Toán 9 · Trực tâm, xuyên tâm đối và liên hợp đẳng giác: đối xứng tâm, đường tròn ngoại tiếp, AH và AO đẳng giác, toạ độ dạng chắn qua 7 phòng thí nghiệm tương tác
Bài khái niệm Toán 9 học sinh giỏi về trực tâm: phép đối xứng tâm qua trung điểm cạnh biến trực tâm thành điểm xuyên tâm đối của đỉnh trên đường tròn ngoại…
TOÁN 9 · HỌC SINH GIỎI · BÀI GIẢNG KHÁI NIỆM
Trực tâm, điểm xuyên tâm đối và liên hợp đẳng giác
Ba đường cao gặp nhau ở trực tâm H. Phản chiếu H qua trung điểm một cạnh, ta rơi đúng vào đầu kia của đường kính đi qua đỉnh đối diện. Hai đường AH và AO, tưởng chẳng liên quan, lại đối xứng nhau qua phân giác của góc A. Bài giảng này gom ba sự kiện ấy vào một bức tranh: phép đối xứng tâm, đường tròn ngoại tiếp và phép liên hợp đẳng giác , rồi cho bạn kiểm chứng bằng toạ độ dạng chắn, nơi chứng minh hình học biến thành vài phép tính. Có bảy phòng thí nghiệm để bạn kéo đỉnh tam giác và tự thấy mọi thứ giữ nguyên.
7 phòng thí nghiệm tương tác kéo đỉnh tam giác 8 hiểu lầm được phản biện 14 câu kiểm tra khái niệm không giải đề
1 Trực tâm 2 Đối xứng tâm 3 Qua cạnh & Euler 4 Đẳng giác 5 Liên hợp 6 Dạng chắn 7 Nhọn–vuông–tù 8 Atlas 9 Kiểm tra ★ Tổng kết
1 Trực tâm: ba đường cao gặp nhau
Trong tam giác ABC, đường cao từ A là đường thẳng qua A vuông góc với BC; tương tự cho B và C. Ba đường cao luôn đồng quy tại một điểm H gọi là trực tâm . Một cách thấy điều đó: qua mỗi đỉnh kẻ đường thẳng song song với cạnh đối diện, ta được một tam giác lớn A₁B₁C₁ mà A, B, C là trung điểm các cạnh. Đường cao của ABC vuông góc với cạnh của A₁B₁C₁ tại trung điểm của nó, tức là trung trực của A₁B₁C₁. Ba trung trực của một tam giác thì đồng quy ở tâm ngoại tiếp, nên ba đường cao đồng quy.
Vị trí của H phụ thuộc loại tam giác: tam giác nhọn thì H nằm trong, tam giác vuông tại A thì H trùng đỉnh A, tam giác tù thì H nằm ngoài tam giác. Khi đường cao từ A cắt BC tại D, tam giác vuông ABD cho ngay ∠BAH = 90° − B trong tam giác nhọn. Phòng thí nghiệm đầu tiên cho bạn kéo ba đỉnh và quan sát.
Lab 1 · Kéo đỉnh, xem trực tâm di chuyển
Kéo các chấm A, B, C (hoặc bấm mẫu có sẵn). Ba đường cao nét đứt luôn gặp nhau tại H. Số đo cho thấy tích vô hướng của mỗi đường cao với cạnh tương ứng bằng 0.
Chấm lớn có viền trắng: có thể kéo. Đường đỏ nét đứt: ba đường cao. Chấm vàng: trực tâm H.
góc A · B · C
loại tam giác
vị trí của H
sai số AH·BC, BH·CA, CH·AB
2 Phép đối xứng tâm biến H thành điểm xuyên tâm đối của A
Gọi M là trung điểm của BC. Phép đối xứng tâm M biến mỗi điểm X thành điểm X′ sao cho M là trung điểm của XX′. Hãy lấy A′ là ảnh của H qua phép này. Hai đường chéo BC và HA′ của tứ giác BHCA′ cắt nhau tại trung điểm chung M, nên BHCA′ là hình bình hành . Vì vậy CA′ ∥ BH và BA′ ∥ CH.
Bây giờ dùng tính vuông góc của đường cao: BH ⊥ AC mà CA′ ∥ BH, nên CA′ ⊥ AC, tức ∠ACA′ = 90° . Cũng vậy, CH ⊥ AB và BA′ ∥ CH cho ∠ABA′ = 90° . Hai điểm B và C nhìn đoạn AA′ dưới góc vuông nên nằm trên đường tròn đường kính AA′. Đường tròn đi qua A, B, C chỉ có một, nên đó chính là đường tròn ngoại tiếp (O), và AA′ là đường kính : A′ là điểm xuyên tâm đối của A, và O là trung điểm AA′.
