Toán 9 · HSG · Tiếp điểm biết nói: đường tròn nội tiếp, bàng tiếp và BD = CK
Bài giảng nền cho học sinh giỏi Toán 9: độ dài tiếp tuyến bằng nửa chu vi trừ cạnh đối, đường tròn bàng tiếp, hai tiếp điểm trên BC đối xứng qua trung điểm…
LUKATO · THCS AI · Toán 9 · Học sinh giỏi · Bài giảng nền Người vẽ hình · 0 XP
Toán 9 · Hình học · Đường tròn nội tiếp và bàng tiếp
Tiếp điểm biết nói
Từ một tính chất của lớp 9, tính được mọi đoạn trên cạnh tam giác. Hai đoạn tiếp tuyến kẻ từ một điểm tới một đường tròn thì bằng nhau. Chỉ từ câu ấy, em sẽ suy ra công thức “nửa chu vi trừ cạnh đối”, dựng đường tròn bàng tiếp, rồi chứng minh một bổ đề xuất hiện rất nhiều trong đề học sinh giỏi: hai tiếp điểm trên cạnh BC đối xứng nhau qua trung điểm của cạnh ấy.
Bài giảng lí thuyết Hình kéo thả trực tiếp Chỉ dùng kiến thức THCS Số liệu đã kiểm bằng máy
Bản đồ và kí hiệu
Năm công cụ, một chuỗi suy luận. Bấm ô để nhảy tới chương.
Tiến độ XP 0 XP
Kí hiệu dùng suốt bài
Tam giác ABC có ba cạnh a = BC , b = CA , c = AB (cạnh mang tên đỉnh đối diện). Nửa chu vi p = (a + b + c) : 2 .
Đường tròn nội tiếp tâm I , bán kính r , tiếp xúc BC, CA, AB lần lượt tại D , E , F .
Đường tròn bàng tiếp góc A tâm J , bán kính r a , tiếp xúc BC tại K , tiếp xúc tia AB, AC (phần kéo dài) tại L , N . M là trung điểm BC.
Em cần biết trước
Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau (Toán 9): nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm, và tia nối điểm đó với tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Định lí Thales và tam giác đồng dạng (Toán 8), dùng ở chương 3.
Bài này không dùng phép vị tự. Mọi lập luận đều nằm trong chương trình THCS.
Kiểm tra kí hiệu
Hai câu khởi động
Ba cặp đoạn bằng nhau
Đường tròn nội tiếp chia ba cạnh thành sáu đoạn, từng đôi một bằng nhau.
Tiến độ XP 0 XP
Định lí 1 · Độ dài tiếp tuyến từ đỉnh
Từ A kẻ được hai tiếp tuyến AE, AF tới đường tròn nội tiếp, nên AE = AF . Tương tự BD = BF , CD = CE . Đặt ba độ dài ấy là x, y, z:
x + y = c y + z = a z + x = b
Cộng ba đẳng thức được x + y + z = p. Lấy p trừ từng đẳng thức:
AE = AF = p − a BD = BF = p − b CD = CE = p − c
Cách nhớ: đoạn tiếp tuyến kẻ từ một đỉnh bằng nửa chu vi trừ cạnh đối diện đỉnh đó . Chẳng hạn BD = p − b = (a + c − b) : 2: hai cạnh kề đỉnh B cộng lại, trừ cạnh đối, rồi chia đôi.
Phòng thực hành 1
Kéo tam giác, đo sáu đoạn
Kéo A, B, C (hoặc chọn một điểm rồi dùng phím mũi tên). Bảng bên dưới so độ dài đo trên hình với công thức. Thử ba hình dạng khác nhau, kể cả tam giác tù.
Phòng thực hành 2
Xếp lại chứng minh
Năm bước chứng minh định lí 1 đang bị xáo trộn. Dùng nút mũi tên để xếp lại.
Trường hợp đặc biệt đáng nhớ: nếu tam giác vuông tại A thì AEIF là hình vuông (ba góc vuông, IE = IF), nên r = AE = p − a . Với tam giác 3, 4, 5 (a = 5): p = 6, r = 1.
Kiểm tra khái niệm
Ba câu hỏi nhanh
Đường tròn bàng tiếp
Đường tròn tiếp xúc một cạnh và phần kéo dài của hai cạnh kia.
Tiến độ XP 0 XP
Tâm bàng tiếp nằm ở đâu?
Đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc cạnh BC và tiếp xúc hai tia AB, AC ở phía ngoài tam giác. Tâm J cách đều ba đường thẳng ấy, nên J nằm trên:
• tia phân giác của góc A (góc trong);
• tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh B và tại đỉnh C.
Tia phân giác của góc trong và của góc ngoài tại cùng một đỉnh vuông góc với nhau (hai góc kề bù có tổng 180°, hai nửa có tổng 90°). Vì vậy IB ⊥ BJ và IC ⊥ CJ.
Định lí 2 · Độ dài tiếp tuyến tới đường tròn bàng tiếp
Theo tính chất hai tiếp tuyến: BK = BL, CK = CN, AL = AN. Khi đó
AL + AN = (AB + BL) + (AC + CN) = c + b + BK + CK = a + b + c,
AL = AN = p BK = p − c CK = p − b
BK = BL = AL − AB = p − c và CK = CN = AN − AC = p − b.
Hệ quả quan trọng: BD = p − b (định lí 1) và CK = p − b (định lí 2), nên BD = CK . Hai tiếp điểm D và K trên BC đối xứng nhau qua trung điểm M của BC , và DK = |b − c|.
Phòng thực hành 3
Hai tiếp điểm trên cùng một cạnh
Kéo các đỉnh. Đoạn BD (cam) và đoạn CK (xanh ngọc) luôn bằng nhau; M nằm chính giữa D và K. Khi nào D trùng K?
Kiểm tra khái niệm
Ba câu hỏi nhanh
Bổ đề đường kính
Nối A với tiếp điểm bàng tiếp K: đường thẳng ấy đi qua điểm đối xứng với D qua I.
Tiến độ XP 0 XP
Định lí 3
Gọi D' là điểm đối xứng với D qua I (DD' là đường kính của đường tròn nội tiếp). Khi đó A, D', K thẳng hàng .
Đây là cách đề thi thường giấu định lí 2: đề cho “I là trung điểm DD'”, cho tia AD' cắt BC tại một điểm, rồi yêu cầu chứng minh đoạn nào đó bằng BD. Nhờ định lí 3, điểm ấy chính là K, và câu trả lời là hệ quả BD = CK.
Phòng thực hành 4
Dựng từng bước
Bấm “Bước tiếp” để thêm từng đối tượng của chứng minh lên hình. Kéo đỉnh ở bất kì bước nào để thấy quan hệ vẫn đúng.
Chứng minh (chỉ dùng Thales và tam giác đồng dạng)
Bước 1. ID ⊥ BC và ID' cùng nằm trên đường kính DD', nên tiếp tuyến tại D' (vuông góc với ID') song song với BC. Gọi tiếp tuyến ấy cắt AB, AC tại B', C'.
Bước 2. Gọi h là chiều cao kẻ từ A. Chia tam giác ABC thành ba tam giác IBC, ICA, IAB có chung chiều cao r, ta được S = p · r; mặt khác S = a · h : 2, mà p > a nên h > 2r = DD': A cách BC xa hơn D'. Vì vậy đường thẳng qua D' song song BC cắt hai đoạn AB, AC tại B', C' (B' nằm giữa A và B, C' nằm giữa A và C). Đường tròn (I) nằm trong dải giữa hai đường song song BC và B'C', nên tiếp điểm F nằm giữa B' và B, tiếp điểm E nằm giữa C' và C. Như vậy (I) tiếp xúc B'C' tại D' và tiếp xúc phần kéo dài của AB', AC' quá B', C': đối với tam giác nhỏ AB'C', (I) chính là đường tròn bàng tiếp góc A.
Bước 3. B'C' ∥ BC nên tam giác AB'C' đồng dạng tam giác ABC theo tỉ số k = AB' : AB. Nửa chu vi và các cạnh của tam giác nhỏ bằng k lần của tam giác lớn: p' = kp, c' = kc. Áp dụng định lí 2 cho tam giác nhỏ: B'D' = p' − c' = k(p − c) = k · BK.
Bước 4. Gọi X là giao điểm của AK với B'C'. Theo hệ quả định lí Thales, B'X : BK = AB' : AB = k, nên B'X = k · BK = B'D'. Hai điểm X, D' cùng nằm trên đoạn B'C' và cách B' một khoảng như nhau, nên X trùng D'. Vậy A, D', K thẳng hàng.
