Toán 9 · Chín chìa khóa: giải mã đề HSG Trường Vinh vòng 1 (2026–2027)
Bài giảng tương tác bám sát đề chính thức vòng 1 thi chọn đội tuyển HSG Toán 9 phường Trường Vinh (150 phút): rút gọn, bậc ba và hệ, ẩn phụ, chia hết và số…
LUKATO AI · Toán 9 · Học sinh giỏi
Đề chọn đội tuyển HSG Toán 9 · Trường Vinh 2026–2027: giải mã bằng chín chìa khóa
Không chỉ đọc đáp án. Mỗi câu của đề được tách thành một công cụ tư duy mà bạn có thể mang sang bất kỳ đề nào. Mỗi chìa khóa có phòng lab ảo để bạn tự tay kéo, thử, sai, chỉnh — rồi hiểu. Mọi đáp số trong bài đều đã được máy kiểm chứng độc lập.
6 câu · 20 điểm 150 phút, Vòng 1
9 chìa khóa công cụ cốt lõi
50+ phòng lab tương tác trực quan
Đề biến thể vô hạn tự sinh, tự chấm
Bắt đầu từ Câu 1 › Xem bản đồ đề Nhảy tới Câu 5 (7 điểm) Thử thách cuối
Bản đồ đề
Sáu câu — chín chìa khóa
Điểm của đề không nằm ở những mẹo lạ, mà ở vài ý tưởng lặp đi lặp lại: nhân tử hóa , ẩn phụ , khử bậc , đồng dư , chặn hai phía , đếm có hệ thống , bổ đề hình học và tính tuần hoàn . Bấm vào một ô để đến thẳng chìa khóa; vòng tròn nhỏ ghi lại số phòng lab bạn đã hoàn thành (lưu trên thiết bị của bạn).
Xem nguyên văn đề thi (6 câu)
ỦY BAN NHÂN DÂN PHƯỜNG TRƯỜNG VINH — ĐỀ CHÍNH THỨC · VÒNG 1. Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9, năm học 2026–2027. Môn thi: Toán. Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề).
Câu 1 (3,0 điểm). a) Cho biểu thức A=\dfrac{x^2-2x}{x^3-1}+\dfrac{x+1}{x^3+x^2+x}+\dfrac{1+2x^2-2x}{x^4-x} với x\neq 0;\ x\neq 1. Rút gọn biểu thức A và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của A là một số tự nhiên.
b) Cho số thực x thỏa mãn (x-1)^3=9x. Chứng minh rằng: nếu y=x^2+x thì (y+1)^3=27y^2.
Câu 2 (4,0 điểm). a) Giải phương trình \left(\dfrac{x+3}{x-2}\right)^2+6\left(\dfrac{x-3}{x+2}\right)^2=\dfrac{7(x^2-9)}{x^2-4}.
b) Giải hệ phương trình \begin{cases}2x^2-2xy+y^2=x,\\ 4x^2-5xy+2y^2=y.\end{cases}
Câu 3 (3,0 điểm). a) Biết x,y là các số nguyên thỏa mãn x^2-xy+4y^2 chia hết cho 25. Chứng minh x^2+xy+4y^2 chia hết cho 25.
b) Tìm cặp số nguyên tố (p,q) thỏa mãn p^2-1 chia hết cho q và q^2-4 chia hết cho p.
c) Biết a+b là số nguyên và a^3+b^3=2. Tính a+b.
Câu 4 (2,0 điểm). Bạn An viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có 3 chữ số. a) Tính xác suất của biến cố A: “Số viết được chia hết cho 11”. b) Tính xác suất của biến cố B: “Số viết được chia hết cho 11, có 3 chữ số khác nhau, các chữ số đều là số lẻ”.
Câu 5 (7,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC), có I là giao điểm của ba đường phân giác. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I đến BC,CA,AB. Đường phân giác trong của góc B cắt DE,EF lần lượt tại Q,N.
a) Chứng minh rằng \widehat{CIN}=\widehat{CEN} và CN\perp BN.
b) Gọi M là trung điểm của AC, L là trung điểm của BC. Chứng minh M,N,L thẳng hàng và tam giác MNQ cân.
c) Tia AI cắt cạnh DE tại P. Chứng minh EP\cdot IA=BC\cdot IQ.
