Toán 9 · Phần trăm, lãi suất và vốn chia hai phần: từ gốc và lãi kép đến tổng, hiệu và họ nghiệm
Toán lớp 9 · Bài khái niệm về phần trăm và lãi suất: phần trăm là tỉ số so với một gốc, điểm phần trăm khác phần trăm, lãi đơn và lãi kép, lãi suất bình quân…
TOÁN 9 · PHẦN TRĂM, LÃI SUẤT VÀ VỐN CHIA HAI PHẦN · LUKATO AI · BÀI KHÁI NIỆM
Phần trăm, lãi suất và vốn chia hai phần: từ một tỉ số đến hệ thống tổng–hiệu
Vì sao tăng 10% rồi giảm 10% không về chỗ cũ? Lãi kép khác lãi đơn ở điểm nào? Chia vốn làm hai phần, lãi bình quân là gì? Có bốn ẩn mà chỉ có ba dữ kiện thì tìm được gì?
Bài này không giải đề. Nó dựng một hệ thống khái niệm từ một sợi chỉ: phần trăm luôn là tỉ số so với một gốc, và phần lớn sai lầm trong các bài toán lãi suất quy về việc lẫn lộn gốc, lẫn lộn đơn vị, hoặc đếm sai số ẩn so với số phương trình. Từ đó suy ra lãi đơn và lãi kép, lãi bình quân có trọng số, phép hoán đổi cho tổng và hiệu, và vì sao “đủ phương trình” khác “đủ điều kiện”. Các công thức lãi được đối chiếu với tài liệu tham khảo (xem chân trang); mọi con số trong tình huống là ví dụ tự soạn.
6 SƠ ĐỒ TỰ DỰNG 2 PHÒNG THÍ NGHIỆM THUẦN KHÁI NIỆM 8 CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ SOẠN
Về nguồn và ví dụ. Công thức lãi đơn G·r·t và lãi kép G(1 + r) n được đối chiếu với tài liệu của VPBank và Home Credit; khái niệm điểm phần trăm được đối chiếu với Wikipedia (Percentage point) và Canadian Mortgage Trends (xem chân trang). Mọi số tiền, lãi suất và các “khoản vay, khoản gửi” trong bài là ví dụ tự soạn hư cấu . Đơn vị tiền là triệu đồng; lãi suất tính theo năm.
MỤC 1 · GỐC VÀ PHẦN TRĂM
Phần trăm không phải một con số: nó là một tỉ số kèm theo một gốc
“10%” chỉ có nghĩa khi biết 10% của cái gì . Viết p% của G nghĩa là lấy G nhân p rồi chia 100, tức G·(p/100). Cái G ấy là gốc (cơ sở so sánh). Đổi gốc thì cùng một con số phần trăm cho kết quả khác nhau. Gần như mọi bài toán phần trăm sai là do lẫn lộn gốc.
1.1 Bản đồ cả bài
Mục 1 đặt nền: gốc. Từ gốc, mục 2 nhìn cách lãi được cộng vào vốn theo hai cách. Mục 3 chia vốn làm hai phần với hai lãi suất. Mục 4 hoán đổi hai lãi suất để tách các ẩn. Mục 5 đếm xem dữ kiện đủ chưa. Mục 6 gom lại thành quy trình đặt ẩn và kiểm tra.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 1. Bản đồ khái niệm của bài: một sợi chỉ (gốc) và năm mục nối tiếp.
1.2 Hai phần trăm bằng nhau, hai gốc khác nhau
Một món hàng giá 100 (đơn vị tự chọn, hư cấu ) tăng 10% thì thành 100 × 1,10 = 110. Giảm 10% của giá mới thì bớt 11, còn 99. Không về 100, vì phép giảm lấy gốc là 110 chứ không phải 100. Gộp lại, giá cuối bằng giá đầu nhân 1,10 × 0,90 = 0,99, tức giảm 1%.
tăng p% rồi giảm q% (q% tính trên giá mới) ⇒ hệ số nhân = (1 + p/100)(1 − q/100) muốn về đúng giá đầu cần (1 + p/100)(1 − q/100) = 1
Vì thế muốn quay về giá đầu sau khi tăng 10%, phải giảm 1/11 ≈ 9,09% của giá mới, không phải 10%. Kết luận khái niệm: các phép “tăng” và “giảm” phần trăm liên tiếp là các phép nhân hệ số, không phải phép cộng, trừ phần trăm.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 2. Trái: tăng 10% rồi giảm 10% của giá mới cho 99, không phải 100. Phải: từ 40% lên 44% là tăng 4 điểm phần trăm, đồng thời tăng 10% so với 40%.