Hệ quả đáng nhớ: trong tam giác AHA′, O là trung điểm AA′ và M là trung điểm HA′, nên OM là đường trung bình và AH = 2·OM , AH ∥ OM. Nếu lấy O làm gốc vectơ thì H = A + B + C, một công thức rất gọn. Kéo thanh trượt để xem H quay nửa vòng quanh M và rơi vào A′.
Lab 2 · Nửa vòng quay của H quanh M
Kéo thanh trượt: điểm H quay quanh M một góc 180°·t. Chấm xám là H ban đầu. Ở t = 100 % điểm vàng trùng A′ và các nét đứt khép thành hình bình hành BHCA′. Hai ô vuông đỏ tại B và C đánh dấu ∠ABA′ = ∠ACA′ = 90°.
t = –
Đường tròn: (O). Đường nét liền xanh: AA′, đường kính. Đường chấm vàng: quỹ đạo của H quanh M. Các đỉnh A, B, C có thể kéo.
∠ABA′ · ∠ACA′
|OA′| − R
A, O, A′ thẳng hàng (sai số)
AH so với 2·OM
3 Đối xứng qua cạnh, đối xứng qua trung điểm, và đường thẳng Euler
Có hai cách phản chiếu H lên đường tròn ngoại tiếp, và chúng cho hai điểm khác nhau. Phản chiếu qua trung điểm M của BC cho A′, điểm xuyên tâm đối của A. Phản chiếu qua đường thẳng BC cho điểm H a . Trong tam giác nhọn ta có ∠BHC = 180° − A, và ảnh H a giữ nguyên số đo đó, nên H a và A nằm khác phía BC và nhìn BC dưới hai góc bù nhau: A, B, H a , C cùng thuộc một đường tròn, chính là (O). Vậy H a cũng nằm trên (O) , nhưng nói chung H a không phải điểm xuyên tâm đối của A. Hai điểm này gắn với nhau: A′ và H a cùng nằm trên (O) và đoạn A′H a luôn song song với BC (khi hai điểm khác nhau).
Còn một đường thẳng đáng nhớ nữa. Lấy O làm gốc, trọng tâm là G = (A + B + C)/3 và H = A + B + C = 3G. Do đó O, G, H thẳng hàng và OG : GH = 1 : 2 . Đường thẳng đó là đường thẳng Euler . Tâm nội tiếp I nói chung không nằm trên nó.
Lab 3 · Sáu điểm trên đường tròn và đường Euler
Chấm xanh lá: ba điểm đối xứng của H qua ba cạnh. Chấm hồng: ba điểm xuyên tâm đối A′, B′, C′. Đường vàng: đường Euler đi qua O, G, H. Kéo đỉnh để thấy cả sáu điểm luôn nằm trên (O).
Xanh lá: đối xứng qua cạnh. Hồng: đối xứng qua trung điểm (xuyên tâm đối). Vàng: đường Euler O–G–H.
sai số lớn nhất của |O·X| − R
OG : GH
A′H a so với BC (sin góc lệch)
I có nằm trên đường Euler?
4 Đường đẳng giác: hai đường đối xứng qua phân giác
Cho góc A của tam giác ABC với phân giác trong ℓ. Hai đường thẳng qua A gọi là đẳng giác (đối với góc A) khi chúng đối xứng nhau qua ℓ . Đây là phép phản chiếu qua một đường thẳng, khác hẳn phép đối xứng tâm ở phần trước. Ví dụ đầu tiên: hai cạnh AB và AC đẳng giác với nhau. Ví dụ thứ hai quan trọng hơn: AH và AO là hai đường đẳng giác .
Lý do (tam giác nhọn): ∠BAH = 90° − B vì tam giác ABD vuông tại D. Mặt khác, góc ở tâm ∠AOC = 2B (cùng chắn cung AC với góc nội tiếp B), và tam giác AOC cân tại O nên ∠OAC = (180° − 2B)/2 = 90° − B. Vậy ∠BAH = ∠OAC: hai đường nằm cách hai cạnh AB, AC những góc bằng nhau, tức đối xứng qua phân giác. Khi tam giác tù, ta không còn dùng được các cách tính góc đơn giản ấy; ta phải đo góc có hướng, và kết luận vẫn đúng.
Ngoài ra, AH = 2·OM và AH ∥ OM (phần 2): AH và AO gắn với nhau cả về hướng (đẳng giác) lẫn độ dài.
Lab 4 · AH và AO đối xứng qua phân giác A
Đường trắng nét đứt là phân giác góc A. AH màu đỏ, AO màu xanh. Số đo là góc có hướng từ phân giác đến mỗi đường: hai số luôn đối nhau. Kéo đỉnh, kể cả sang tam giác tù.
