Toán 9 giữa học kì I: sáu khái niệm nền, bài giảng tương tác
Bài giảng khái niệm Toán 9 giữa học kì I: hệ phương trình, phân thức đại số, mô hình bài toán thực tế, tỉ số lượng giác, hình học tứ giác và tối ưu nguyên…
T9
LUKATO AI Toán 9 · Giữa học kì I · Bài giảng khái niệm
0%
T9 TOÁN 9 · GIỮA HỌC KÌ I · BÀI GIẢNG KHÁI NIỆM TƯƠNG TÁC
Sáu khái niệm nền của Toán 9 , nhìn thấy bằng mắt
Nghiệm của hệ là điểm chung của hai đường thẳng. Điều kiện xác định quyết định một nghiệm có được nhận hay không. Tỉ số lượng giác chỉ phụ thuộc vào góc. Mỗi khái niệm ở đây có định nghĩa, điều kiện, một hình để kéo thả và một con số để kiểm chứng.
Định nghĩa → điều kiện → hình ảnh → con số mọi giá trị trong các hình minh họa được tính trực tiếp từ định nghĩa; các ví dụ số đã được kiểm bằng phần mềm đại số
Hệ phương trình
Tổng quan
Hiểu khái niệm trước, tính toán sau
Phần đầu học kì I môn Toán lớp 9 xoay quanh ba chủ đề: phương trình và hệ phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình, và tỉ số lượng giác trong tam giác vuông. Bài giảng này không giải đề. Nó dựng từng khái niệm, nêu điều kiện sử dụng, rồi cho bạn thao tác để thấy khái niệm ấy hoạt động.
1 Định nghĩa đi trước
Mỗi phòng mở đầu bằng khối “Lí thuyết trọng tâm”: định nghĩa, tính chất, điều kiện áp dụng. Hình và thanh trượt chỉ có nghĩa khi bạn đã biết mình đang quan sát cái gì.
2 Điều kiện là một phần của khái niệm
Mẫu phải khác 0, nhân với số âm phải đổi chiều, ẩn phải nguyên và không âm. Đây không phải mẹo, mà là phần định nghĩa quyết định tập nghiệm.
3 Một khái niệm, nhiều biểu diễn
Cùng một nghiệm được nhìn dưới dạng điểm trên mặt phẳng, điểm trên trục số, một bảng giá trị và một tỉ số cạnh. Khi bốn cách nhìn khớp nhau, khái niệm mới thật sự được hiểu.
Sáu phòng khái niệm
Phòng thí nghiệm
Đọc lí thuyết, rồi kéo để kiểm chứng
Mỗi phòng có khối lí thuyết trọng tâm, các hình tương tác và một câu chốt khái niệm. Cuối phòng, bạn có thể đánh dấu đã nắm để theo dõi tiến độ. Số thập phân dùng dấu phẩy như trong sách giáo khoa.
Phòng 1 · Hệ phương trình và phương trình tích
Hai khái niệm làm nền cho phần đại số: nghiệm của hệ là điểm chung của hai đường thẳng, và nghiệm của phương trình tích là nơi một trong hai nhân tử bằng 0. Phần minh họa dùng hệ 3x + 2y = 6, 2x − 2y = 14 và phương trình x(x − 2) = 3(x − 2).
Hệ phương trình
Lí thuyết trọng tâm
Định nghĩa
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by = c và a′x + b′y = c′. Nghiệm của hệ là cặp số (x; y) thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình. Về hình học, đó là tọa độ điểm chung của hai đường thẳng.
Số nghiệm
Hai đường thẳng cắt nhau: đúng một nghiệm. Song song: vô nghiệm. Trùng nhau: vô số nghiệm. Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ab′ − a′b ≠ 0.
Phép khử
Thay một phương trình bằng tổng hoặc hiệu của hai phương trình, giữ nguyên phương trình còn lại: tập nghiệm không đổi. Cộng vế khi hai hệ số của một ẩn là hai số đối nhau, trừ vế khi hai hệ số bằng nhau; nếu chưa được vậy, nhân một phương trình với số khác 0 trước.
Phương trình tích
A(x)·B(x) = 0 khi và chỉ khi A(x) = 0 hoặc B(x) = 0. Chia hai vế cho một biểu thức chứa ẩn chỉ hợp lệ khi biểu thức ấy khác 0; những giá trị làm nó bằng 0 sẽ bị bỏ sót.
Kéo hai thanh trượt để đặt điểm thử.