1.3 Điểm phần trăm: hiệu của hai phần trăm
Khi so sánh hai tỉ lệ phần trăm (cùng một gốc), hiệu của chúng đo bằng điểm phần trăm , còn tỉ số của hiệu so với tỉ lệ ban đầu mới là phần trăm thay đổi tương đối. Ví dụ chuẩn trong từ điển bách khoa: tỉ lệ từ 40% lên 44% là tăng 4 điểm phần trăm và tăng 10% so với 40%. Với lãi suất cũng vậy: từ 4% lên 6% là tăng 2 điểm phần trăm, tương đương tăng 50% so với 4%. Trong bài, lãi suất từ 6% lên 8% (số tự chọn hư cấu ) là tăng 2 điểm phần trăm, chứ không là “tăng 2%”.
HIỆU TUYỆT ĐỐI 8% − 6% = 2 điểm phần trăm
THAY ĐỔI TƯƠNG ĐỐI 2 / 6 ≈ 33,3% so với 6%
KHÔNG NHẦM “tăng 2%” là một câu khác
Quy tắc hai câu hỏi. Trước mỗi con số phần trăm, hỏi: (1) phần trăm của đại lượng nào, tức gốc là gì; (2) đây là một tỉ lệ hay là chênh lệch giữa hai tỉ lệ. Hai câu hỏi này chặn gần hết các nhầm lẫn của mục 1.
giá tăng 20% rồi giảm 20% (tính trên giá mới): giá cuối so với giá đầu thế nào?
Giải thích. Hệ số nhân là 1,20 × 0,80 = 0,96, tức giá cuối bằng 96% giá đầu, giảm 4%. Gốc của phép giảm là giá đã tăng. Nhận xét thêm: hệ số của “tăng p% rồi giảm p%” luôn bằng 1 − (p/100)², nhỏ hơn 1 với mọi p khác 0, vì (1 + t)(1 − t) = 1 − t².
MỤC 2 · LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP
Cùng một lãi suất, hai cách tính lãi: gốc cố định hay gốc lớn dần
Gửi hay vay một số tiền G với lãi suất r mỗi năm. Lãi đơn luôn tính trên gốc ban đầu G. Lãi kép (ghép lãi mỗi năm) cộng lãi vào gốc rồi năm sau tính tiếp trên tổng mới. Khác biệt duy nhất là gốc của năm sau.
2.1 Hai công thức và hệ số nhân
Với lãi đơn, mỗi năm sinh thêm G·r, nên sau t năm tổng tiền là G + G·r·t = G(1 + r·t); tiền lãi là G·r·t. Các tài liệu của ngân hàng viết dạng này (VPBank: T = A(1 + n·r); Home Credit: P·i·n). Với lãi kép ghép mỗi năm, mỗi năm gốc được nhân thêm hệ số (1 + r), nên sau n năm tổng là G(1 + r) n ; tiền lãi là G(1 + r) n − G.
đơn: tổng = G(1 + r·t) | kép: tổng = G(1 + r) n r viết dưới dạng số thập phân (6% là 0,06); n và t đều là số năm
Ví dụ tự soạn hư cấu : G = 200 triệu, r = 6%, 3 năm. Lãi đơn: 200 × 0,06 × 3 = 36 triệu, tổng 236 triệu. Lãi kép: 200 × 1,06³ = 238,2032 triệu, tức lãi 38,2032 triệu, nhiều hơn 2,2032 triệu. Năm thứ nhất hai cách trùng nhau , vì G(1 + r)¹ = G(1 + r·1); chênh lệch chỉ bắt đầu từ năm thứ hai, khi gốc đã lớn lên.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 3. Lãi đơn là đường thẳng (mỗi năm cộng một đoạn bằng nhau); lãi kép là đường cong (mỗi năm nhân cùng một hệ số).
2.2 Ba điều cần nhớ
Đơn thì cộng, kép thì nhân. Lãi đơn cộng cùng một lượng mỗi năm (đường thẳng); lãi kép nhân cùng một hệ số mỗi năm (đường cong). Càng nhiều năm, khoảng cách càng mở rộng.
Kỳ hạn đúng một năm thì không cần phân biệt. Khi một bài nói “lãi suất a% một năm, gửi một năm”, mọi cách tính (đơn hay kép ghép năm) đều cho tổng G(1 + a/100). Đây là lí do nhiều tình huống một năm chỉ cần đến phép nhân với (1 + r).
Đơn vị thời gian phải khớp. Lãi suất “một năm” nhân với số năm; nếu thời hạn tính bằng tháng thì phải đổi về năm trước, hoặc đổi lãi suất về tháng. Lẫn đơn vị thời gian là một nguồn sai số lớn không kém lẫn gốc.