Câu 6 (1,0 điểm). Bạn An tô màu các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2027, mỗi số được tô bởi một trong ba màu xanh, đỏ, vàng thỏa mãn các điều kiện: (1) ba số tự nhiên liên tiếp bất kỳ có đủ cả ba màu xanh, đỏ, vàng; (2) tồn tại một số xanh và một số vàng có tổng bằng 2026. Hỏi số 2027 được tô màu gì?
① Ý tưởng cốt lõi Đọc ngắn, chỉ giữ cái bất biến.
② Phòng lab ảo Kéo, bấm, đoán trước khi xem kết quả.
③ Bẫy của đề Những chỗ ra đề hay cài.
④ Thử thách Biến thể ngẫu nhiên, tự chấm.
TIẾN ĐỘ TOÀN BÀI 0%
Câu 1a · Câu 1 tổng 3,0 điểm
Chìa khóa 1 — Nhân tử hóa để thấy cấu trúc
Ba phân thức có ba mẫu trông khác nhau, nhưng đều được dựng từ cùng ba “viên gạch”: x, x-1 và x^2+x+1. Nhìn ra ba viên gạch này là xong hơn nửa bài toán — phần còn lại là cẩn thận với điều kiện xác định.
Đề bài · Câu 1a
Cho biểu thức A=\dfrac{x^2-2x}{x^3-1}+\dfrac{x+1}{x^3+x^2+x}+\dfrac{1+2x^2-2x}{x^4-x} với x\neq 0;\ x\neq 1. Rút gọn biểu thức A và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của A là một số tự nhiên.
Ý tưởng cốt lõi Ba việc, theo đúng thứ tự: (1) phân tích từng mẫu thành nhân tử bất khả quy — mẫu chung gồm mỗi nhân tử với số mũ lớn nhất ; (2) quy đồng, cộng các tử rồi phân tích tử số để triệt tiêu nhân tử chung; (3) muốn “A là số tự nhiên”: đặt A=k, chặn k bằng một bất đẳng thức, giải từng k, cuối cùng loại các nghiệm bị cấm bởi điều kiện ban đầu.
Ba viên gạch
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
x^3+x^2+x=x(x^2+x+1)
x^4-x=x(x^3-1)=x(x-1)(x^2+x+1)
x^2+x+1=\left(x+\tfrac12\right)^2+\tfrac34>0 với mọi x: nó không bao giờ bằng 0 và không phân tích thêm được trên số thực (\Delta=-3 bội của các mẫu kia (ở đây x^4-x), thường chính nó là mẫu chung.
Tử số: thử nghiệm trước khi tách
Tử số cộng lại là x^3+x^2-2x=x(x^2+x-2).
Với x^2+x-2: tổng các hệ số 1+1-2=0 nên x=1 là nghiệm, suy ra x^2+x-2=(x-1)(x+2).
Vậy A=\dfrac{x(x-1)(x+2)}{x(x-1)(x^2+x+1)}=\dfrac{x+2}{x^2+x+1}.
Điều kiện xác định không “biến mất”
Sau khi rút gọn, \dfrac{x+2}{x^2+x+1} vẫn xác định tại x=0 (bằng 2) và x=1 (bằng 1). Nhưng biểu thức gốc không xác định ở hai điểm này, nên đồ thị của A có hai “lỗ thủng” và hai giá trị x này luôn bị loại khỏi đáp án.
Tìm x để A là số tự nhiên — Cách 1: chặn bằng bất đẳng thức
Vì x^2+x+1>0 nên A\ge 0\iff x\ge -2. Về phía trên:
3-A=\dfrac{3(x^2+x+1)-(x+2)}{x^2+x+1}=\dfrac{3x^2+2x+1}{x^2+x+1}>0
vì 3x^2+2x+1 có \Delta=4-12 Đáp số: x\in\left\{-2;\ -1;\ -\tfrac12\right\}.