Điểm thử (x; y)
Hoành độ x
Tung độ y
3x + 2y (cần bằng 6) —
2x − 2y (cần bằng 14) —
Kết luận về điểm thử —
Cộng hay trừ vế?
Chọn một phép với hai phương trình rồi xem ẩn nào bị khử.
Hệ số quyết định
Hai hệ số của y là +2 và −2 (đối nhau) nên cộng vế; nếu hai hệ số bằng nhau thì trừ vế.
Kéo điểm thử trên trục hoành.
Phương trình tích: x(x − 2) = 3(x − 2)
Hai vế là hai đồ thị: parabol y = x(x − 2) và đường thẳng y = 3(x − 2). Phương trình có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu giao điểm.
Giá trị thử x
Vế trái x(x − 2) —
Vế phải 3(x − 2) —
Chốt khái niệm: Nghiệm là một đối tượng hình học (điểm chung). Phép khử và việc đặt nhân tử chung chỉ là cách tìm nó mà không làm mất hay thêm nghiệm.
Phòng 2 · Phương trình chứa ẩn ở mẫu và bất phương trình
Hai khái niệm cùng một ý: biến đổi sao cho tập nghiệm không bị đổi. Với phương trình có mẫu, điều đó cần điều kiện xác định; với bất phương trình, điều đó cần nhớ khi nào dấu bất đẳng thức đổi chiều. Minh họa dùng x−2 x+2 + 3 x−2 = x 2 +13 x 2 −4 và x−3 3 + x+2 4 ≤ x−1 6 .
ĐKXĐ · bất phương trình
Lí thuyết trọng tâm
Điều kiện xác định
Phương trình chứa ẩn ở mẫu chỉ có nghĩa với những giá trị của ẩn làm mọi mẫu thức khác 0. Tập các giá trị ấy là ĐKXĐ. Nghiệm của phương trình phải nằm trong ĐKXĐ.
Khử mẫu
Quy đồng rồi bỏ mẫu cho một phương trình hệ quả: nghiệm của phương trình cũ vẫn là nghiệm của phương trình mới, nhưng phương trình mới có thể có thêm nghiệm ngoại lai. Vì vậy phải đối chiếu từng nghiệm với ĐKXĐ và loại giá trị làm mẫu bằng 0.
Bất đẳng thức
Cộng cùng một số vào hai vế: giữ chiều. Nhân hai vế với số dương: giữ chiều. Nhân hai vế với số âm: đổi chiều. Ví dụ 1 < 2 nhưng (−1)·1 > (−1)·2.
Bất phương trình bậc nhất
Có dạng ax + b < 0 (hoặc >, ≤, ≥) với a ≠ 0; tập nghiệm là một nửa trục số. Với ≤ và ≥, đầu mút thuộc tập nghiệm (chấm đặc, ngoặc vuông); với < và >, đầu mút không thuộc (chấm rỗng, ngoặc tròn).
Kéo x để so sánh hai vế.
Giá trị thử x
Vế trái L(x) —
Vế phải R(x) —
Điều kiện xác định (x ≠ 2, x ≠ −2) —
Một ví dụ để nhớ: phương trình x x−2 = 2 x−2 . Khử mẫu cho x = 2, nhưng x = 2 làm mẫu bằng 0, nên phương trình vô nghiệm. Khử mẫu có thể sinh nghiệm “ngoại lai”, vì thế ĐKXĐ phải đi trước và đối chiếu ở cuối.
Kéo điểm thử trên trục số.
Bất phương trình: thử một giá trị
Vế trái —
Vế phải —
Nhân hai vế với số nào?
Chốt khái niệm: ĐKXĐ là một phần định nghĩa của phương trình có mẫu, còn quy tắc nhân với số âm là điều làm bất phương trình khác phương trình.
Phòng 3 · Lập hệ phương trình: từ lời văn sang đại số
Lập hệ phương trình là dịch một tình huống bằng lời sang ngôn ngữ đại số. Hai ví dụ minh họa: giá niêm yết và giá sau khi giảm phần trăm, và quan hệ quãng đường – vận tốc – thời gian với hai dự định khác nhau của cùng một chuyến đi.
Mô hình hóa
Lí thuyết trọng tâm
Năm bước lập hệ
1) Chọn ẩn, ghi đơn vị và điều kiện. 2) Biểu diễn các đại lượng còn lại qua ẩn. 3) Lập hai phương trình từ hai dữ kiện độc lập. 4) Giải hệ. 5) Đối chiếu nghiệm với điều kiện của ẩn rồi mới trả lời.