Một hệ quả nữa: I là trung điểm DD', M là trung điểm DK, nên IM là đường trung bình của tam giác DD'K: IM ∥ AK và IM = D'K : 2 (khi b ≠ c; nếu b = c thì D, K, M trùng nhau).
Phòng thực hành 5
Xếp lại chứng minh định lí 3
Bước nào phải đứng trước? Xếp lại bằng nút mũi tên.
Kiểm tra khái niệm
Ba câu hỏi nhanh
Góc tại tâm và diện tích
Ba công thức góc và hai công thức diện tích đi kèm hai đường tròn.
Tiến độ XP 0 XP
Định lí 4 · Ba góc nhìn cạnh BC
∠BIC = 90° + ∠A : 2. Trong tam giác IBC: ∠IBC + ∠ICB = (∠B + ∠C) : 2 = 90° − ∠A : 2.
∠BJC = 90° − ∠A : 2. I và J nằm khác phía đối với BC, và đường thẳng IJ (phân giác góc A) cắt đoạn BC, nên IBJC là tứ giác lồi. Vì IB ⊥ BJ và IC ⊥ CJ, tứ giác ấy có hai góc vuông đối nhau, nên ∠BIC + ∠BJC = 180°.
∠BHC = 180° − ∠A với H là trực tâm của tam giác nhọn. Gọi B 1 , C 1 là chân đường cao kẻ từ B, C. Tứ giác AB 1 HC 1 có hai góc vuông tại B 1 , C 1 nên ∠B 1 HC 1 = 180° − ∠A, và ∠BHC đối đỉnh với góc ấy.
Hệ quả: B, I, C, J cùng nằm trên đường tròn đường kính IJ.
Định lí 5 · Diện tích
Chia tam giác thành ba tam giác IBC, ICA, IAB có chung chiều cao r:
S = p · r
Với J: S = S(JAB) + S(JAC) − S(JBC) = r a (c + b − a) : 2, nên
S = (p − a) · r a
Kết hợp với công thức Heron S² = p(p − a)(p − b)(p − c), từ ba cạnh tính được r và r a .
Phòng thực hành 6
Đo góc và diện tích trên hình
Kéo các đỉnh. Mỗi dòng so số đo với công thức. Dòng góc BHC chỉ hiện khi tam giác nhọn.
Kiểm tra khái niệm
Ba câu hỏi nhanh
Phòng tính nhanh
Từ ba cạnh ra mọi đoạn, mọi bán kính.
Tiến độ XP 0 XP
Phòng thực hành 7
Máy tính tiếp điểm
Nhập ba cạnh a = BC, b = CA, c = AB (số thập phân dùng dấu phẩy). Máy tính kiểm tra bất đẳng thức tam giác rồi tính mọi đoạn.
Phòng thực hành 8
Luyện phản xạ
Mỗi lượt máy đưa ba cạnh nguyên và hỏi một đoạn. Trả lời đúng ba lượt liên tiếp để nhận XP.
Thẻ ghi nhớ (bấm để lật)
Đi tiếp ở đâu?
Bài này là nền. Khi đã vững, em có thể học tiếp hai bài nâng cao trong thư viện: Chuyên Toán K48 (tiếp tuyến tại điểm đối xứng với tiếp điểm qua I, tích hai đoạn tiếp tuyến bằng r²) và Chuyên Toán K43 (tâm nội tiếp, điểm chính giữa cung, phép vị tự và đối xứng tâm).
Nguồn và phạm vi:
- Chủ đề được chọn từ một đề chọn học sinh giỏi Toán 9 (ngày thi 28/9/2024, câu hình học về tâm đường tròn nội tiếp và hình chiếu của I xuống BC). Bài giảng chỉ dạy lí thuyết nền, không giải đề ấy; các số liệu trong bài do bài giảng tự chọn.
- Kiến thức dùng: tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau (Toán 9), định lí Thales và tam giác đồng dạng (Toán 8), công thức Heron (dùng như công cụ tính).
Đã kiểm bằng máy: định lí 1 đến 5, bổ đề đường kính, IM ∥ AK và DK = |b − c| trên 20 000 tam giác ngẫu nhiên (sai số lớn nhất dưới 10⁻¹⁰); mọi đáp số trong câu hỏi được tính lại bằng máy. Chưa kiểm tra trên Safari, Firefox và thiết bị thật. Điểm kinh nghiệm chỉ lưu trên trình duyệt của em. © LUKATO AI