Đọc đồ thị cho nhớ lâu
A chạy trong khoảng \left[1-\tfrac{2\sqrt3}{3};\ 1+\tfrac{2\sqrt3}{3}\right]\approx[-0{,}15;\ 2{,}15]. Đường ngang y=k cắt đồ thị tại điểm nào thì đó là nghiệm. Hai đường y=1 và y=2 mỗi đường cắt đồ thị đúng ở một lỗ thủng — đó chính là cái bẫy của đề.
Sáu bẫy của Câu 1a
- Đổi dấu khi quy đồng: 1-x và x-1 khác dấu; nhân nhầm sẽ làm hỏng cả tử số.
- Quên điều kiện sau khi rút gọn: chỉ ghi x^2+x+1\neq0 (vô nghĩa) mà quên x\neq0,\ x\neq1.
- Nhận cả x=0 và x=1: hai nghiệm của k=2 và k=1 thực ra bị cấm.
- Quên k=0: số tự nhiên có cả 0 — nghiệm x=-2 rất dễ rơi mất.
- “Gạch” sai: chỉ triệt tiêu được nhân tử , không triệt tiêu được số hạng (\dfrac{x+2}{x^2+x+1} không gạch được gì).
- Dùng \Delta khi k=0: khi k=0 phương trình chỉ còn bậc nhất, không có biệt thức.
Chốt Câu 1a
Quy trình năm dòng: (1) phân tích mọi mẫu; (2) mẫu chung = mỗi nhân tử với số mũ lớn nhất; (3) quy đồng, cộng, phân tích tử, triệt tiêu; (4) đặt A=k, chặn k, giải từng k; (5) đối chiếu ĐKXĐ gốc để loại nghiệm.
Cùng công cụ này dùng được cho mọi bài “rút gọn rồi tìm giá trị nguyên/tự nhiên”: chỉ thay phân thức, còn bước chặn và bước loại nghiệm giữ nguyên.
Lời giải đầy đủ Câu 1a (để so sánh với bài làm của bạn)
Rút gọn. Ta có x^3-1=(x-1)(x^2+x+1), x^3+x^2+x=x(x^2+x+1), x^4-x=x(x-1)(x^2+x+1). Với x\neq0,\ x\neq1:
A=\frac{x(x^2-2x)+(x+1)(x-1)+(1+2x^2-2x)}{x(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x^3+x^2-2x}{x(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x(x-1)(x+2)}{x(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x+2}{x^2+x+1}.
Tìm x. Vì x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0 nên A xác định và A\ge0\iff x\ge-2. Do 3-A=\dfrac{3x^2+2x+1}{x^2+x+1}>0 nên A Kết luận: A=\dfrac{x+2}{x^2+x+1} và x\in\left\{-2;\,-1;\,-\dfrac12\right\}. ∎
Câu 1b · Câu 3c
Chìa khóa 2 — Hằng đẳng thức bậc ba: hạ bậc, đối xứng, tổng–tích
Hai bài nhỏ, cùng một họ công cụ: khi giả thiết là một phương trình bậc ba, ta không giải nó — ta dùng nó để hạ bậc mọi biểu thức; khi giả thiết là a^3+b^3, ta đổi sang tổng và tích rồi nhớ rằng hai số thực phải có \Delta\ge0.
Đề bài · Câu 1b
Cho số thực x thỏa mãn (x-1)^3=9x. Chứng minh rằng: nếu y=x^2+x thì (y+1)^3=27y^2.
Ý tưởng cốt lõi của Câu 1b Giả thiết cho một phương trình bậc ba mà x thỏa mãn. Điều cần chứng minh là một đẳng thức bậc sáu theo x. Hai con đường đều chắc chắn: (A) dùng x^3=3x^2+6x+1 để hạ bậc hai vế về dạng ax^2+bx+c rồi so hệ số; (B) chứng minh một hằng đẳng thức đa thức : hiệu hai vế bằng (đa thức giả thiết) \times (một đa thức khác). Đường (B) ngắn hơn, đường (A) tự nhiên hơn khi chưa biết đa thức kia.