Trắng nét đứt: phân giác góc A. Đỏ: AH. Xanh: AO. Chấm vàng: H. Chấm xanh nhạt: O.
góc từ phân giác đến AH
góc từ phân giác đến AO
tổng hai góc
90° − B (tam giác nhọn)
5 Liên hợp đẳng giác: phản chiếu cả ba đường cùng lúc
Lấy một điểm P và nối PA, PB, PC. Phản chiếu mỗi đường qua phân giác tương ứng: PA qua phân giác góc A, PB qua phân giác góc B, PC qua phân giác góc C. Điều kỳ diệu là ba đường mới vẫn đồng quy tại một điểm P* gọi là liên hợp đẳng giác của P. Lý do là định lý Ceva dạng sin: tích tỉ số sin của các góc tạo bởi PA, PB, PC với các cạnh bằng 1, và phép phản chiếu chỉ hoán đổi tử với mẫu trong từng tỉ số, nên tích mới cũng bằng 1.
Phép liên hợp là một đối hợp : (P*)* = P. Các cặp đáng nhớ: O ↔ H (vì AO ↔ AH đẳng giác, rồi tương tự ở B và C); tâm nội tiếp I và các tâm bàng tiếp là điểm bất động; trọng tâm G ↔ điểm Lemoine K (giao ba đường đối trung, là đường đẳng giác của trung tuyến). Nếu P nằm trên đường tròn ngoại tiếp thì ba đường phản chiếu song song với nhau và không có P* hữu hạn; điểm đó đi tới vô cực.
Theo toạ độ tỉ cự, nếu P = (x : y : z) thì P* = (a²/x : b²/y : c²/z), với a, b, c là độ dài ba cạnh. Công thức này làm chứng minh đối hợp trở nên hiển nhiên, và cho thấy P* vô cực đúng khi a²/x + b²/y + c²/z = 0, tức P ở trên (O).
Lab 5 · Kéo P, nhìn P* theo sau
Ba đường xanh là PA, PB, PC. Ba đường hồng là ảnh của chúng qua phân giác. Chúng gặp nhau tại P* (chấm vàng). Kéo P, kéo đỉnh, hoặc bấm các điểm đặc biệt.
Chấm trắng: P (kéo được). Chấm vàng: P*. Xanh: PA, PB, PC. Hồng: đường đẳng giác. Nét liền mảnh: đường tròn (O).
P* (toạ độ)
khoảng cách từ P* đến đường thứ ba
(P*)* so với P
P ở đâu?
6 Toạ độ dạng chắn: chứng minh biến thành phép tính
Đặt chân đường cao D của A làm gốc toạ độ, BC làm trục hoành, AD làm trục tung: A(0, a), B(b, 0), C(c, 0) với a > 0 và b < 0 < c (chân đường cao D nằm giữa B và C, nên B và C đều nhọn). Phương trình đường thẳng AB viết theo dạng chắn là x/b + y/a = 1, vì nó chắn hai trục tại b và a. Hệ số góc của AB là −a/b, nên đường cao từ C vuông góc với AB có hệ số góc b/a và phương trình y = (b/a)(x − c). Cho x = 0 (trục tung, cũng là đường cao từ A) ta được y = −bc/a. Vậy
H = (0, −bc/a) M = ((b + c)/2, 0) A′ = B + C − H = (b + c, bc/a)
Tâm ngoại tiếp nằm trên trung trực x = (b + c)/2 của BC, và từ OA = OB suy ra O = ((b + c)/2, (a² + bc)/(2a)) . Kiểm tra: 2O − A = (b + c, bc/a) = A′, đúng như hình học đã nói: A′ là điểm xuyên tâm đối. Điểm đối xứng của H qua BC là (0, bc/a); nó có cùng tung độ bc/a với A′, nên A′H a ∥ BC. Một tích đáng nhớ: DH·DA = (−bc/a)·a = −bc = |DB|·|DC| (độ dài).
Ba sự kiện hình học ở trên giờ chỉ còn là việc thay số. Kéo ba thanh trượt và xem mọi quan hệ giữ nguyên.
Lab 6 · Toạ độ dạng chắn A(0, a), B(b, 0), C(c, 0)
Kéo a, b, c. Chương trình tính H, O, A′ bằng đúng các công thức trên rồi kiểm tra: H, M, A′ thẳng hàng; A, O, A′ thẳng hàng; A′ cách O đúng bán kính.
a = –
b = –
c = –
Đỏ: trục tung (đường cao từ A). Chấm vàng: H. Chấm xanh nhạt: O. Chấm hồng: A′. Đường tròn: (O).