PHÒNG A Hai cách nhân gốc và chuỗi phần trăm
Phần 1: kéo gốc, lãi suất, số năm và xem lãi đơn với lãi kép lệch nhau thế nào. Phần 2: tăng p% rồi giảm q% (tính trên số mới) và xem hệ số nhân. Mọi số liệu là ví dụ tự soạn hư cấu .
Hiển thị
Gốc G (triệu) 200
Lãi suất r (%/năm) 6,0
Số năm n 3
Chuỗi phần trăm: tăng rồi giảm
Tăng p (%) 10
Giảm q (%) trên số mới 10
vì sao “gửi 12 tháng, mỗi tháng lãi 0,5%” không cho đúng 6% một năm nếu lãi được cộng dồn mỗi tháng?
Giải thích. Nếu lãi 0,5% mỗi tháng được nhập vào gốc, hệ số cả năm là 1,005¹² ≈ 1,0617, tức khoảng 6,17%, lớn hơn 6% = 12 × 0,5%. Cộng dồn từng tháng là lãi kép theo tháng; còn 6% là lãi đơn theo năm. Muốn so hai cách gửi, phải đưa cả hai về cùng một đơn vị thời gian và cùng một cách tính trước khi so con số.
MỤC 3 · VỐN CHIA HAI PHẦN
Chia vốn làm hai phần: lãi suất bình quân là điểm cân bằng của một chiếc đòn bẩy
Một số vốn S được chia làm hai phần a và b (a + b = S), mỗi phần để ở một nơi với lãi suất khác nhau, x% và y% mỗi năm. Câu hỏi khái niệm: tổng lãi là bao nhiêu, và “lãi suất chung” của cả số vốn là bao nhiêu?
3.1 Tổng lãi và lãi suất bình quân
Sau một năm, phần a sinh a·x/100 và phần b sinh b·y/100. Tổng lãi là tổng hai số hạng. Ví dụ tự soạn hư cấu : a = 500 triệu ở 6%, b = 300 triệu ở 5%. Lãi là 500 × 6% + 300 × 5% = 30 + 15 = 45 triệu trên tổng vốn 800 triệu.
L = a·x/100 + b·y/100 ⇒ R = L / S × 100% = (a·x + b·y) / (a + b) R là lãi suất bình quân: lãi suất mà nếu áp cho cả S thì cho đúng tổng lãi L
Ở ví dụ, R = 45 / 800 = 5,625%. Đây là trung bình có trọng số : mỗi lãi suất được nhân với “trọng số” là số vốn ở lãi suất đó rồi chia cho tổng trọng số. Nó luôn nằm giữa y và x; nó chỉ bằng trung bình cộng (x + y)/2 = 5,5% khi hai phần vốn bằng nhau.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 4. Đòn bẩy: hai khối vốn đặt tại hai lãi suất của chúng; điểm cân bằng là lãi suất bình quân và nằm gần khối nặng hơn.
3.2 Quy tắc đòn bẩy
Từ R(a + b) = a·x + b·y suy ra ngay a(x − R) = b(R − y) . Đọc bằng lời: khoảng cách từ R đến mỗi lãi suất tỉ lệ nghịch với số vốn đặt ở lãi suất đó, giống chiếc bập bênh: khối nặng đứng gần trục. Ở ví dụ: 500 × 0,375 = 187,5 = 300 × 0,625. Cách nhìn này cho kết quả nhanh mà không cần viết hết các phép nhân.
Ngược lại cũng đúng. Biết hai lãi suất x ≠ y, tổng vốn S và tổng lãi L, hai điều kiện a + b = S và a·x + b·y = 100·L (L tính bằng triệu) xác định hai phần vốn: a = (100·L − y·S) / (x − y) . Ở ví dụ: (4500 − 5 × 800) / 1 = 500. Điều kiện x ≠ y là bắt buộc: nếu hai lãi suất bằng nhau thì tổng lãi không cho biết gì về cách chia vốn.
khi nào lãi suất bình quân đúng bằng trung bình cộng của hai lãi suất?
Giải thích. Thay a = b vào R = (a·x + b·y)/(a + b) được R = (x + y)/2; đảo lại, a(x − R) = b(R − y) với R = (x + y)/2 cho a(x − y)/2 = b(x − y)/2, tức a = b khi x ≠ y. Vậy trung bình cộng chỉ đúng khi hai phần vốn bằng nhau. Nếu a ≠ b, R lệch về phía lãi suất của phần vốn lớn hơn.
MỤC 4 · HOÁN ĐỔI HAI PHẦN
Đổi chỗ hai lãi suất: tổng gom thành một tích, hiệu gom thành một tích khác
Giả sử ta biết thêm kết quả của một tình huống đối chứng: đổi chỗ lãi suất , phần vốn a nhận lãi suất y và phần vốn b nhận lãi suất x. Tổng lãi mới là L₂ = b·x/100 + a·y/100, còn tổng lãi ban đầu gọi là L₁ = a·x/100 + b·y/100. Hai số L₁ và L₂ nghe như hai phương trình rời, nhưng cộng và trừ chúng cho kết quả rất gọn.