Phần trăm
Giảm p % nghĩa là giá mới bằng giá cũ nhân (1 − p : 100). Giảm 20 % là nhân 0,8; giảm 10 % là nhân 0,9. Giảm 20 % không có nghĩa là “còn 20 %”.
Chuyển động
Quãng đường = vận tốc × thời gian (S = v·t). Với cùng một quãng đường, vận tốc tăng thì thời gian giảm. Hai dự định khác nhau của cùng một chuyến đi cho hai biểu thức của S, và chúng phải cho cùng một giá trị.
Điều kiện của ẩn
Giá, thời gian, vận tốc là số dương; số lượng vật là số nguyên dương. Một nghiệm của hệ mà vi phạm điều kiện này vẫn là nghiệm của hệ, nhưng không phải nghiệm của bài toán thực tế.
Kéo giá bút a và giá vở b.
Ví dụ 1: giá niêm yết (nghìn đồng)
Bút giảm 20 %, vở giảm 10 %. Mua 10 bút và 20 vở: tổng giá niêm yết 195, tổng sau giảm 172.
Giá bút a
Giá vở b
Hiểu nhầm: coi “giảm 20%, 10%” là giá còn lại 20% và 10%
Tổng khi chưa giảm — cần bằng 195
Tổng sau giảm — cần bằng 172
Kéo vận tốc dự định v.
Ví dụ 2: vận tốc dự định v (km/h)
Một ô tô đi quãng đường AB. Nếu tăng 15 km/h thì đến sớm 1 giờ; nếu giảm 10 km/h thì đến trễ 1 giờ.
t theo điều kiện “sớm 1 giờ” — t = v+15 15
t theo điều kiện “trễ 1 giờ” — t = v−10 10
Quãng đường S = v·t (sớm) —
Quãng đường S = v·t (trễ) —
Cách đọc: hai điều kiện đều viết được S = v·t, nhưng chỉ khi v = 60 hai giá trị t (và S) mới trùng nhau. Đó là vận tốc dự định thật: t = 5, S = 300.
Chốt khái niệm: Một mô hình tốt là mô hình mà mỗi phương trình đều đọc ngược lại được thành một câu của tình huống.
Phòng 4 · Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Tỉ số lượng giác biến “góc” thành “tỉ số hai cạnh”. Minh họa gồm đường bay lên với góc cố định (độ cao h = d·sin θ) và tam giác vuông biết một cạnh và tan của một góc.
Tỉ số lượng giác
Lí thuyết trọng tâm
Định nghĩa
Trong tam giác vuông, với góc nhọn α: sin α = cạnh đối : cạnh huyền; cos α = cạnh kề : cạnh huyền; tan α = cạnh đối : cạnh kề; cot α = cạnh kề : cạnh đối.
Vì sao chỉ phụ thuộc góc
Hai tam giác vuông có cùng góc nhọn α thì đồng dạng, nên các tỉ số cạnh tương ứng bằng nhau. Do đó tỉ số lượng giác chỉ phụ thuộc α, không phụ thuộc kích thước tam giác.
Quan hệ giữa các tỉ số
sin α = cos(90° − α); cos α = sin(90° − α); tan α = sin α : cos α; tan α · cot α = 1; sin 2 α + cos 2 α = 1. Với góc nhọn: 0 < sin α < 1 và 0 < cos α < 1.
Cạnh và góc
Trong tam giác ABC vuông tại A: AC = BC·sin B = BC·cos C = AB·tan B = AB·cot C. Biết một cạnh và một góc nhọn, hoặc hai cạnh, ta tính được mọi cạnh và góc còn lại (giải tam giác vuông). Khi tính bằng máy tính phải đặt chế độ độ (DEG).
Kéo góc và quãng đường bay.
Đường bay lên và độ cao
Góc bay lên θ
Quãng đường bay d
Máy tính đang ở chế độ radian (lỗi quen thuộc)
sin θ máy tính cho —
Độ cao h = d·sin θ —
Muốn lên độ cao 10,6 km thì bay — d = 10,6 : sin θ
Thời gian ở 320 km/h — (d : 320)·60 phút
Kéo cạnh AC.
Giải tam giác vuông: AB = 9 cm cố định
Cạnh AC (cm)
Đọc ngược: tan C = AC : AB (lỗi quen thuộc)
tan C = AB : AC — cần bằng 0,75
Cạnh huyền BC —
Góc C —
Góc B = 90° − C —
Chốt khái niệm: Tỉ số lượng giác là một cây cầu: biết góc thì có tỉ số cạnh, biết tỉ số cạnh thì có góc.
