vì q ≤ (a+b+c)²/3 = 3). Với a = 2, b = c = 0,5: vế trái 7, vế phải 6,25; hiệu 0,75 = 3 − q vì q = 2,25.
4 · “Cặp nhân tử lấy tuỳ ý, miễn có tổng hai biến”
Biến nào được bình phương thì biến đó xuất hiện trong cả hai nhân tử: a² + q = (a + b)(a + c). Viết (a + b)(b + c) cho a² + q là sai, trừ khi tình cờ b = a. Khuôn diện tích cho thấy lý do: hình vuông cạnh “chốt” nằm ở góc, hai cạnh hình chữ nhật đều chứa chốt.
5 · “Đẳng thức sau khi thay đúng với mọi a, b, c”
Phải tách làm hai. Đẳng thức a² + (ab + bc + ca) = (a + b)(a + c) đúng với mọi số. Còn a² + 3 = (a + b)(a + c) chỉ đúng trên điều kiện q = 3. Hai đẳng thức nhìn gần giống nhau nhưng thuộc hai loại khác hẳn.
6 · “Biết q ≤ 3 thì thay 3 bằng q vẫn như bằng”
Chỉ có thông tin một chiều: q ≤ 3 cho c² + 3 ≥ (c + a)(c + b), tức 1/(c² + 3) ≤ 1/((c + a)(c + b)). Dùng đúng chiều thì tốt (chặn một phía), dùng ngược chiều là sai.
7 · “Đã có điều kiện thì không cần a, b, c dương nữa”
Đẳng thức tách nhân tử đúng với mọi số thực. Nhưng các bước sau đó thường cần dấu: chia cho (a + b), dùng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, lấy căn. Dương là điều kiện của những bước ấy, không phải của phép thay.
8 · “Thay xong là xong”
Thay hằng số chỉ là bước mở cửa . Sau đó còn đồng mẫu, đưa về p, q, r, và kiểm tra chiều bất đẳng thức. Một lời giải tốt tách rõ “bước đổi dạng (đẳng thức)” khỏi “bước đánh giá (bất đẳng thức)”.
9 Kiểm tra khái niệm
Sáu câu trắc nghiệm và hai nhóm đúng–sai. Mỗi đáp án đều có giải thích ngắn.
Điểm của bạn: 0 / 0
Làm hết các câu để thấy tổng kết.
★ Tổng kết · bảy điều phải nhớ
1. Điều kiện là một đẳng thức giữa hằng số và biểu thức của các biến. Trên tập thoả điều kiện, hai vế thay nhau tự do; ngoài tập đó thì không.
2. Khuôn diện tích: c² + (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b) đúng với mọi số. Điều kiện ab + bc + ca = 3 chỉ đổi chữ q thành số 3.
3. Chốt là biến nào thì chỉ biến đó được viết x² + q = (x + y)(x + z). Hai nhân tử đều chứa chốt.
4. Tách nhân tử làm ba mẫu dùng chung ba tổng a + b, b + c, c + a; mẫu chung là (a + b)(b + c)(c + a) = pq − r. Từ đó Σ 1/(a² + q) = 2p/(pq − r) và Σ a/(a² + q) = 2q/(pq − r).
5. Từ điển điều kiện: mỗi ràng buộc có gia đình nhân tử riêng. Đổi điều kiện thì phải đổi nhân tử (a + b + c = 3 cho 3a + bc = (a + b)(a + c), không phải a² + 3).