Đọc giả thiết cho kỹ
(x-1)^3=9x\iff x^3-3x^2+3x-1=9x\iff x^3-3x^2-6x-1=0. Gọi vế trái là e(x).
x=0 không thỏa giả thiết (vì (-1)^3\neq0), nên chia cho x được nếu cần. Đa thức e đổi dấu trên (-2;-1), (-1;0) và (4;5) (e(-2)=-9,\ e(-1)=1,\ e(0)=-1,\ e(4)=-9,\ e(5)=19) nên có đúng ba nghiệm thực , mỗi nghiệm đều thỏa điều cần chứng minh.
Một phương trình, hai cách viết
(x-1)^3-9x=x^3-3x^2-6x-1 và (x+2)^3-9(x+1)^2=x^3-3x^2-6x-1 — cùng một đa thức . Vì vậy (x-1)^3=9x và (x+2)^3=9(x+1)^2 có cùng ba nghiệm .
Bạn sẽ thấy hai cặp đường cong rất khác nhau cắt nhau đúng tại ba hoành độ giống nhau (lab đầu tiên).
Cách A — hạ bậc bằng x^3=3x^2+6x+1
Mỗi lần gặp x^3 ta thay bằng 3x^2+6x+1. Mọi lũy thừa x^n rút về dạng ax^2+bx+c với a,b,c nguyên. Hai vế của (y+1)^3=27y^2 cùng rút về 594x^2+837x+135 — bằng nhau.
Nhược điểm: phép tính dài, dễ sai một dấu. Ưu điểm: không cần đoán trước gì cả.
Cách B — phân tích đa thức
(x^2+x+1)^3-27x^2(x+1)^2=\big[(x-1)^3-9x\big]\cdot\big[(x+2)^3-9(x+1)\big].
Thừa số đầu bằng 0 theo giả thiết, nên vế trái bằng 0: đó chính là (y+1)^3=27y^2 vì x^2+x+1=y+1 và x^2(x+1)^2=y^2.
Vì sao lại có thừa số thứ hai? — đối xứng x\leftrightarrow-1-x Biểu thức y=x^2+x=x(x+1) không đổi khi thay x bằng -1-x. Vế trái (y+1)^3-27y^2 chỉ phụ thuộc y, nên cũng không đổi. Do đó nó phải triệt tiêu tại cả nghiệm của e(x) lẫn nghiệm của e(-1-x)=-\big(x^3+6x^2+3x-1\big). Hai cubic cho đủ sáu nghiệm — vừa khít bậc sáu. Đây là cách nghĩ ra thừa số thứ hai trong thời gian rất ngắn: soi gương qua x=-\tfrac12 .
Đề bài · Câu 3c
Biết a+b là số nguyên và a^3+b^3=2. Tính a+b.
Ý tưởng cốt lõi của Câu 3c Đặt s=a+b (nguyên) và p=ab. Vì a^3+b^3=s^3-3ps, ta có s^3-3ps=2, suy ra p=\dfrac{s^3-2}{3s} (cần s\neq0, vì s=0 cho 0=2). Hai số thực a,b với tổng s, tích p tồn tại khi và chỉ khi s^2-4p\ge0. Phần còn lại là giải một bất phương trình theo s.
Công thức nền: tổng lập phương
a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=s^3-3ps. Đây là chìa khóa đổi một biểu thức theo hai ẩn a,b thành biểu thức theo hai đại lượng s,p — và s,p cũng chính là hệ số của phương trình bậc hai t^2-st+p=0 có hai nghiệm là a,b.
Điều kiện tồn tại nghiệm thực
s^2-4p=s^2-\dfrac{4(s^3-2)}{3s}=\dfrac{8-s^3}{3s}.
Với s 0, mẫu 3s 0: cần 8-s^3\ge0\iff s\le2. Vậy số nguyên s chỉ có thể là 1 hoặc 2.