Phòng 5 · Hình chữ nhật trong tam giác vuông
Tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, M và N là hình chiếu của H lên AB và AC. Bốn điểm A, M, H, N tạo thành một hình chữ nhật. Kéo hai cạnh góc vuông để thấy điều gì không đổi, rồi kiểm các hệ thức bằng số.
Hình chữ nhật AMHN
Lí thuyết trọng tâm
Nhận dạng
Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. Tứ giác AMHN có các góc tại A, M, N đều vuông nên là hình chữ nhật.
Đường chéo
Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vì thế AH = MN, và trung điểm của AH trùng với trung điểm của MN.
Hai cách tính diện tích
Trong tam giác HAC vuông tại H, HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC. Tính diện tích tam giác theo hai cách cho HN·AC = HA·HC.
Chuyển sang lượng giác
Góc HAC bằng góc B (cùng phụ với góc C). Vì thế HA = AB·sin B và HN = HA·sin B = AB·sin 2 B.
Kéo AB và AC.
Hai cạnh góc vuông
AB (cm)
AC (cm)
Hiện hai đường chéo AH, MN và giao điểm O
HN·AC —
HN và AB·sin²B —
AH và MN (hai đường chéo) —
Trung điểm AH trùng trung điểm MN? —
Chốt khái niệm: Một hình có thể chứa nhiều tam giác vuông. Điều quan trọng là chỉ ra đúng góc vuông và cạnh huyền của từng tam giác.
Phòng 6 · Nghiệm nguyên không âm và phương án tốt nhất
Khi ẩn là số xe, số người, số vật thì nghiệm phải là số nguyên không âm. Phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm thực nhưng có thể chỉ có rất ít nghiệm nguyên không âm. Minh họa: 35x + 50y = 645, tức 7x + 10y = 129, với giá thuê 3,5 triệu đồng một xe 35 chỗ và 5,2 triệu đồng một xe 50 chỗ.
Nghiệm nguyên
Lí thuyết trọng tâm
Nghiệm thực và nghiệm nguyên
Phương trình ax + by = c (a, b khác 0) có vô số nghiệm thực: đó là mọi điểm trên một đường thẳng. Nếu yêu cầu x, y nguyên không âm thì chỉ những điểm của lưới nguyên nằm trên đường thẳng và ở góc phần tư thứ nhất mới được tính.
Điều kiện chia hết
Từ 7x + 10y = 129 suy ra x = (129 − 10y) : 7. Muốn x nguyên thì 129 − 10y phải chia hết cho 7. Vì x ≥ 0 nên y chỉ nhận các giá trị 0, 1, …, 12; kiểm từng giá trị là cách làm hữu hạn.
Phương án khả thi
Mỗi cặp (x; y) nguyên không âm thỏa phương trình là một phương án khả thi. Chi phí là biểu thức 3,5x + 5,2y, và chỉ có nghĩa khi so sánh giữa các phương án khả thi.
Đọc kĩ ràng buộc
“Vừa đủ” là phương trình 35x + 50y = 645; “ít nhất” là bất phương trình 35x + 50y ≥ 645. Hai ràng buộc cho hai tập phương án khác nhau, nên phải nêu rõ mình đang dùng ràng buộc nào.
Chọn số xe.
Số xe thuê
Xe 35 chỗ (x)
Xe 50 chỗ (y)
Hiểu là “ít nhất 645 chỗ” (35x + 50y ≥ 645)
Tổng số chỗ —
Chi phí (triệu đồng) — 3,5x + 5,2y
Trạng thái —
Vì sao chỉ có hai nghiệm nguyên?
x = (129 − 10y) : 7 chỉ nguyên khi 129 − 10y chia hết cho 7. Bấm một hàng để nạp phương án vào hai thanh trượt.
So sánh các cách thuê
Chốt khái niệm: Số nguyên làm bài toán trở nên hữu hạn: thay vì tìm trên cả đường thẳng, ta chỉ cần nhìn các điểm của lưới nằm trên nó.
Bản đồ khái niệm
Chín khái niệm, một bảng nhìn tổng thể
Mỗi hàng là một khái niệm: nó nói gì, và điều kiện nào đi kèm. Bấm vào số phòng để đến phần có hình tương tác.
Khái niệm · Nội dung cốt lõi · Điều kiện hoặc cảnh báo · Phòng
Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn · Cặp (x; y) thỏa cả hai phương trình; điểm chung của hai đường thẳng. · ab′ − a′b ≠ 0 thì có nghiệm duy nhất; song song thì vô nghiệm; trùng nhau thì vô số nghiệm. ·