H = (0, −bc/a)
A′ = (b + c, bc/a)
sai số các kiểm tra
7 Nhọn, vuông, tù: tất cả nằm trong dấu của a² + bc
Trong toạ độ dạng chắn, AB = (b, −a) và AC = (c, −a) nên AB·AC = bc + a². Vậy góc A nhọn khi a² + bc > 0, vuông khi a² + bc = 0, tù khi a² + bc < 0. Cùng lúc đó H = (0, −bc/a) nằm cao hơn A (tức a < −bc/a) đúng khi a² + bc < 0. Và tung độ của O là (a² + bc)/(2a): O nằm phía trên BC (cùng phía với A) khi tam giác nhọn, nằm đúng trên BC (tức tại trung điểm cạnh huyền) khi tam giác vuông, và dưới BC khi tam giác tù. Một dấu duy nhất điều khiển ba hiện tượng.
Đẳng giác không bị phá vỡ khi tam giác tù: AH và AO vẫn đối xứng nhau qua phân giác, chỉ là các góc ∠BAH, ∠OAC không còn là các góc tam giác đơn giản. Điều thay đổi duy nhất là H chạy ra ngoài . Hãy kéo a trong phòng thí nghiệm cuối để thấy H vọt từ dưới lên trên A, còn O đi từ phía trên xuống phía dưới BC khi a vượt giá trị tới hạn.
Lab 7 · Kéo A lên xuống: nhọn, vuông, tù
Giữ B(−2, 0) và C(3, 0), kéo độ cao a của A. Giá trị tới hạn là a = √6 ≈ 2,449, khi a² + bc = a² − 6 = 0. Đường đỏ là AH, đường xanh là AO, đường trắng nét đứt là phân giác góc A.
a = –
Đỏ: AH. Xanh: AO. Trắng nét đứt: phân giác A. Chấm vàng: H. Chấm xanh nhạt: O.
a² + bc
loại góc A
H · O (tung độ)
góc phân giác→AH · phân giác→AO
8 Atlas hiểu lầm · tám ngộ nhận và lời phản biện
Bấm vào từng thẻ để mở.
1 · “Trực tâm H luôn nằm bên trong tam giác”
Sai. Chỉ tam giác nhọn mới có H bên trong. Tam giác vuông tại A có H trùng A. Tam giác tù tại A có H nằm ngoài , phía đỉnh A: với A(0, 1), B(−2, 0), C(3, 0) ta có a² + bc = 1 − 6 = −5 < 0 và H = (0, 6), cao hơn A rất nhiều. Ba đường thẳng chứa đường cao vẫn đồng quy, chỉ là điểm chung rơi ra ngoài.
2 · “Điểm đối xứng của H qua BC và qua trung điểm M của BC là một”
Sai: đó là hai điểm khác nhau, cả hai nằm trên (O). Qua trung điểm M ta được A′, điểm xuyên tâm đối của A. Qua đường thẳng BC ta được H a . Với A(0, 1), B(−2, 0), C(3, 0): A′ = (1, −6) và H a = (0, −6). Chúng cùng tung độ −6, nên A′H a ∥ BC, và chúng chỉ trùng nhau khi b + c = 0, tức tam giác cân tại A.
3 · “AH và AO đẳng giác nên không bao giờ trùng nhau”
Chúng trùng nhau khi tam giác cân tại A . Khi đó AH và AO cùng là trục đối xứng, tức chính là phân giác góc A; một đường đối xứng qua phân giác mà trùng với chính nó là hợp lệ, vì phép phản chiếu để yên mọi điểm trên trục. Đẳng giác cho phép hai đường trùng nhau khi chúng chính là trục.
4 · “Tam giác tù thì AH và AO không còn đẳng giác”
Chúng vẫn đẳng giác. Cách tính ∠BAH = 90° − B chỉ đúng với tam giác nhọn, nhưng chứng minh bằng đo góc có hướng hoặc bằng toạ độ không cần giả thiết đó. Trong Lab 4 và Lab 7 hai góc có hướng đo từ phân giác đến AH và AO luôn đối nhau, kể cả khi góc A tù. Điều đổi theo loại tam giác chỉ là vị trí của H và O, không phải tính đẳng giác.
5 · “Liên hợp đẳng giác của trọng tâm G là chính G”
Không. Phản chiếu ba trung tuyến qua ba phân giác cho ba đường đối trung , đồng quy tại điểm Lemoine K. Với tam giác B(0, 0), C(14, 0), A(5, 12) ta có G ≈ (6,33 ; 4) còn K ≈ (5,67 ; 3,99): hai điểm khác nhau. Chỉ tâm nội tiếp và các tâm bàng tiếp là điểm bất động của phép liên hợp.
6 · “Tâm nội tiếp I nằm trên đường thẳng Euler”