4.1 Mô hình diện tích bốn ô
Vẽ hình chữ nhật có hai cạnh ngang a và b (hai phần vốn) và hai cạnh dọc x và y (hai lãi suất). Bốn ô có diện tích a·x, b·x, a·y, b·y, mỗi ô là một khoản lãi (đơn vị: vốn nhân lãi suất chia 100). Khoản L₁ lấy hai ô chéo nhau (a·x và b·y), khoản L₂ lấy hai ô chéo còn lại (b·x và a·y). Ví dụ tự soạn hư cấu : a = 420, b = 380 triệu; x = 8%, y = 3%.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 5. Bốn ô lãi: cộng cả bốn ô được tích (a + b)(x + y); cam trừ tím được tích (a − b)(x − y).
4.2 Tổng và hiệu
Cộng L₁ + L₂: được cả bốn ô, tức cả hình chữ nhật lớn có cạnh a + b và x + y. Trừ L₁ − L₂: nhóm lại thành (a·x − b·x) − (a·y − b·y) = (a − b)·x − (a − b)·y = (a − b)(x − y), tất cả chia 100.
L₁ + L₂ = (a + b)(x + y) / 100 = S·(x + y) / 100
L₁ − L₂ = (a − b)(x − y) / 100 cộng gom hai ẩn x, y thành tổng; trừ gom thành tích của hai hiệu
Áp hai kết quả này vào ví dụ có S = 800, L₁ = 45, L₂ = 43 hư cấu : x + y = 100 × 88 / 800 = 11 (%), và (a − b)(x − y) = 100 × 2 = 200. Với bộ (420; 380; 8; 3) ở Hình 5: x + y = 11 và (a − b)(x − y) = 40 × 5 = 200, khớp. Điểm cốt lõi: dữ kiện cho ta tổng của hai lãi suất và tích của hai hiệu , chứ chưa cho từng lãi suất.
4.3 Dấu của hiệu: ghép lớn với lớn
L₁ − L₂ cùng dấu với (a − b)(x − y). Với L₁ > L₂, hai hiệu a − b và x − y cùng dấu: phần vốn lớn hơn đứng cùng phần lãi suất cao hơn. Trực giác: ghép số lớn với số lớn cho tổng các tích lớn nhất (đây là bất đẳng thức hoán vị). Nếu L₁ = L₂ thì (a − b)(x − y) = 0, nghĩa là a = b hoặc x = y; lúc đó việc đổi chỗ không làm tổng lãi đổi và ta không phân biệt được hai phần.
Tính đối xứng. Hai bộ (a, b, x, y) và (b, a, y, x) cho cùng L₁ và L₂. Các dữ kiện chỉ nói “có một phần lớn ở lãi suất cao, một phần nhỏ ở lãi suất thấp”; gọi tên nào là phần nào là quy ước, không phải thông tin. Vì thế từ đây bài quy ước x là lãi suất cao hơn.
nếu L₁ = L₂ thì có suy ra được hai lãi suất bằng nhau không?
Giải thích. Không. Từ (a − b)(x − y) = 0 có hai khả năng: x = y (hai lãi suất bằng nhau) hoặc a = b (hai phần vốn bằng nhau, lãi suất khác nhau). Phép hoán đổi khi đó không tạo thông tin mới, vì đổi chỗ hai phần giống hệt nhau thì không đổi gì. Muốn tách được, cần thêm một dữ kiện khác.
MỤC 5 · ĐẾM ẨN VÀ ĐẾM PHƯƠNG TRÌNH
Bốn ẩn, ba dữ kiện: nghiệm là một họ, và các điều kiện mới làm họ ấy co lại
Ở mục 4 ta có bốn ẩn a, b, x, y nhưng chỉ ba dữ kiện: tổng vốn S, khoản lãi L₁ và khoản lãi L₂ sau hoán đổi. Số ẩn lớn hơn số phương trình độc lập thì nghiệm không duy nhất ; câu hỏi khái niệm là họ nghiệm trông thế nào và điều gì làm nó thu về một điểm.
5.1 Họ nghiệm một tham số
Với S = 800, L₁ = 45, L₂ = 43 hư cấu , ba dữ kiện thành: a + b = 800; x + y = 11; (a − b)(x − y) = 200. Đặt v = x − y (v > 0 theo quy ước x > y). Khi đó x = (11 + v)/2, y = (11 − v)/2, a − b = 200/v, a = 400 + 100/v, b = 400 − 100/v. Mỗi giá trị v hợp lệ (0 < v < 11) cho một bộ nghiệm: có vô số nghiệm .