Kiểm tra hai ứng viên
s=2: p=\dfrac{8-2}{6}=1, t^2-2t+1=0\Rightarrow a=b=1; đúng vì 1+1=2.
s=1: p=\dfrac{1-2}{3}=-\dfrac13, t^2-t-\dfrac13=0\Rightarrow a,b=\dfrac{3\pm\sqrt{21}}{6} (thực, khác dấu); kiểm tra: a^3+b^3=1-3\cdot\left(-\tfrac13\right)\cdot1=2. ✓
Đáp số — và lưu ý về đề
Chỉ biết a,b là số thực thì a+b\in\{1;\,2\}. Đề không nêu thêm điều kiện, nên cách làm an toàn nhất là nêu cả hai giá trị kèm điều kiện .
Nếu bổ sung a,b\ge0, hoặc a,b\in\mathbb Q, hoặc a,b\in\mathbb Z thì s=1 bị loại (khi s=1: p mọi số nguyên s\neq0 đều có cặp (a;b) — vì vậy chữ “thực” là then chốt.
Sáu bẫy của Câu 1b và 3c
- Chia cho x mà không kiểm tra x\neq0: ở đây an toàn (vì x=0 không thỏa giả thiết), nhưng phải nói ra .
- “Thử số” rồi kết luận: thử ba nghiệm gần đúng chỉ là bằng chứng, không phải chứng minh; đề yêu cầu chứng minh.
- Sai một dấu khi khai triển (x-1)^3: x^3-3x^2+3x-1 — dễ viết nhầm +3x^2.
- Hạ bậc sai chiều: x^3=3x^2+6x+1 (không phải x^3=-3x^2\ldots). Hãy kiểm tra bằng cách thay x\approx4{,}41.
- Quên điều kiện thực ở Câu 3c: thiếu s^2-4p\ge0 thì mọi số nguyên s\neq0 đều có vẻ “hợp lệ”.
- Quên s\neq0: chia cho 3s khi s=0 là sai; xét riêng: s=0\Rightarrow a^3+b^3=0\neq2.
Chốt hai bài
Giả thiết bậc ba \Rightarrow tìm quy tắc hạ bậc hoặc hằng đẳng thức “hiệu hai vế = giả thiết \times đa thức”. Muốn đoán đa thức còn lại: chia đa thức, hoặc soi đối xứng.
Tổng lập phương \Rightarrow s=a+b, p=ab, a^3+b^3=s^3-3ps; rồi luôn kiểm tra s^2\ge4p.
Cùng công cụ này giải được cả họ bài “biết a+b nguyên và a^3+b^3=k” (phòng lab cuối): số giá trị nguyên của s là phần nguyên của \sqrt[3]{4k}.
Lời giải đầy đủ Câu 1b và Câu 3c
Câu 1b. Từ (x-1)^3=9x ta có x^3-3x^2-6x-1=0. Khai triển trực tiếp:
(x^2+x+1)^3=x^6+3x^5+6x^4+7x^3+6x^2+3x+1,\qquad 27x^2(x+1)^2=27x^4+54x^3+27x^2,
\Rightarrow\ (x^2+x+1)^3-27x^2(x+1)^2=x^6+3x^5-21x^4-47x^3-21x^2+3x+1.
Mặt khác
(x^3-3x^2-6x-1)(x^3+6x^2+3x-1)=x^6+3x^5-21x^4-47x^3-21x^2+3x+1.
Vậy (x^2+x+1)^3-27x^2(x+1)^2=(x^3-3x^2-6x-1)(x^3+6x^2+3x-1)=0. Với y=x^2+x thì x^2+x+1=y+1 và x^2(x+1)^2=y^2, nên (y+1)^3=27y^2. ∎
Câu 3c. Đặt s=a+b\in\mathbb Z, p=ab. Từ a^3+b^3=s^3-3ps=2 suy ra s\neq0 và p=\dfrac{s^3-2}{3s}. Vì a,b thực nên s^2-4p\ge0, tức \dfrac{8-s^3}{3s}\ge0, do đó 0<s\le2 và s\in\{1;2\}. Với s=2: p=1, a=b=1. Với s=1: p=-\tfrac13, a,b=\tfrac{3\pm\sqrt{21}}{6}. Cả hai giá trị đều xảy ra, nên a+b\in\{1;2\}; nếu đề yêu cầu thêm a,b\ge0 (hoặc hữu tỉ) thì a+b=2. ∎
Câu 2a · Câu 2 tổng 4,0 điểm